對賦值法的深度思考

董強

摘?要：通過對一道高考試題的求解，見證了賦值法在求解奇函數中參數時的局限性和典型誤區，從而回歸定義，從奇函數本身出發分析了一般恒等式的意義，使問題得以順利解決.

關鍵詞：賦值法；奇函數；參數

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0031-06

2022年全國乙卷文科數學第16題是一道已知奇函數求參數的問題，很多學生都習慣于采用特殊值法求參數問題.而實際求解時，不同的學生所賦的特殊值可能有所不同，這將導致試題產生不同的“解”，究其原因，是對函數具有奇偶性的必要條件沒有充分理解所致.

1 試題呈現

題目?若f（x）=ln|a+11-x|+b是奇函數，則a=，b=.

2 賦值求解

對于這道試題，容易注意到x≠1，所以在利用特殊值法求參數的過程中就不能賦x=1，即不可以利用f（-1）+f（1）=0解題.函數解析式中除了能確定x≠1之外，因為涉及參數a和對數的真數，暫不能直接看出x是否能取其他的值，但是學生根據經驗能很容易想到利用f（0）=0（奇函數如果在原點處有定義，那它一定過原點，即f（0）=0）.將這一試題呈現給當前筆者所帶的高三學生時，學生在具體求解的過程中，給出兩種不同的賦值方案.

2.1 賦值方案1

生1：依題有f（0）=0，f（-2）+f（2）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+13|+ln|a-1|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+13|+ln|a-1|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-23a-13|.

故a2+2a+1=a2-23a-13，①

或a2+2a+1+a2-23a-13=0.②

由①得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，②式無解.

所以a=-12，b=ln2.

生2：依題有f（0）=0，f（-3）+f（3）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+14|+ln|a-12|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+14|+ln|a-12|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-14a-18|.

故a2+2a+1=a2-14a-18，③

或a2+2a+1+a2-14a-18=0.④

由③得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，④式無解.

所以a=-12，b=ln2.

生3：依題有f（0）=0，f（-4）+f（4）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+15|+ln|a-13|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+15|+ln|a-13|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-215a-115|.

故a2+2a+1=a2-215a-115，⑤

或a2+2a+1+a2-215a-115=0.⑥

由⑤得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，⑥式無解.

所以a=-12，b=ln2.

2.2 賦值方案2

生4：依題有f（0）=0，f（-12）+f（12）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+23|+ln|a+2|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+23|+ln|a+2|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+83a+43|.

故a2+2a+1=a2+83a+43，⑦

或a2+2a+1+a2+83a+43=0.⑧

由⑦得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑧得a=--7±76.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（7±1）.

所以a=-12，b=ln2或a=-7+76，b=ln（7+1），或a=-7-76，b=ln（7-1）.

生5：依題有f（0）=0，f（-13）+f（13）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+34|+ln|a+32|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+34|+ln|a+32|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+94a+98|.

故a2+94a+98=a2+2a+1，⑨

或a2+2a+1+a2+94a+98=0.⑩

由⑨得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑩得a=-17±1716.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（17±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-17+1716，b=

ln（17+1），或a=-17-1716，b=ln（17-1）.

生6：依題有f（0）=0，f（-14）+f（14）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+45|+ln|a+43|+2b=0.

故2ln|a+1|=ln|a+45|+ln|a+43|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+3215a+1615|.

故a2+2a+1=a2+3215a+1615，B11

或a2+2a+1+a2+3215a+1615=0.B11

由B11得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由B12得a=-31±3130.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（31±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-31+3130，b=

ln（31+1），或a=-31-3130，b=ln（31-1）.

評析?以上解析過程都采用了特殊值法，但所得結論卻不盡相同.事實上，x=-2和x=2是否為函數定義域內的值，即能否使得f（x）有意義并不清楚，所以將其貿然代入f（x）略顯解析過程的不嚴謹性.幸運的是，在方案1代入特殊值時，所產生的另一個一元二次方程的判別式都小于零，此時方程無解，所以僅求出了一組a，b的值，一般而言，作為填空題基本就可以認定a=-12，b=ln2.此時，如果是解答題，可以將a，b的值代入原函數，得f（x）=

ln|x+11-x|，x∈（-8，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.對于定義域內任意的x，都有f（-x）+f（x）=ln|-x+11+x|+ln|x+11-x|=ln1=0，所以f（x）是奇函數，即a=-12，b=ln2就是正確結果.f（x）=ln|x+11-x|的圖象關于原點對稱，如圖1所示.

