2022年高考全國Ⅰ卷第21題的探究及反思

王東海

摘?要：文章圍繞2022年高考全國Ⅰ卷第21題進行研究，通過從不同角度切入，給出了該問題的解法探究，作了相應的方法總結，并在此基礎上給出教學反思.

關鍵詞：全國Ⅰ卷數學；圓錐曲線；解法探究；拓展推廣

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0057-05

一道好的數學試題，不但注重在知識交匯處命題，而且還立足于考查考生的關鍵能力和數學學科核心素養.2022年高考全國Ⅰ卷第21題就是這樣的一道試題，它既具有基礎性，又具有創新性，試題極具選拔功能.

1 真題呈現

題目?已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

分析?該圓錐曲線試題第（1）小題考查直線的斜率為定值這一問題，第（2）小題則考查三角形的面積計算問題，兩小題難度差距不大，第（1）小題稍難.對于第（1）題，可以按求定值問題的常見思路對待，選擇一個變量表示出所求直線的斜率，然后消去變量得到定值，也可以設出兩個變量，通過條件解方程得到直線的斜率，還可以通過齊次化法及參數方程去處理.

2 解法探究

思路1?可考慮的通解通法是設出AP的方程，然后用直線AP的斜率表示出所求直線的斜率，進而獲得解決.

解法1?（1）由A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上可得a2=2.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意知直線AP的斜率必存在，設AP：y-1=k（x-2），聯立y=k（x-2）+1，x2-2y2=2，得

（1-2k2）x2+（8k2-4k）x-4k2+8k+2=0.

故2+x1=-8k2+4k1-2k2.

從而得x1=-4k2+4k-21-2k2.

代入y-1=k（x-2）知y1=2k2-4k+11-2k2.

同理可得

Q（-4k2-4k-21-2k2，2k2+4k+11-2k2）.

所以kPQ=y2-y1x2-x1=8k-8k=-1.

（2）設AP傾斜角為α，因tan∠PAQ=22，得tanα=kAP=2，sin∠PAQ=223［1］.

又AP=1+2x1-2，

AQ=1+2x1-2，

所以SΔAPQ=12×2APAQsin∠PAQ=4-（x1+x2）+x1x2，

聯立y=-x+53和x22-y2=1，

代入可得SΔAPQ=1629.

思路2??這里還可以直接設出PQ的方程，然后通過所給條件求出直線PQ的斜率.

解法2?（1） 由4a2-1a2-1=1，得a2=2.

故雙曲線為x22-y2=1.

設直線PQ為：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立y=kx+m，x2-2y2=2，得

（1-2k2）x2-4kmx-2m2-2=0.

而kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0，

由韋達定理代入（k+1）（2k-1+m）=0，當2k-1+m=0，直線PQ為y=kx+1-2k，恒過A（2，1），舍.

從而k=-1.

（2）見解1.

評注?采取直接設出所求直線的斜率也可獲解，另外設為x=ty+n亦可.

思路3?此題條件中涉及兩直線的斜率和，故也可考慮使用齊次化法去處理.

解法3??（1）設PQ：m（x-2）+n（y-1）=1，而雙曲線x22-y2=1可以整理成

（x-2）2-2（y-1）2+4（x-2）-4（y-1）=0.

聯立齊次化，得

（x-2）2-2（y-1）2+［4（x-2）-4（y-1）］·［m（x-2）+n（y-1）］=0.

整理，得（-2-4n）（y-1x-2）2+（-4m+4n）·y-1x-2+1+4m=0.

由題意，得kPA+kQA=0，

故4n-4m4n+2=0.

則m=n.

所以PQ：m（x+y-3）=1.

從而kPQ=-1.

（2）因為22=tan∠PAQ=kAP-kAQ1+kAP·kAQ，且kAP=-kAQ，所以kAPkAQ=-2.

即-4m-14n+2=-2.

所以m=n=-34.

所以PQ：3x+3y-5=0.

所以dA→PQ=223.

聯立x22-y2=1，得

9x2-60x+68=0.

計算得x1-x2=823.

所以PQ=163.

故SΔAPQ=12PQd=1629.

思路4?此題也可以不設直線的方程來處理，而是通過不聯立方程組的方法來處理.

