結構拓撲優化數值方法研究進展

收稿日期：20231212

通信作者：周克民（1962）男，教授，博士，博士生導師，主要從事計算力學、結構拓撲優化的研究。Email：zhoukm@hqu.edu.cn。

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11572131）； 福建省科技計劃引導性項目（2019H0012）http：∥www.hdxb.hqu.edu.cn

摘要：綜述結構拓撲優化數值方法，分析其主要發展趨勢。根據不同近似參數比較兩類主要優化方法，基于材料的方法借助離散形式的參數描述材料分布場，具有自由度高、描述能力強等優點，基于幾何的方法通過描述材料邊界形成最優結構，邊界清晰且無需后處理。結果表明：放松工程制造約束和提高求解效率是拓撲優化值得深入探索的研究方向，具有廣闊的應用前景。

關鍵詞：結構優化； 拓撲優化； 數值方法； 研究進展

中圖分類號：TU 4文獻標志碼：A文章編號：10005013（2024）02015008

結構優化是在給定的強度、剛度等約束條件下，借助數學方法和計算機輔助工程（CAE）等技術手段，自動生成滿足工程需求的優化結構。相較于基于工程師經驗的傳統的試錯法，結構優化設計能夠高效率、低成本地生成更加精確可靠的優化結構。

結構優化主要分為尺寸優化、形狀優化和拓撲優化3個層次［1］。其中，尺寸優化以單個零件或組件中的尺寸參數為優化設計變量，通常在細節設計階段使用，可以提高產品的可制造性；形狀優化通過改變結構的內外邊界形狀優化其性能和功能，實現一些更復雜的設計優化，如桁架的外形或板的開孔尺寸等；拓撲優化通過改變桁架中桿的數量、連接關系或孔的數量等實現最佳的結構形式。

在結構尺寸和形狀優化中，首先，建立明確、具體的參數化初始結構。然后，將初始結構中的桿件橫截面尺寸、板厚、孔或連續體外形尺寸等參數作為優化設計變量，采用數學優化方法求解。然而，結構拓撲優化很難建立這樣明確的參數化初始結構，甚至一般也很難參數化，這是結構拓撲優化的核心難點所在。解析方法雖然提出得更早，但是發展緩慢，通用性很差。因此，目前拓撲優化主要研究工作集中于數值優化方法。

結構拓撲優化適用于各類結構設計問題，已被成功應用于航空航天［2］、建筑結構［3］、增材制造［4］等領域，展現出極高的應用潛力和實用價值。在過去幾十年中，結構拓撲優化方法得到了廣泛的研究和發展，本文主要介紹結構拓撲優化數值方法研究進展。

1結構拓撲優化數值方法概述

結構拓撲優化數值方法通常包含3個主要部分。

1） 建模。在設計域內構建近似描述結構拓撲的參數化數學優化模型，這些參數選擇方法很大程度上影響了優化效率和結果。拓撲優化數值方法分類也是基于此進行區分的。

2） 分析。采用有限元等結構分析數值方法進行結構分析，求得當前結構的響應。

3） 優化。通過數學尋優算法，對數學優化模型中的參數進行優化，使目標函數值收斂至最小值，從而得到滿足設計需求的優化結構拓撲。

根據結構拓撲近似參數化表達方式不同，結構拓撲優化數值方法主要可以分為基于材料和基于幾何兩類。基于材料的方法往往遵循“由部分到整體”的思路，它主要選取與材料相關的屬性作為優化變量，如材料密度、彈性模量和彈性矩陣中的元素等，通過優化設計域內材料屬性分布確定優化拓撲結構。基于材料的方法通用性好、設計自由度高，能夠適應各種復雜設計區域。

與基于材料的方法不同，基于幾何的方法采用“由外到內”的思想，它從描述結構的邊界入手，通過優化設計域中結構的幾何邊界，實現從結構邊界定義整個結構。基于幾何的方法設計變量規模小、邊界清晰、可制造性好。

2拓撲優化數值方法對比分析

2.1基于材料的拓撲優化數值方法

在連續體結構拓撲優化數值方法中，以材料屬性為參數描述結構拓撲是較為經典和有效的研究思路。由于描述形式簡單、設計自由度高、通用性好，基于材料的拓撲優化數值方法發展最早并得到普遍應用。基于材料的方法主要有均勻化方法、固體各向同性懲罰方法、漸進結構優化方法、獨立連續映射方法、自由材料方法和基于類桁架材料模型的優化方法等。

