2023年高考全國Ⅰ卷第22題的解法探究

萬祺 徐羽

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探究

分析：本題第一問是個(gè)簡(jiǎn)單的軌跡方程求解問題，第二問則是以一個(gè)傳統(tǒng)解析幾何中的周長(zhǎng)問題為依托，考查多元絕對(duì)值函數(shù)最值問題的求解.本文主要探究第二問的解法，其中弦長(zhǎng)AB及BC的表示并不難，難點(diǎn)在于設(shè)點(diǎn)或設(shè)線的選取，以及對(duì)表達(dá)式的減元處理過程.下面給出筆者認(rèn)為最貼近問題本質(zhì)的解法.

解：設(shè)直線AB方程，以AB斜率k及B點(diǎn)橫坐標(biāo)x0為參變量.

結(jié)合上述絕對(duì)值不等式的放縮及取等條件，我們對(duì)解法1進(jìn)行優(yōu)化，得到如下解法：

3.回歸本質(zhì)

上述三種方法分別從設(shè)線、設(shè)點(diǎn)等不同角度入手，對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行合理變形、轉(zhuǎn)化，但放縮的本質(zhì)相近，下面我們?cè)噲D將本題中的不等關(guān)系抽離出來，探其究竟.

4.追本溯源

（1998年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知在拋物線y=x2上有一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，求這種正方形面積的最小值.

評(píng)注： 本題與高考真題相似度極高，解題的操作手法也雷同，“正方形”的條件更強(qiáng)一些，因此相當(dāng)于多給了一個(gè)約束條件，最后求的目標(biāo)式也只是一個(gè)線段AB，而非兩個(gè)線段的和，因此在難度上，高考真題更大一些.

結(jié)語 解決數(shù)學(xué)問題往往需要對(duì)問題的條件進(jìn)行多角度地轉(zhuǎn)化、探究，這樣才能一步一步接近問題的本質(zhì)規(guī)律，進(jìn)而在分析過程中發(fā)現(xiàn)更優(yōu)的解法.事實(shí)上，若將高考題中的“求周長(zhǎng)”改為“求面積”，不難發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)式AB×BC下界為0，且無上界，這樣在難度上構(gòu)不成壓軸的分量，結(jié)論上也不夠美觀，因此“求周長(zhǎng)”確實(shí)是一個(gè)更好的選擇.從知識(shí)層面上，即考查了解析幾何中設(shè)點(diǎn)、設(shè)線的傳統(tǒng)解法，也考查了多元含絕對(duì)值的條件極值問題；從方法層面上，既落實(shí)了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，又涉及了代數(shù)恒等變形，減元降次，轉(zhuǎn)化、化歸等較高的數(shù)學(xué)思想，起到了充分的選拔功能，是一道十足的好題.

參考文獻(xiàn)

［1］單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.

［2］萬祺.構(gòu)造局部不等式處理n元條件極值問題［J］.數(shù)學(xué)通訊.2022（04）：51-53.