例析幾道“隱形圓”問題

羅泳欣

圓具有豐富的幾何性質，當利用圓的性質進行解題時可以起到事半功倍的效果.利用解析幾何的思想可知，通過圓的定義可以獲得圓的軌跡方程，利用阿波羅尼斯定理或托勒密定理等等也可以獲得圓的方程.但在某些板塊里面卻沒有明顯的“圓”的方程，這就需要我們用創造性的思維構造出“圓”來進行解題.本文梳理了部分使用“圓”的軌跡來解題的案例，以供大家參考.

1.隱藏在三角形中的“圓”

析解：本題以三角形為背景，考察向量的相關知識.常規解法是利用平面向量基本定理，表示出所求角，再利用不等式等相關手段進行求解.本文將通過巧妙的建系來發掘出“圓”，利用圓的幾何性質求解.如圖1，以點E為原點，EC為x軸，過點E作

評注：本題若選擇向量或正、余弦定理求解，對應的運算難度很大.本題通過思考點A的軌跡，巧妙的構造出“圓”有效地提升了解題效率.分析上述解題過程可知，當點D，B為對應線段的其他等分點時，對應點A的軌跡也是“圓”.借助上述“圓”的模型，我們還可以探討ΔABC面積以及周長的最值問題.

例2 （2021年新課標Ⅰ卷第19題）記ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC．

析解：本題以幾何平均三角形為背景，結合三等分線考察正、余弦定理的應用.本題可選擇的三角形較多，需要構建的方程也較多，思維難度較大.本文嘗試構造出“圓”來進行求解.

由第（1）問可知BD=b為定值，由此可考慮構造點B的軌跡進行求解.如圖2，以點D為原點，CA為x軸，過點D作CA的垂線為y軸建立平面直角坐標系.

設點A的坐標為（2，0），C的坐標為（－1，0），

評注：上述四個例題獲得圓的方式都不一樣，例1利用向量的運算，例2利用圓的定義，例3借助了正弦定理的性質，例4借助了中線公式以及圓的定義.

2.隱藏在三角函數中的“圓”

例5 已知cos（α+β）=cosα+cosβ，求cosα的最值.

評析：在本題的解題過程中，構造了一條直線與一個圓.將原來的代數問題，轉化為圖形的相交問題.高效地實現了參數的化簡，充分地體現了數形結合思想.

析解：因為α，β是方程acosθ+bsinθ=c的兩個根，即有acosα+bsinα=c，以及acosβ+bsinβ=c，如圖5，為此構造直線l：ax+by=c，顯然可得點A（cosα，sinα）∈l，B（cosβ，sinβ）∈l.其中點A，B顯然屬于單位圓⊙O：x2+

3.隱藏在不等式中的“圓”