2.1.1均勻化方法1981年，程耿東［5］研究變厚度板的最大剛度問題，發現最優解的非光滑性及網格依賴問題，這是近代拓撲優化問題的奠基性工作。1988年，Bendse等［6］提出具有里程碑意義的均勻化拓撲優化方法，為連續體結構拓撲優化提供了計算框架。在極限情況下，結構拓撲優化可以理解為設計域內每一點的材料有無問題。然而，由于這種離散化問題難以求解，均勻化方法將該問題轉化為連續體材料分布問題［7］進行求解。該方法引入材料密度函數，考慮了一種復合材料，該復合材料由一個無限數量的無限小孔洞的周期性復合材料組成，將結構拓撲優化問題轉化為尺寸優化問題。引入上述多孔材料的方式并不唯一，目前可以分為層壓板復合方法和具有內部空隙的微細胞結構兩類，利用均質化理論可以確定這些材料的宏觀力學性能。

Díaz等［8］提出一種基于權重因子的均勻化方法，解決彈性結構的多工況和最大頻率優化問題。Olhoff等［9］發展了基于交互式計算機輔助設計（CAD）的工程設計優化系統基本概念，提出優化機械部件的拓撲結構、形狀和尺寸的方法。Sigmund［10］借助均勻化方法，提出一種構造任意半正定本構張量材料的有效方法。構造問題被表述為在給定本構參數下尋找最輕微觀結構的反問題。均勻化方法中對復合材料的優化結果進行后處理［11］也非常重要。Groen等［1213］提出一種從粗糙的均勻化拓撲優化結果中獲得高分辨率、可制造結構的投影方法，并被拓展到三維問題［14］、多工況［15］和流線場［16］等方面。均勻化方法采用一種參數化的具有各向異性材料特性的多孔周期性微觀結構材料模型，能最大限度地逼近理論最優解，成為連續體拓撲優化的開創性理論。復雜的材料均勻化理論增加了優化問題求解難度。

2.1.2固體各向同性懲罰方法

在均勻化方法引入拓撲優化后不久，Bendse［7］和其他學者［17］提出了帶懲罰的固體各向同性微結構優化方法（SIMP）［18］。該方法最初作為一種簡單的方式用以降低均勻化方法的復雜性，并提高01解的收斂性。后來Bendse等［18］給出SIMP的物理證明。在SIMP方法中，密度設計變量與材料性能之間的關系由冪函數形式給出，即

式（1）中：p為懲罰參數；E0為固體材料的楊氏模量；ρi為第i個單元密度。

對于p=1，優化問題對應于“變厚度板”問題。實際上，最小柔度問題是一個具有唯一解的凸問題［1］。對于pgt;1，不利于中等厚度或密度，但有利于01解。當p過低時，會導致灰色尺度過大；當p過高時，則會導致收斂到局部極小值的速度過快；當p=3時，能夠確保良好收斂到幾乎01解。

為了緩解原始SIMP插值方案的非凸性，Stolpe等［19］引入材料屬性的合理近似模型（RAMP）方法，從而確保收斂到01解。罰函數的引入常常會導致網格依賴、棋盤格等數值不穩定問題。在最小柔度問題中，Guest等［20］討論了一種簡單的線性投影格式和一種使用正則化Heaviside階躍函數，以實現近01解的非線性格式，通過對尺度的直接控制，提高數值計算的穩定性。Sigmund［21］提出基于形態的密度濾波拓撲優化方案，給出一種網格無關、離散和可制造的解決方案。程耿東［22］最早指出應力約束奇異最優解和其余可行區通過可行的線段相連通。在桁架拓撲優化問題中，Guo等［23］利用二階光滑擴展技術使不相交的可行域連通，再利用松弛法消除最優解的奇異性。SIMP方法的優勢在于模型和計算機編程實現簡單、通用性強，能夠實現清晰的01結構，已在幾何非線性［24］、柔性結構［25］和帶隙材料［26］等方面得到了應用。由于有限單元格的離散特性，優化結構邊界呈現鋸齒狀，數值不穩定問題的處理手段比較繁瑣。

2.1.3漸進結構優化方法

隨著時間的推移，物種通常朝著更加適應環境的最優狀態演化。這個想法最早由Xie等［27］在1993年用于結構優化，并被稱為漸進結構優化（ESO）方法［27］。ESO方法最初應用于自然結構（如骨骼），這種結構的最佳拓撲和形狀隨著時間的推移，遵循進化路徑得以實現。早期的ESO方法僅限于從結構中去除材料，初始模型必須明顯過度設計，如果過早地去除結構，則無法恢復。為了克服這一問題，Querin等［28］開發了一種早期ESO方法的改進模型，稱為雙向ESO（BESO），這種技術允許單元重新添加到結構中。Young等［29］將該方法進一步擴展到三維結構。Zhou等［30］在2001年研究了ESO/BESO技術，認為這兩種方法不能總是保證最優設計。Sigmund等［31］指出，ESO/BESO的程序不容易擴展到其他約束條件（如位移約束）。在Rozvany和Zhou的早期批評之后，Zhu等［32］開發了一種改進的BESO方法，用一種單元可替換方法來更好地表示單元狀態。Huang等［33］也提出一種新的BESO技術，該技術已被證明可以產生收斂解，這種改進包括利用單元的歷史信息來提高單元靈敏度的準確性。ESO方法的許多發展都來自于對算法能夠高效地找到最優解的批評，這促進了“Soft Killing”ESO/BESO技術的發展［34］。漸進結構優化方法材料模型簡單，在國內外得到了充分的關注和發展，但該方法獨有的一些特點使其對于復雜約束問題的適用性較為有限。

