抓好數學概念，突破教學難點

馬仲良

摘要：本文中采用案例分析法，從概念特點、本質屬性、內涵分析、實踐運用四個角度提出初中數學概念教學策略，旨在夯實數學知識的認知與理解基礎，提升初中生依據數學概念解決數學問題的能力，相關策略對于促進學生自主探究、個性化學習具有積極意義.

關鍵詞：初中數學；概念教學；教學策略

數學概念是采用凝練的語言對數學現象、經驗、特點、規律等進行的概括，它以抽象風格的表達方式揭示了客觀事物的本質屬性［1］，既是數學思想方法的重要載體，也是利用數學解決問題的工具.初中階段的數學教學活動中，數學概念既是基礎教學內容，也是教學難點.這是因為如果忽略了數學概念的基礎性，學生對于數學知識內涵、價值的認知會停留在淺層維度，難以確保數學核心素養的形成.而之所以將數學概念作為一個教學難點，是因為數學概念的形成過程非常復雜，需要經歷“從一般到特殊”的邏輯推導與“從具象到抽象”的思維轉化.基于此，初中數學概念教學不能死記硬背、機械運用，一切教學活動都應該建立在理解的基礎上展開.

1 抽象轉為具象，增設知識橋梁

1.1 提供直觀材料

數學概念的基本特征是抽象性，即排除客觀事物的個性特征、物理表征、具體象征等非數學屬性，僅保留數學概念表述所需要的共同點.基于抽象性的表達能夠讓數學概念更簡潔、更確定，但理解難度也更大.為了讓學生更好地理解，可以采取逆向思維“化抽象為具象”，多角度展現數學概念的現實媒介.例如，人教版七年級上冊數學教材中“角的概念”被描述為“有公共端點的兩條射線構成的圖形”，提供直觀材料（如圖1）輔助學生認知，更容易讓學生理解什么是角.

1.2 明確概念背景

數學概念為什么會產生？它的存在有什么意義？如果不解釋清楚類似問題，初中生學習數學概念時會很容易出現認知錯誤，甚至不能準確定位數學概念的應用場景.在教學過程中，明確數學概念的產生背景，更有利于學生掌握數學概念的本質與應用范圍.例如，講解“負數”的概念時，引入社會生產、商業交易等現實背景，表明負數用來代表“欠缺”“負債”等意義，這有助于初中學生更全面地認識負數的概念.

1.3 建立概念聯系

數學概念并不是孤立、排他的，這是因為它源自現實事物的抽象，而現實中各種事物之間又存在復雜的聯系［2］.因此，初中數學教學過程中要強調數學概念關系的建立，可以引導學生將“舊概念”的認知經驗遷移到“新概念”的學習和理解上.例如，人教版初中數學教材中提出“有理數”的概念時，將其解釋為“分數與整數的集合”，在教學之前可以先引領學生回憶小學階段關于整數、分數的概念，建立它們與有理數概念之間的聯系.

2 解析本質屬性，歸納概念定義

2.1 通過“正例解析”教學

所謂“正例解析”，就是從包含著概念或規則的本質特征和內在聯系的一系列具體案例、題例中分離出共同屬性，進而歸納出一個完整且靜態的概念.不難發現，“正例解析”教學模式屬于概念的常規研究進程，在正向思維的引領下，按照“從一般到特殊”的技術路線發展即可.例如，人教版數學八年級下冊關于“一次函數”概念的教學，重點在于設計完整的概念歸納、抽象過程.首先，為學生提供大量符合“一次函數”屬性的案例、題例，如高鐵運行路程與“速度×時間+車輛長度”的關系案例，通過對大量實例的觀察、辨別、簡化、概括等，最終判斷式子是否符合“y=kx+b，k，b為常數，且k≠0”的條件，這樣就可以基于“正例解析”的教學方式，水到渠成地得到一次函數的概念.

2.2 通過“反例解析”教學

“反例解析”教學是“正例解析”教學的逆向化過程.通常來說，利用正向思維展開概念探究，需要從大量“一般特征”著手，在抵達“特殊屬性”之前，整個思維過程非常復雜.利用反向的案例解析概念的本質屬性，主要是依據“客觀肯定”與“客觀否定”的絕對對立，即在反例解析教學場景中，能夠發掘出與概念本質屬性完全不同的特征［3］.例如，人教版數學八年級下冊“特殊的平行四邊形”中，對矩形概念的解讀為“有直角的平行四邊形”和“長方形”，教學過程中可以提供一些反例供學生解析，如“有一個直角的四邊形是矩形”“有兩個直角的四邊形是矩形”“對邊平行且相等的四邊形是矩形”等，這些都可以畫出反例圖形，如圖2所示.

