多視角探究一道四省聯考壓軸題

賀鳳梅

摘?要：圓錐曲線的綜合題是歷年高考、聯考、模考中的熱點和重點題型.而直線和圓錐曲線的試題更是解析幾何的典型題，也是考試中解答題的必考題.這類題涉及數形結合和推理運算，綜合了代數、向量、平面幾何等知識.文章以2023年四省聯考第21題為例，對圓錐曲線中的線段比（積）問題進行分析，并給出解題策略.

關鍵詞：圓錐曲線；聯考；線段比

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0037-03

題目?（2023年四省聯考數學試卷第21題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）過點A（42，3），且焦距為10.

（1）求C的方程；

（2）已知點B（42，-3），D（22，0），E為線段AB上一點，且直線DE交C于G，H兩點，

證明：|GD||GE|=|HD||HE| .1 總體分析

此題是2023年四省聯考的第21題，是解析幾何中的典型題.解決這道題的關鍵是要理解直線與圓錐曲線的本質.直線與圓錐曲線相交，就會形成弦，這是常考的知識點，它涉及交點和弦長，進而涉及坐標等問題，因此覆蓋知識點較多.解答時入題容易，但是字母參數多、式子繁、運算量大，學生求解過程中往往容易中途卡殼、半途而廢，只能得到相應的步驟分.筆者通過思考、解答與探究，嘗試厘清問題的本質，以期達到舉一反三、觸類旁通的目的［1］.

2 試題解答

第（1）問，C的方程為C：x216-y29=1.

以下著重探討第（2）問.

視角1?以直線DE橫截式切入.

解法1?轉化為線段積結合弦長公式.

設直線DE方程為x=my+22（m≠0），則點E（42，22m）.設G（x1，y1），H（x2，y2），

聯立x=my+22，9x2-16y2=144，整理，得

（9m2-16）y2+362my-72=0.

由韋達定理，得y1+y2=-362m9m2-16，①

y1y2=-729m2-16.②

聯合①②易得y1y2=2m（y1+y2）.③

結合圖1及弦長公式得

|GD|·|HE|=1+m2|y1|·1+m2|y2-22m|

=（1+m2）|y1y2-22my1|.

同理|GE|·|HD|=1+m2|y1-22m|·1+m2|y2|=（1+m2）|y1y2-22my2|.將③代入分別計算得

|y1y2-22my1|=|2m（y1+y2）-22my1|

=|2m（y2-y1）|，

|y1y2-22my2|=|2m（y1+y2）-22my2|

=|2m（y1-y2）|，

所以|y1y2-22my1|=|y1y2-22my2|.

從而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

評注?解法1直接利用弦長公式及線段長度之積進行化簡整理，同時聯立直線與雙曲線的方程，借助于韋達定理轉化與求解.從求解過程來看，由于兩根之積y1y2與兩根之和y1+y2有比較明顯的關系y1y2=2m（y1+y2），明確了變形和化簡方向，達到了設而不求的效果，簡化了運算.

解法2?向量數量積結合韋達定理求解.

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，22m-y2）-（42-x1，22m-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-22m（y1+y2）+32.

因為x1x2=（my1+22）（my2+22），

x1+x2=（my1+22）+（my2+22），

結合①②，得

GD·HE-GE·DH

=（2m2+2）y1y2-（22m-22m）（y1+y2）

=（2m2+2）·（-7216m2-9）-（22m-22m）·（-362m16m2-9）=0.

所以GD·HE=GE·DH.

由題圖可知，G，D，H，E四點共線，GD∥HE且同向，GE∥DH且同向.

從而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

評注?幾何中有關平行與共線的問題，利用向量的坐標轉化非常便捷.此題結合圖形和待證等式，進行合理變形整合后，聯合韋達定理達成目標，完成證明.

視角2?以點E坐標切入.

解法3?向量數量積結合韋達定理.

設E（42，t），G（x1，y1），H（x2，y2），

則直線DE方程為y=t22（x-22）.

聯立y=t22（x-22），9x2-16y2=144，整理，得

（9-2t2）x2+82t2x-（16t2+144）=0.

由韋達定理，得

x1+x2=82t22t2-9，④

x1x2=16t2+1442t2-9.⑤

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32，

而y1y2=t28（x1-22）（x2-22），

y1+y2=t22（x1-22）+t22（x2-22）.

結合④⑤，得

GD·HE-GE·DH

=（2+t24）x1x2-（324t2+

62）（x1+x2）+4t2+32=

4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=

0.

下同解法2.

評注?解法3開始的切入點也是此類試題的常規處理方式之一，解法1是設線切入，而解法3是設點切入.后面的解答與解法2異曲同工，不再贅述.

視角3?利用投影降維.

解法4?結合圖形可作如下轉化，

|GD||GE|=xD-xGxE-xG=22-x142-x1，

|HD||HE|=xH-xDxE-xH=x2-2242-x2，

所以只需證明2x1x2-62（x1+x2）+32=0.

而2x1x2-62（x1+x2）+32=2×82t22t2-9-62×16t2+1442t2-9+32=0，問題得證.

評注?此解法的實質是向量坐標作水平投影，根據平行線段的比例關系，同時結合點的位置，轉化為各點橫坐標間的關系，簡化運算.另外，基于解法1，大家也可以通過縱坐標的關系進行證明，感興趣的讀者不妨一試！

3 試題鏈接

試題?（2023年山東省濟南市高三模擬第21題）已知拋物線H：x2=2py（p>0），如圖2，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩相交于點D，E，F.證明：|AD||DE|=|EF||FC|=|DB||BF|.

4 結束語

此類試題主要考查學生對解析幾何基本思想的掌握以及綜合運算能力.數學解題的根本目的在于鞏固知識、提升能力.在解決問題的過程中將知識形成網絡，方法形成體系，這樣才能真正做到解一題、通一類.

因此，在復習備考中，我們一定要認真研讀課程標準，明確高考對解析幾何基礎知識、基本技能、基本思想、基本方法的要求.重視解析幾何問題的分析與轉化、通法的訓練與歸納，通過典型例題的分析與講解，幫助學生總結解題思路、思考策略和通性通法.

參考文獻：

［1］

朱趙娜.圓錐曲線中線段比（積）的處理方法[J].理科考試研究，2014，21（07）：1-2.

［責任編輯：李?璟］