例析幾種常見回復力的來源及拓展

楊天才

摘?要：做簡諧運動的物體必然受到回復力的作用，回復力是效果力，常見的回復力由哪些性質的力提供的呢？文章通過實例探析回復力的來源，旨在做出一般性歸納，分析物理現象，體現物理邏輯，得出物理規律，最終達到提升核心素養的目的.

關鍵詞：簡諧運動；回復力；牛頓第二定律；微分方程

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0126-04

簡諧運動是一種最簡單最基本的振動.一個質點做機械振動，如果它的回復力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反，就能判定它的運動性質為簡諧運動.回復力是根據力的效果命名的一種力，是使物體回到平衡位置的效果力[1]，除了教材中提到的彈簧振子（彈簧彈力提供回復力）和單擺（重力的分力提供回復力）外，學生在學習探索問題情境中，還會遇到彈力（浮力）、萬有引力、摩擦力、靜電力、電磁力等性質力（或分力）提供回復力[2].

1 浮力與重力的合力提供回復力

例1?粗細均勻的一根木筷，下端繞幾圈鐵絲，豎直浮在較大的裝有水的杯中，如圖1所示.把木筷往上提起一段距離后放手，木筷就在水中上下振動，試判斷木筷的振動是簡諧運動（忽略水阻力的影響）.

解析?如圖2所示，在平衡位置mg=F浮，平衡位置上Δx處時F合=mg-F′浮，F合=mg-F浮+ΔF浮，F合=ρgΔV=ρgSΔx，方向向下，即回復力F回=ρgSΔx，設ρgS=k，位移為x，方向向上為正方向，F回=-kx，木筷的振動是簡諧振動.

點評?根據解析可知木筷的運動性質為簡諧運動，可理解為水中的類彈簧振子模型，同理液體中還有類單擺模型，將木球（或鐵球）用輕繩固定在水底（或在水面下某點），讓球小角度偏離平衡位置，球在浮力、重力、拉力作用下也會做簡諧運動（忽略水阻力的影響）.

2 萬有引力與彈力的合力提供回復力例2?設計貫通地球的弦線光滑真空列車隧道：如圖3所示，質量為m的列車不需要引擎，從入口的A點由靜止開始穿過隧道到達另一端的B點，O′為隧道的中點，O′與地心O的距離為h=32R，假設地球是半徑為R的質量均勻分布的球體，地球表面的重力加速度為g.已知質量均勻分布的球殼對球內物體引力為0，P點到O′的距離為x，則（??）.

A.列車在隧道中A點的合力大小為mg

B.列車在P點的重力加速度等于g

C.列車在AB間做簡諧運動

D.列車在運動中的最大速度為gR2圖3?例2題圖

解析?選項A、B分析略.設地球的質量為M，列車運動到P點距地心為r，∠POO′=θ′，根據幾何關系有sinθ′=xr，列車運動到P點合力為F合=GM″mr2·sinθ′，地球為均勻球體，則M″M=r3R3，又GMmR2=mg，解得F合=mgRx，取mgR=k，位移為x，方向水平向左為正方向，F回=-kx，選項C正確；列車在隧道內距O′的距離x時合力F′=ma=mgRx，F′隨x均勻變化，既列車從A到O′做加速度減小的加速運動，則列車在O′點有最大速度，則有FA+FO′2·xAO′=

12mv2-0，解得v=12gR，選項D正確.

點評?因質量均勻分布的球殼對球內物體引力為0，地球內某點的重力（引力）加速度為g′=G4πρr3，與球心到該點的距離成正比，所以引力與支持力的合力與距離呈線性關系，即合力提供回復力.

3 動摩擦力提供回復力

例3?如圖4所示，質量為m，長為L的勻質木板以速度v0（未知）向右運動，水平地面O點左側是光滑的，右側是粗糙的，與木板的摩擦系數為μ，當木板全部進入時剛好靜止.試計算：圖4?例3題圖

（1）初速度v0；

（2）運動的時間t.

解析?（1）假設右端進入粗糙部分長度為x，則受到的摩擦阻力大小為f=μxLmg=μmgLx，方向向左，做出f-x圖像如圖5所示，圖線與坐標軸所圍的面積在數值上表示克服摩擦力做的功，有Wf=12·μmgLL·L=12μmgL，根據能量守恒，有12mv20=12μmgL，解得v0=μgL.

（2）由于f=-μxLmg=-μmgLx，所以木板進入摩擦區域的運動可以等效為一個簡諧運動，等效回復系數為k=μmgL，運動周期為T=2πmk=

2πLμg，所以運動時間為簡諧運動的14T，即t=T4=π2Lμg.

點評?只有知道木板向右運動的運動性質，才能求出其運動時間，由題設條件知木板向右運動可看成簡諧運動的一部分，時間剛好為14T.

4 靜電力提供回復力

例4?電量均為+Q的兩電荷固定在相距為2d的AB兩點，如圖6所示，O為AB連線中點，AB連線中垂線上有一點M，到O的距離為A，已知靜電力常量k.

（1）求M點的場強；

（2）將一質量為m，帶電量為-q的粒子從M點由靜止釋放，不考慮粒子的重力.若A遠小于d，可略去Adn（n≥2）項的貢獻，試證明粒子的運動為簡諧運動.