但是，在方案2的賦值法求解過程中，產生了除a=-12，b=ln2之外的其他a，b值.這時可以肯定某個環節出現了問題，憑借解題經驗和填空題的“簡潔性”，我們更愿意接受a=-12，b=ln2這組解.

從以上兩種不同方案賦值的過程可以發現，如果所賦的值（自變量的值）絕對值大于1，那么只能求出一組a，b值；如果所賦的值絕對值小于1，那么可以求得三組不同的a，b值，其中一組是a=-12，b=ln2，而且此種情況下，不同的賦值求出的另外兩組a，b值均有所不同（細致觀察的話，這些值呈現了一定的規律性）.那么，問題是其他的a，b值是否合理呢？如果不合理，究竟是什么原因導致的，為什么不同的賦值會產生不同的結果？

3 技術驗證

對于上述其他a，b的值是否符合題意，我們可以借助于信息技術進行驗證.分別將a=-7+76，b=ln（7+1） a=-7-76，b=ln（7-1） a=-17+1716，b=ln（17+1）

a=-17-1716，b=ln（17-1） a=-31+3130，b=ln（31+1） a=-31-3130b=ln（31-1）這六組值代入函數解析式，得

f1（x）=ln|-7+76+11-x|+ln（7+1），

f2（x）=ln|-7-76+11-x|+ln（7-1），

f3（x）=ln|-17+1716+11-x|+ln（17+1），

f4（x）=ln|-17-1716+11-x|+ln（17-1），

f5（x）=ln|-31+3130+11-x|+ln（31+1），

f6（x）=ln|-31-3130+11-x|+ln（31-1）.

利用數學作圖軟件GeoGebra分別作出上述六個函數的圖象，如圖2，3，4，5，6，7所示：

容易發現，上述六個函數都經過坐標原點O，圖象本身都是關于某一點成中心對稱，但是這些對稱中心都不再是坐標原點.可見，這些a，b的值不能使得函數f（x）成為奇函數，是不符合題意的.那么，為什么會產生這一問題呢？究其原因，是對奇函數概念把握得不準確所致，奇函數是指對于定義域內的任何x，均有f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，所以諸如f（0）=0，f（-12）+f（12）=0等條件都是函數f（x）成為奇函數的必要條件，卻并非充分條件，即f（0）=0，f（-12）+f（12）=0和“f（x）是奇函數”并不等價，這樣求出的結果自然就產生了“增根”，所以利用賦值法（特殊值法）求解此類問題是需要碰“運氣”的.賦值法的作用是“投石問路”，用賦值法求解試題后需要對其充分性進行證明[1].那么，如何利用奇函數本身的定義求解這道試題呢？

4 定義解析

解法1?因為函數f（x）是奇函數，所以x∈D，均有f（-x）+f（x）=0（D是函數f（x）的定義域）.

所以ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0.

即ln|（a+1）2-a2x21-x2|=-2b.B13

因為a，b均為常數，所以（a+1）2-a2x21-x2為常數，故有（a+1）2=a2，所以a=-12，代入B13式得b=ln2.

解法2?由題知函數f（x）的定義域可由11-x≠0，a+11-x≠0求得.因為函數f（x）是奇函數，所以其定義域關于原點對稱，根據x≠1知x≠-1，故f（x）定義域為（--8

，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.即x=-1是a+11-x=0的解，所以a=-12.又f（x）在原點有定義且為奇函數，所以f（0）=0，將a=-12代入f（0）=0，得b=ln2.

評析 ?上述解法1是對奇函數的定義充分解讀后得出了一般性的表達式，通過分析對任意x都對應的恒等式成立問題，由絕對值里面的分式分子分母對應項系數成比例得到（a+1）2=a2，從而求得參數a=-12，該解法的每一步都是等價的，所以a=-12，b=ln2是該試題的唯一解.此外，在解法1中，ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0也可以轉化為ln|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0.進一步可以轉化為e2b（a+11+x）（a+11-x）=±1.即e2b（a2+2a+11-x2）=±1對定義域內任意的x恒成立.從而必有2a+1=0，解得a=-12.于是由14e2b=1，解得b=ln2.值得一提的是，在涉及含有對數式的奇函數問題時，經常將奇函數定義的f（-x）=-f（x）改寫為f（-x）+f（x）=0的形式，目的是方便進一步運算與合并.解法2是充分考慮了函數的定義域而得出的快速且便捷的解法，比常見的賦值法既快又準，是一種巧妙的好方法.除上述解法1和解法2外，實際上，要使f（x）有意義，需有11-x≠0，a+11-x≠0， 即x≠1，x≠1+1a. 根據奇函數的定義域關于原點對稱，有1+1a=-1，故a=-12，一步到位，再將其代入

