一道競(jìng)賽試題的多解探究及其推廣

文帥 李乾瑞 梁明端

1.試題呈現(xiàn)

分析：這是2023年愛爾蘭奧林匹克競(jìng)賽試題的一道不等式證明題，其中不等式的左側(cè)是以循環(huán)和的形式呈現(xiàn)，具有數(shù)學(xué)的美感，本文對(duì)該題進(jìn)行解法探究，并對(duì)其進(jìn)行變式和推廣.

2．解法探究

評(píng)注：此證法借助于權(quán)方和不等式與基本不等式的推廣，使不等式得以證明.

評(píng)注：此證法利用函數(shù)的凹凸性與琴生不等式，將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而使得不等式得以證明.

評(píng)注： 此證法利用切線的性質(zhì)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而使不等式得以證明.

評(píng)注：此變式是在試題的基礎(chǔ)上改變題設(shè)條件而得到的，其證明方法是結(jié)合權(quán)方和不等式與基本不等式的推廣，使得不等式得以證明.

4.試題推廣

推廣是數(shù)學(xué)研究中極為重要的手段之一，筆者將試題中的未知數(shù)a，b，c改寫為x，y，z來加以研究.

4.1 對(duì)不等式中所含數(shù)字及系數(shù)一般化

4.3 增加不等式中未知數(shù)的個(gè)數(shù)

4.4 改變不等式的結(jié)構(gòu)

推廣6 已知x，y，z∈R+，n≥1，證明：∑cycxn+ynzn+xyn2≥3.

上述推廣是在試題的基礎(chǔ)上改變不等式結(jié)構(gòu)以及題設(shè)條件而得到的，下面列舉推廣3和推廣6的證明，其它推廣的證明過程不再敘述.

推廣，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)研究有著十分重要的意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，推廣可以加強(qiáng)觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)的能力，拓展不同的解題思路，提升創(chuàng)造性的思維.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，推廣可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與求知欲，引領(lǐng)新的發(fā)現(xiàn). 在數(shù)學(xué)研究中，推廣可以產(chǎn)生新問題與新方法，加深自身對(duì)問題的認(rèn)識(shí)與理解［1］.

參考文獻(xiàn)

［1］朱華偉，張景中.論推廣［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（04）：55-57+28.