2.1.4獨立連續映射方法

為了統一描述拓撲變量，1998年，Sui等［35］將拓撲變量從依附于截面積、厚度等尺寸優化低層次變量上分離出來，成為獨立的層次，提出獨立連續映射法（ICM）［35］。ICM通過定義獨立拓撲變量并運用函數逼近理論，對階躍函數及其逆函數實現連續可導化的逼近。這使其能夠使用基于連續變量的優化模型來解決原本離散的大規模優化問題。經過多年的發展，構建了位移和屈曲約束［36］、頻率約束［37］等問題求解模型，拓展了三維連續體拓撲優化設計［38］。

2.1.5自由材料方法

在20世紀90年代早期，Bendse等［39］提出自由材料優化（FMO）方法。該方法選取彈性張量中的所有分量作為設計變量，它們是位置的函數。這些分量除了滿足材料在物理上可行，其他方面不受限制。該方法能夠給出物理上可能獲得的最佳材料，被認為是結構優化問題的“終極”一般化。基于自由材料優化方法，Kocˇvara等［40］及Haslinger等［41］研究了局部應力約束和位移約束問題。Stingl等［42］提出并解決了具有基本特征頻率約束的問題。Weldeyesus等［43］通過擴展文獻［44］中的公式，提出新的層合板和殼結構的FMO模型。此外，該方法也被用于多尺度結構優化中［45］。盡管FMO方法能夠得到較為精確的最優結構，但該模型的設計變量個數會隨著有限元精度的增加而變得規模巨大，這將大幅增加優化問題的求解難度，且優化結構的材料可能并不對應真實工程材料。

2.1.6基于類桁架材料模型的優化方法

基于類桁架材料模型的優化方法［46］根據拓撲優化結構理論解建立一種不均勻各向異性“類桁架”材料模型，保持了基于密度的優化方法的高效性。該方法首先優化類桁架材料分布場，對密度不作等厚度限制，也不罰中間密度，能夠形成非常接近解析解的變剛度類桁架結構，同時避免許多拓撲優化數值方法普遍存在的“棋盤格”現象、網格依賴和局部極值等一系列數值不穩定問題。在此基礎上，對優化類桁架材料分布場進行處理，可以形成滿足工程需求的離散優化結構或帶孔連續體。經過多年的發展，該方法可以解決柔度問題［47］、頻率問題［48］、應力約束問題［49］、質量最小格柵結構［46］和不確定荷載［50］等拓撲優化問題及一些具體的工程應用［51］。

2.2基于幾何特征的拓撲優化數值方法

2.2.1水平集法

Osher等［52］最早引入水平集法（LSM）［53］，該方法利用函數的零水平集來定義結構邊界，通過進化隱式水平集方程形成優化拓撲結構，將水平集概念用于模擬移動邊界。當時水平集法主要用于模擬多相流體中界面的演化［54］和圖像分割［55］。1998年，Haber等［56］在拓撲優化中使用水平集的概念描述幾何。Ruiter等［57］幾乎同時開始研究基于水平集的結構拓撲優化方法。水平集法構建了一個高維度的水平集函數，用該水平集函數與零平面的交線來描述材料的邊界。通常情況下，水平集函數通過HamiltonJacobi方程的解進行更新，即

式（2）中：t為偽時間，表示優化過程中設計的演變；V為所謂的速度函數，或速度場；φ為水平集函數。

傳統的水平集法只能從現有的邊界演變而來，無法在固體材料包圍的二維空間中生成新孔。雖然基于啟發式和拓撲靈敏度信息的孔洞生成技術可以緩解這些缺陷，但在優化過程引入新孔洞通常需要附加步驟，這影響了優化過程的收斂性。收斂性進一步受到邊界附近水平集函數空間梯度的強烈影響。通常情況下，水平集法的結果強烈依賴于初始假設。為了解決以上問題，Wei等［58］提出分段常數水平集法，用不連續的分段常數水平集函數來描述邊界。Otomori等［59］基于目標函數的拓撲導數，通過求解反應擴散方程來更新水平集函數。Wei等［60］采用徑向基函數的參數化水平集法，在優化過程中以近似的重新初始化方案保持相對平滑的水平集函數，它能夠在材料域內形成新孔，對初始設計的依賴性也較小。上述方法一定程度地克服了傳統水平集法的一些不足，但大量公式和重新初始化的需要表明存在尚未解決的問題，如正則化、水平集函數的空間梯度控制等。

