多視角探究一道四省聯(lián)考壓軸題

賀鳳梅

摘?要：圓錐曲線的綜合題是歷年高考、聯(lián)考、模考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型.而直線和圓錐曲線的試題更是解析幾何的典型題，也是考試中解答題的必考題.這類題涉及數(shù)形結(jié)合和推理運(yùn)算，綜合了代數(shù)、向量、平面幾何等知識.文章以2023年四省聯(lián)考第21題為例，對圓錐曲線中的線段比（積）問題進(jìn)行分析，并給出解題策略.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；聯(lián)考；線段比

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0037-03

題目?（2023年四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第21題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）過點(diǎn)A（42，3），且焦距為10.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)B（42，-3），D（22，0），E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)，

證明：|GD||GE|=|HD||HE| .1 總體分析

此題是2023年四省聯(lián)考的第21題，是解析幾何中的典型題.解決這道題的關(guān)鍵是要理解直線與圓錐曲線的本質(zhì).直線與圓錐曲線相交，就會形成弦，這是常考的知識點(diǎn)，它涉及交點(diǎn)和弦長，進(jìn)而涉及坐標(biāo)等問題，因此覆蓋知識點(diǎn)較多.解答時(shí)入題容易，但是字母參數(shù)多、式子繁、運(yùn)算量大，學(xué)生求解過程中往往容易中途卡殼、半途而廢，只能得到相應(yīng)的步驟分.筆者通過思考、解答與探究，嘗試?yán)迩鍐栴}的本質(zhì)，以期達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的［1］.

2 試題解答

第（1）問，C的方程為C：x216-y29=1.

以下著重探討第（2）問.

視角1?以直線DE橫截式切入.

解法1?轉(zhuǎn)化為線段積結(jié)合弦長公式.

設(shè)直線DE方程為x=my+22（m≠0），則點(diǎn)E（42，22m）.設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），

聯(lián)立x=my+22，9x2-16y2=144，整理，得

（9m2-16）y2+362my-72=0.

由韋達(dá)定理，得y1+y2=-362m9m2-16，①

y1y2=-729m2-16.②

聯(lián)合①②易得y1y2=2m（y1+y2）.③

結(jié)合圖1及弦長公式得

|GD|·|HE|=1+m2|y1|·1+m2|y2-22m|

=（1+m2）|y1y2-22my1|.

同理|GE|·|HD|=1+m2|y1-22m|·1+m2|y2|=（1+m2）|y1y2-22my2|.將③代入分別計(jì)算得

|y1y2-22my1|=|2m（y1+y2）-22my1|

=|2m（y2-y1）|，

|y1y2-22my2|=|2m（y1+y2）-22my2|

=|2m（y1-y2）|，

所以|y1y2-22my1|=|y1y2-22my2|.

從而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

評注?解法1直接利用弦長公式及線段長度之積進(jìn)行化簡整理，同時(shí)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，借助于韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化與求解.從求解過程來看，由于兩根之積y1y2與兩根之和y1+y2有比較明顯的關(guān)系y1y2=2m（y1+y2），明確了變形和化簡方向，達(dá)到了設(shè)而不求的效果，簡化了運(yùn)算.

解法2?向量數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理求解.

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，22m-y2）-（42-x1，22m-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-22m（y1+y2）+32.

因?yàn)閤1x2=（my1+22）（my2+22），

x1+x2=（my1+22）+（my2+22），

結(jié)合①②，得

GD·HE-GE·DH

=（2m2+2）y1y2-（22m-22m）（y1+y2）

=（2m2+2）·（-7216m2-9）-（22m-22m）·（-362m16m2-9）=0.

所以GD·HE=GE·DH.

由題圖可知，G，D，H，E四點(diǎn)共線，GD∥HE且同向，GE∥DH且同向.

從而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

評注?幾何中有關(guān)平行與共線的問題，利用向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化非常便捷.此題結(jié)合圖形和待證等式，進(jìn)行合理變形整合后，聯(lián)合韋達(dá)定理達(dá)成目標(biāo)，完成證明.

視角2?以點(diǎn)E坐標(biāo)切入.

解法3?向量數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理.

設(shè)E（42，t），G（x1，y1），H（x2，y2），

則直線DE方程為y=t22（x-22）.

聯(lián)立y=t22（x-22），9x2-16y2=144，整理，得

（9-2t2）x2+82t2x-（16t2+144）=0.

由韋達(dá)定理，得

x1+x2=82t22t2-9，④

x1x2=16t2+1442t2-9.⑤

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32，

而y1y2=t28（x1-22）（x2-22），

y1+y2=t22（x1-22）+t22（x2-22）.

結(jié)合④⑤，得

GD·HE-GE·DH

=（2+t24）x1x2-（324t2+

62）（x1+x2）+4t2+32=

4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=

0.

下同解法2.

評注?解法3開始的切入點(diǎn)也是此類試題的常規(guī)處理方式之一，解法1是設(shè)線切入，而解法3是設(shè)點(diǎn)切入.后面的解答與解法2異曲同工，不再贅述.

視角3?利用投影降維.

解法4?結(jié)合圖形可作如下轉(zhuǎn)化，

|GD||GE|=xD-xGxE-xG=22-x142-x1，

|HD||HE|=xH-xDxE-xH=x2-2242-x2，

所以只需證明2x1x2-62（x1+x2）+32=0.

而2x1x2-62（x1+x2）+32=2×82t22t2-9-62×16t2+1442t2-9+32=0，問題得證.

評注?此解法的實(shí)質(zhì)是向量坐標(biāo)作水平投影，根據(jù)平行線段的比例關(guān)系，同時(shí)結(jié)合點(diǎn)的位置，轉(zhuǎn)化為各點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系，簡化運(yùn)算.另外，基于解法1，大家也可以通過縱坐標(biāo)的關(guān)系進(jìn)行證明，感興趣的讀者不妨一試！

3 試題鏈接

試題?（2023年山東省濟(jì)南市高三模擬第21題）已知拋物線H：x2=2py（p>0），如圖2，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).證明：|AD||DE|=|EF||FC|=|DB||BF|.

4 結(jié)束語

此類試題主要考查學(xué)生對解析幾何基本思想的掌握以及綜合運(yùn)算能力.數(shù)學(xué)解題的根本目的在于鞏固知識、提升能力.在解決問題的過程中將知識形成網(wǎng)絡(luò)，方法形成體系，這樣才能真正做到解一題、通一類.

因此，在復(fù)習(xí)備考中，我們一定要認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，明確高考對解析幾何基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本方法的要求.重視解析幾何問題的分析與轉(zhuǎn)化、通法的訓(xùn)練與歸納，通過典型例題的分析與講解，幫助學(xué)生總結(jié)解題思路、思考策略和通性通法.

參考文獻(xiàn)：

［1］

朱趙娜.圓錐曲線中線段比（積）的處理方法[J].理科考試研究，2014，21（07）：1-2.

［責(zé)任編輯：李?璟］