解法4??（1）設P（x1，y1），Q（x2，y2），因為kAP+kAQ=0，所以y1-1x1-2+y2-1x2-2=0.①

又P，Q，A在雙曲線上，故

x212-y21=1，x222-y22=1，222-12=1.

由點差法知-y1-1-x1-2·y1-1x1-2=12，②

-y2-1-x2-2·y2-1x2-2=12，

由①②，得12·x1+2y1+1+y2-1x2-2=0.

整理，得

（x1+2）（x2-2）+2（y1+1）（y2-1）=0.③

同理（x1-2）（x2+2）+2（y1-1）（y2+1）=0.④

由③-④，得

4y1-4y2=-4（x1-x2）.

所以kPQ=y1-y2x1-x2=-1.

（2）設直線AP傾斜角為α，則

tan∠PAQ=22.

從而kAP=2=y1-1x1-2，x212-y21=1，

解得P（-423+103，-53+423）.

同理Q（423+103，-53-423）.

所以SΔAPQ=12AP×AQ=1629.

評注?這里在求三角形的面積時，采用了向量的向量積運算，還可以使用面積的行列式算法.

思路5?如果采用雙曲線的參數方程，也可巧妙地處理此題.

解法5?（1） 因為x22-y2=（x2+y）（x2-y）=1，

不妨設x2+y=t，x2-y=1t，則有

x=2（t2+1）2t，y=t2-12t.

則P（2（t21+1）2t1，t21-12t1），

Q（2（t22+1）2t2，t22-12t2）.

所以kPQ=2（t1t2+1）2（t1t2+1）.

由題意，得kAP+kAQ=2（t1-1+2）2（-t1-1+2）+2（t2-1+2）2（-t2-1+2）=2（t1t2+22-3）（-t1-1+2）（-t2-1+2）=0，故可得t1t2=-22+3.代入得kPQ=-1.

（2）可參考解法1.

3 提出問題，探究問題

在這道考題中，曲線C是雙曲線x22-y2=1，點A（2，1）在雙曲線上.如果曲線C是任意的雙曲線x2a2-y2b2=1，點A（x0，y0）是雙曲線上任一點，那么在滿足kAP+kAQ=0時，直線PQ的斜率是否仍為定值？

設PQ的方程為y=kx+m（顯然PQ的斜率必存在），P（x1，y1），Q（x2，y2），從而由kAP+kAQ=0，得

y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2=0.

整理知2x0y0-y0（x1+x2）-x0（y1+y2）+x2y1+x1y2=0.

而y1+y2=k（x1+x2）+2m，

x2y1+x1y2=2kx1x2+m（x1+x2），

代入上式，得

2x0y0-（m-y0-x0k）（x1+x2）+2kx1x2-2x0m

=0.⑤

聯立y=kx+m和x2a2-y2b2=1，得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.

根據韋達定理并代入⑤式，得

a2x0y0k2+a2（y0m+b2）k+x0b2（m-y0）=0.⑥

再由點（x0，y0）在雙曲線上，則有

x20a2-y20b2=1.

得x20b2=a2b2+a2y20.

將它代入上式并因式分解得

（y0a2k+x0b2）（x0k+m-y0）=0.

故k=-x0y0·b2a2或m=y0-x0k.

而若 m=y0-x0k時，此時直線PQ過定點A（x0，y0），不合題意.

從而kPQ=-x0y0·b2a2，故是一個定值.

如果點A（x0，y0）不在雙曲線上，直線PQ的斜率為定值嗎？顯然若A（x0，y0）不在雙曲線上，則無條件x20a2-y20b2=1成立，故上式無法因式分解，從而直線PQ的斜率不是定值 .

如果其他條件不變，將kAP+kAQ=0改為kAP+kAQ=t（t≠0），則此時直線PQ的斜率為定值嗎？

設直線PQ的方程為m（x-x0）+n（y-y0）=1，雙曲線方程 x2a2-y2b2=1可變為

b2（x-x0）2-a2（y-y0）2+2b2x0（x-x0）×1-2a2y0（y-y0）×1=0.