解析?（1）兩個等量正電荷在M處產生的電場強度合成如圖7所示， M點的場強為EM=2kQd2+A2cosα=2kQAd2+A232，方向為O指向M.

（2）粒子運動過程中，O點為平衡位置，可知當發生位移x時，粒子受到的電場力為F=-2kQqxd2+x232=2kQqxd21+x2d232≈-2kQqd3x=-kx，即粒子的運動為簡諧運動.

點評?本題的模型可理解為類彈簧振子模型，對勻強電場中的單擺可理解為類單擺模型.

5 安培力提供回復力

例5?xOy是位于光滑水平面的直角坐標系，x>0一側有大小為B的勻強磁場，方向如圖8所示，在x<0一側有邊長分別為l1和l2的剛性矩形超導線框位于桌面上，其長邊與y軸平行，電阻為R，線框質量為m.現讓剛性矩形超導線框沿x方向以初速v0進入勻強磁場區域，當線框全部進入磁場時恰好靜止，（假定線框始終保持超導狀態且自成為L）求v0的大小.

解析?設超導線框進入的深度為xx

6 簡諧運動的本質是勻速圓周運動的一個分運動

如圖9所示，把一個有孔的小球A裝在輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在沿水平x軸的光滑桿上，能夠在桿上自由振動.另一小球B在豎直平面內以O′為圓心，在電動機的帶動下，沿順時針方向做半為徑R的勻速圓周運動.用豎直向下的平行光照射小球B，然后調節B球轉動的角速度，可以實現小球B在x方向上的“影子”和小球A在x軸上的位置時時重合.已知彈簧勁度系數為k，小球A的質量為m，小球B的角速度為ω.

（1）要實現這一現象，請推導角速度ω與勁度系數k必須滿足的關系；

（2）結合a的結論，請論證彈簧振子的運動周期與其振幅無關.

解析?（1）小球A的運動為小球B在水平方向上的分運動，小球A在O點時的瞬時速度大小即為小球B勻速圓周運動的速度大小；以小球A為研究對象，設它經過平衡位置O時的速度為v，當它從最大位移處運動到O，根據機械能守恒有

12mv2=12kR2，解得v=Rkm，則角速度ω與勁度系數k必須滿足的關系為ω=vR=km.

（2）小球A振動的周期與小球B做圓周運動的周期相等.根據圓周運動周期公式，小球B的運動周期TB=2πRv=2πmk，所以小球A的振動周期為TA=TB=2πmk，可知彈簧振子的運動周期與其振幅無關.

7 電磁振蕩現象類比簡諧運動

例7?簡諧運動是一種最基本的振動，它具有這樣的特征.簡諧運動質點的運動速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關系可以表示為v2=v20-ax2，其中v0為振動質點通過平衡位置時的瞬時速度，a為由系統本身和初始條件所決定的不變的常數.

（1）請你證明，圖10中小球的運動也滿足上述關系，并說明其關系式中的a與哪些物理量有關.已知彈簧的彈性勢能表達式為12kx2，其中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的形變量.

（2）現在請你結合簡諧運動的特征，從能量的角度證明如圖11所示的LC振蕩電路中，電容器極板上的電荷量隨時間的變化滿足簡諧運動的規律（即電荷量與時間的關系遵從正弦函數規律）.已知電感線圈中磁場能的表達式為12LI2，式中L為線圈的自感系數，I為線圈中電流的大小；電容器中電場能的表達式為12CU2，式中C為電容器的電容，U為電容器兩端的電壓.（不計電磁波的輻射）

圖11?LC振蕩

解析?（1）由簡諧運動過程中的機械能守恒，有12mv20=12mv2+12kx2，整理可得v2=v20-kmx2，即圖10中小球的運動也滿足上述關系，且常數 a為km.

（2）LC振蕩電路的總能量包括電容器的電場能和電感線圈中的磁場能，其總能量是守恒的，有：12LI20=12LI2+12CU2，其中 I0為LC振蕩電路中的最大電流，I和 U分別為某一時刻電路中的電流和電容器極板間的電壓，整理可得CU2=LI20-LI2，而電容器的電荷量為q=CU，代入得I2=I20-1LCq2，與v2=v20-ax2類比可知，電荷量q類比為位移x，電流I類比為速度v，可推得電荷量隨時間的變化滿足簡諧運動的規律.

8 結束語

彈簧振子和單擺是典型的簡諧運動實例，在中學物理中，經常有其他性質的力（如：重力、彈力、摩擦力、電磁力等）充當回復力，使物體做簡諧運動.簡諧運動從運動的合成與分解的角度來說，是勻速圓周運動的一個分運動；從動力學（牛頓第二定律）的角度來說，簡諧運動是所受外力大小正比于位移，且與位移方向相反（原點設立在平衡位置）的一種特殊的運動.這種關系導致了簡諧運動的正弦或者余弦關系表達式，其本質是數學微分方程的特解.

參考文獻：

［1］袁冬梅.回復力來源分類例析［J］.高中數理化，2012（08）：35.

［2］ 黨克明，趙明文.回復力的來源之淺見［J］.物理教師，1990（02）：18-19.

［責任編輯：李?璟］