2.2.2移動部件類方法

在水平集法邊界清晰光滑的基礎上，為進一步簡化拓撲邊界的描述形式，Guo等［61］提出移動變形組件/孔洞（MMC/MMV）法［62］，將結構拓撲看作是有限數量的移動變形組件的組合，并通過控制移動部件或孔洞間接實現材料分布場的拓撲變化。該方法出發點是任何類型的拓撲結構都可以分解為有限數量的組件，因此，它將“結構構件”作為拓撲優化的基本構件，通過最優性條件確定構件的形狀、長度、厚度、朝向等幾何特征參數及布局（連通性），從而得到最優結構拓撲。Zhang等［63］引入一組可變形的三維構件描述三維拓撲結構，并通過顯式優化構件的布局尋找最優結構。通過幾何設計變量設置下界［64］，移動組件法解決了最小長度尺度控制問題。Zhang等［65］采用B樣條曲線描述結構中移動變形構件的邊界，這可以保持結構邊界的平滑，通過顯式的邊界描述和演化可以同時獲得結構的形狀和拓撲。從相反的角度，Zhang等［66］提出一種與MMC法互為對偶的MMV法，引入一組幾何參數顯式地描述孔洞的邊界，減少與優化問題相關的設計變量的總數，還提供了通過有效的單元移除技術大幅減少有限元自由度數量的可能性。MMC/MMV法借助部件形式的材料模型減小了設計變量的數量，提高了優化效率，而且顯式的邊界描述也有助于進一步與CAD技術的結合。然而，模塊化的部件數量和初始位置的設置會對最終優化結果產生影響，面對復雜的拓撲構型，該方法容易出現部件描述能力不足的問題。

與MMC/MMV方法類似，Wei等［67］提出的剛度擴散法是一種桁架的結構布局優化方法，該方法將桁架結構桿單元的剛度矩陣用一組嵌入弱背景網格的等效剛度矩陣表示。桁架結構中的桿件在優化過程中不需要相互連接，每個桿件都可以在設計域中獨立運動，通過優化可以形成最優桁架設計。

Norato等［68］提出幾何投影方法，優化固定寬度和半圓形末端的桿件組成的線性彈性平面結構。該方法通過使用可微分幾何投影，將設計投影到固定的分析網格上，避免設計更改時的網格重新劃分，該投影產生密度場指示設計空間中任意位置的固體材料的分數。類似的方法還有泡泡法［69］等。

3結論

以上兩類優化方法特點不同，求解優化問題時各有優劣。面向工程需求，兩類方法都能夠生成基本可用的優化結構。值得一提的是，Michell桁架解析解［70］一直以來就是數值優化方法比較的基準。從解析解來看，Michell桁架是一種基于梁單元（或稱為類桁架桿單元）的精細網［71］，即所謂的連續體結構。將Michell桁架解析解作為離散框架結構并不準確。拓撲優化結構限制為剛架或帶孔連續體結構是為了適應工程應用需要，這導致優化結果并非最優。在低體積分數約束下存在優化的桁架結構、基于n階層合板均勻化的拓撲優化［7］、帶孔板等3種優化問題的結果，它們的廣義形狀都會變得像Michell桁架解析解［72］。因此，真正的最優結構是變厚度，或者非均勻各向異性連續體。

為滿足制造需求，上述優化方法大多以直接得到邊界清晰的宏觀等厚度帶孔結構為目標，往往采用各向同性材料限制。這種等厚度各向同性材料設定可以理解為對優化結果的一種約束，它會導致優化結果與理論上的最優解相差較大。對比不同優化方法的結果［71］可知，通過允許變厚度而不強制等厚度帶孔板，在實際情況下，結構性能改進超過30%。顯然，與解析解相比，非最優結構在性能上的損失很難忽視。隨著工業制造水平的快速發展，一些變剛度復合材料使一些人造材料的實現成為可能。因此，以更高精度的拓撲優化結果為目標，發展更加高效的數值拓撲優化方法是當前一個重要的研究方向。

基于幾何特征的幾種數值優化方法中，主要通過描述宏觀尺度下材料的邊界構建拓撲最優結構。這種方式的優點是結構邊界清晰，無需后處理，設計變量相對較少，便于工程應用。然而，面對復雜的優化問題，設計變量與目標函數之間較強的非線性關系增加了優化求解的難度，基于部件的材料場描述方式比離散形式的材料類方法更難描述復雜拓撲結構。

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（責任編輯： "錢筠英文審校： 方德平）