再將PQ方程代入，得（b2+2b2mx0）（x-x0）2-（2a2ny0+a2）（y-y0）2-（2a2my0-2b2nx0）（x-x0）（y-y0）=0，

除（x-x0）2得

b2+2b2mx0-（2a2ny0+a2）（y-y0）2（x-x0）2-（2a2my0-2b2nx0）y-y0x-x0=0.

由韋達定理知kAP+kAQ=2b2nx0-2a2my02a2ny0+a2=t.

即 -2a2my0+（2b2x0-2a2y0t）n=a2t2.

兩邊同除a2t2，得

-2y0tm+（2x0t·b2a2-2y0）n=1.

顯然由此式無法推導出m，n之間的倍數關系，即kPQ=-mn不是定值.

但這里我們發現因PQ的方程為

m（x-x0）+n（y-y0）=1，

從而x-x0=-2y0t，y-y0=-2y0+2x0t·b2a2.

故x=x0-2y0t，y=-y0+2x0t·b2a2.

從而能夠推出直線過這個定點.

另外，由上面的推導可以觀察到kAP·kAQ=-b2-2b2x0m2a2ny0+a2=b2a2·-1-2x0m2ny0+1，若令其為定值-b2a2，則得到mn=y0x0，從而可得kPQ=-mn=-y0x0.4 一般性推廣

由上面的探究，可以得到下面幾個結論：

結論1?點A（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定點，P，Q為雙曲線上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=0，則直線PQ的斜率為定值-x0y0·b2a2.

結論2?點A（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上定點，P，Q為雙曲線上兩個動點，AP，AQ斜率分別為k1，k2，若k1+k2=t（t≠0），則PQ過（x0-2y0t，-y0+2x0t·b2a2）.

結論3?點A（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定點，P，Q為雙曲線上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1·k2=-b2a2，則直線PQ的斜率為定值-y0x0.

上述探究所得三個結論只需用-b2代替b2，就可得到橢圓對應的三個結論：

結論4?點A（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點，P，Q為橢圓上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=0，則直線PQ的斜率為定值x0y0·b2a2.

結論5?點A（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點，P，Q為橢圓上兩個動點，AP，AQ斜率分別為k1，k2，若k1+k2=t（t≠0），則PQ過（x0-2y0t，-y0-2x0b2ta2）.

結論6?點A（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點，P，Q為橢圓上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1·k2=b2a2，則直線PQ的斜率為定值-y0x0.

對于拋物線，如果我們采取類似的處理方法，也可得到相關結論：

結論7?點A（x0，y0）是拋物線y2=2px（p>0）上一定點，P，Q為拋物線上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=0，則直線PQ的斜率為定值-py0.

觀察結論1，4，7，因過點A的切線斜率分別為-x0y0·b2a2，x0y0·b2a2，py0，正好都與直線PQ的斜率互為相反數，從而這三個結論可統一成：

結論8?點A（x0，y0）是圓錐曲線上一定點，P，Q為圓錐曲線上兩個動點，AP，AQ的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=0，則直線PQ斜率與圓錐曲線過點A處切線的斜率互為相反數.

5 結束語

2022年高考數學卷具有很好的導向作用，它關注數學的本質，強調理性思維的價值，注重數學的基礎性，引導學生對數學概念、方法有更深刻的認知.在基礎性、綜合性、應用性、創新性等方面都進行了全面的考查，較好地發揮了高考的選拔功能，對中學數學教學改革將起到積極的引導和促進作用.

首先在數學教學中，時常會遇到各種各樣的問題，這時我們不能滿足于將問題解決了就萬事大吉，而是要進一步進行探究.我們可以進行解法探究，也可以將問題一般化，進行拓展研究，還可以進行變式研究.這樣的習慣對于學生思維的深刻性、靈活性很有幫助，在面對高考試題時，會處變不驚，從容應對［2］.

為了適應新高考的要求，我們可以培養學生自己編題的能力，通過編題訓練學生鉆研和深入探究的能力.比如根據此題可編寫：已知點A（1，32）是橢圓x24+y23=1上一個定點，點E，F是橢圓的兩個動點且直線AE和直線AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值等試題.

參考文獻：

［1］波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2] 汪耀生.一道清華測試題的解法探究和推廣[J].中學數學研究，2022（03）：55-56.

［責任編輯：李?璟］