f（x）表達式求解b的值，思路亦清晰簡單.所以函數的定義域是函數的靈魂，脫離定義域談函數值或者函數的性質都是荒謬的.因此，在解題過程中，要使用賦值法必須先考慮問題的等價性，必要的情況下需要明確試題解的唯一性［2］.

5 深度思考

關于這道試題的求解，相信很多的學生會習慣性地選擇取特殊值，但是從前面的分析可以發現，賦值法有一定的局限性和誤區.首先，賦值時務必要保證所賦的值在函數的定義域內，否則將毫無意義，如前面求解時對于奇函數中是否有f（0）=0，也需考慮x=0在不在函數的定義域內.所以在求解奇偶函數問題的過程中，首當其沖的應是先考慮函數的定義域，而不應是見到題就盲目地賦值，在解題過程中出現問題的時候才想起奇偶函數對定義域的要求.其次，利用奇函數的一般形式f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0求解參數時，需要對恒等式進行本質的分析，如解法1中出現ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0后，一方面可以將對數部分合并，常數2b移到等式右邊，利用兩個常數恒等分析得知（a+1）2-a2x21-x2為常數，再考慮到該分式成為常數的條件是分子可以提公因式，從而和分母的1-x2約分;另一方面也可以利用對數恒等式將左邊整體變為ln|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0，再利用恒等式分析求解.再次，對恒等式也可以從對應項系數相等去求解，如解法1中可以對B13式如下解析：

設（a+1）2-a2x21-x2=c（c為常數），

則（a2-c）x2=（a+1）2-c恒成立.

所以a2-c=0，（a+1）2-c=0，所以a=-12，c=14.

所以由-2b=ln14，得b=ln2.

但是，“對應項系數相等”的使用前提必須明確哪些字母是未知量，哪些字母是參數.如對B13式錯誤解析如下：

依題有（a+1）2-a2x21-x2=1，且b=0，

則（a+1）2-a2x2=1-x2.

即a+1=1，a2=1，矛盾.

出現矛盾的原因是對此式中的三個字母a，b，x的地位認識不清所致，事實上，a，b是常數，x才是變量.這樣對B13式的處理自然就能想到（a+1）2-a2x21-x2為常數但不是1.最后，對于奇函數問題的解決，除了利用賦值法和定義法外，充分利用函數的圖象也是需要重視的一個方面.

6 結束語

很多數學試題的求解方法靈活多變，如何在數學試題的求解過程中做到對試題的等價變形與等價轉化對問題的解決意義重大，這一過程提倡學生進行創新思維，而“發散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質是創新思維的重要特征.具備良好創新思維的學生能夠擺脫思維定式的束縛，善于獨立思考，大膽創新創造”［3］.賦值法在數學解題中的作用不容小覷，它體現的實際是數學中由特殊到一般的數學思想，對問題的解決往往有一種方向指引功能，很多比較棘手的數學問題如能恰當利用賦值法將會柳暗花明.事實上，賦值法所得的結果有時是問題結果的部分特殊情況，有時卻是試題本身的全部結果，比如在直線和圓錐曲線問題的探索過程中（如所圍成平面圖形面積的最值、定值問題、定點問題等），一些特殊情況（如直線不存在斜率的情形）本身就是問題最終結果的呈現，這最能體現學生的主觀能動性和數學思維品質，所以賦值法蘊含著學生的獨立思考和大膽嘗試.提倡學生獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，使其養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展，這是新課程標準明確要求的[4].

參考文獻：

［1］

曹鳳山，朱偉義.函數與導數壓軸題中賦值確定參數范圍后的處理策略[J].中學教研（數學），2022（08）：18-21.

[2] 李左杰.賦值法在作截面交線中的應用[J].中學教研（數學），2012（11）：16-18.

[3] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李?璟］