3 深挖概念內涵，促成意義建構

3.1 通過分析關鍵字明確含義

數學概念的一大特征是嚴謹性［4］，這一點在數學語言表達方面尤為明顯.因此，從某種意義上來說，初中數學概念教學必須要“摳字眼”，即通過分析已給出的概念內容中的關鍵字，進一步明確其含義，以確保其在應用過程中的合理性.如人教版數學七年級上冊“單項式”的概念被表述為“數字或字母的積”，“有理數”的概念被表述為“整數和分數的統稱”.這兩個概念中，“或”與“和”就是關鍵字，需要結合具體案例深入講解.

3.2 利用多重表征提升表達性

數學概念是數學語言高度凝練、數學屬性高度概括的結果，但從教學角度出發，不能把它視為不可轉化的單一表達形式.事實上，數學概念可以利用多重表征進行表達，由此也能夠符合不同數學智能（依據多元智能理論）特點學生的需要.例如，同樣是講解“一次函數”的概念，對于“言語語言智能”非常優秀的學生，直接用字母、運算符號等形式表達即可，而對于“視覺空間智能”表現優秀的學生，可以利用一次函數圖象的方式進行表達.

3.3 對比概念以明確新舊聯系

鑒于數學概念之間存在的密切關系，在教學活動中可以利用思維導圖將所學過的概念梳理出脈絡，讓學生清晰地看到新舊概念的對比.從建構主義理論角度分析，對比概念以明確新舊聯系的教學方式，非常符合學習維度的“同化思想”，可極大地減輕學生對新概念的理解難度.例如，在學習二次函數概念之前先回顧一次函數，并從函數式各項出發進行對比，找出異同點所在，這種教學方式不僅可以實現“溫故而知新”，而且能夠引領學生數學概念認知思維螺旋上升.

4 注重概念實踐，促成知識遷移

4.1 設計變式教學

數學概念是數學知識體系中的最小單位，也是解答數學問題的基礎.因此，在初中數學概念教學中，要注重概念實踐，促成知識遷移，確保學生靈活地理解和運用概念.例如，為實現一元二次方程概念的“學以致用”，可專門提供如下練習進行訓練.

練習1 篩選出符合一元二次方程概念的式子.

（1）2x2-10x=3；? （2）2x2-4y=0；

（3）-x2=0；（4）2x-5=0.

練習2 根據練習1中選定的一元二次方程式，逐一指出二次項及系數、一次項、常數項等.

練習3 如果m（2x-1）-x（1-2x）=0是一元二次方程，那么m的值應該是多少？

4.2 強化步驟歸納

初中階段數學概念多屬于陳述性類型，加上語言簡潔的特點，難以直接被運用到數學問題的解決中.換言之，初中數學概念教學要強化步驟歸納，即將平鋪直敘的數學概念轉化成一系列可執行的步驟.這樣做的優點在于，一方面可以提高數學概念的利用效率，確保概念與數學問題“對號入座、程序符合”；另一方面，有利于培養學生的發散思維及算法意識.例如“解一元一次方程”的概念通過轉化，可歸納為“去分母、去括號、移項、合并、系數化為1”.

綜上所述，初中階段數學概念教學的價值，不在于讓學生理解、記憶數學概念的內容，而是要引導學生了解概念形成的過程、推導的步驟，更重要的是培養學生從無到有、從一般到特殊、從具象到抽象的思維能力.從教師角度出發，抓好數學概念教學工作，夯實學生數學概念基礎，可有效減輕后續“進階教學”階段的壓力，為打造初中數學高效課堂奠定扎實基礎.

參考文獻：

［1］馬艷華.重視概念生成 強化數學能力——例談初中數學概念教學探索［J］.數學學習與研究，2022（16）：101-103.

［2］高娜，吳善和，賴村如.芻議初中數學概念教學策略——從教學設計到教學過程［J］.初中數學教與學，2022（12）：15-18.

［3］殷德權.初中數學概念教學的實踐與反思［J］.新教育，2022（17）：66-68.

［4］孫豐.在初中數學教學中融入“大概念”［J］.江西教育，2022（12）：28-29.