例談建立空間直角坐標系的原則和方法

趙志強

摘?要：本文先介紹建立空間直角坐標系的原則和方法，然后舉例說明在不規則圖形中建立坐標系的方法.

關鍵詞：立體幾何；空間直角坐標系；建立坐標系；方法

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0061-03

從課本的例題中看出， 建立空間直角坐標系解決問題的例題背景基本上是正方體、長方體或底面是直角三角形的直三棱柱.因為這些幾何體十分容易建系，解決問題水到渠成，但有些例題沒有建立空間直角坐標系，而是選取恰當的基底解決問題.課本沒有建立空間直角坐標系求解是基于以下三個原因：①有的空間直角坐標系不易建立；

②若建立了恰當的空間直角坐標系，點的坐標不易寫出；

③運算較麻煩.

但是立體幾何問題中的點、線、面、體千差萬別，豐富多彩，有的用綜合法或“基底法” 比較難以解決問題，而用“坐標法”比較快捷.而且現在的新課標高考中立體幾何試題大多數用 “坐標法”都易于解決[1].那么怎樣建立恰當的空間直角坐標系呢？ 其實它與平面直角坐標系的建立方式相似，難的是豎軸z怎樣與x軸，y軸與原點形成標配.

1 建立空間直角坐標系的三大原則

原則一：特殊點為空間坐標系的原點O.

原則二：過O且互相垂直的兩條特殊直線為x軸與y軸 （或x軸、z軸或y軸、z軸），由此確定第三條軸的產生.

原則三：有利運算 （最適當的空間直角坐標系）.

有的幾何體隨著思考者的主觀性和角度不同，建立的空間坐標系也不同，從而運算過程大多不同，但結論都是一致的，恰當的空間直角坐標系會讓運算簡捷，起到事半功倍的效果[2].

2 常見的幾種模型及建立方法一般情況下，在立體圖形中有下面的幾種模型.

模型1?正方體（長方體）型

這種模型是最常見的模型， 教材的例題多是這種情況，一般建立如圖1所示的空間直角坐標系.

模型2?直棱柱型

直棱柱型一般常見的是直三棱柱或直四棱柱或直六棱柱， 出現頻率最高的是直三棱柱， 其次是直四棱柱.

（1）直三棱柱的底面是直角三角形， 可視為長方體的一半.通常以底面直角三角形的頂點為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系.

（2）直三棱柱的底面是正三角形 （即正三棱柱）， 通常以底面一邊的中點為原點， 建立如圖3所示的空間直角坐標系.

（3）直三棱柱的底面是一般三角形時， 可根據具體情況選擇原點，x軸，y軸， 常常以一邊與該邊上的高分別為x軸與y軸， 垂足為原點.特別地， 當底面是等腰三角形時， 取底邊的中點為原點， 底邊上的高所在的直線為x軸 （或y軸）， 如圖4.

模型3?斜棱柱型

常見的斜棱柱的底面三角形一般為特殊三角形，且某個側面與底面垂直或側棱與底面成已知角度， 常尋找垂直元素為坐標軸建立空間直角坐標系.

例1[3]?如圖5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為2，平面ACC1A1⊥平面ABC， 側棱與底面成60°的角.

（1）求AB1與BC1所成角的余弦值；

（2）求BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值；

（3）在線段AB1與線段BC1上是否分別存在點P，Q， 使PQ∥平面ACC1A1， 若存在， 求出P，Q的位置， 若不存在， 請說明理由.

解?設AC的中點為D.連接A1C，A1D，DB，由于平面A1ACC1⊥平面ABC， 且側棱與底面所成的角為60°， 三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為 2 ，所以△ABC和△A1AC為正三角形.故以D為原點，DB，DC，DA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立如圖6所示的空間直角坐標系， 則D（0，0，0），A（0，-1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，3），B1（3，1，3），C1（0，2，3）.

（1）AB1=（3，2，3），BC1=（-3，2，3），cos〈AB1，BC1〉=AB1·BC1AB1BC1=410×10=25，即AB1與BC1所成角的余弦值為25.

（2） 因為AB=（3，1，0），AB1=（3，2，3），

設平面ABB1A1的法向量為n=（x，y，z），

則n·AB=0，n·AB1=0， 所以3x+y=0，3x+2y+3z=0，

取x=1， 則y=-3，z=1， 所以平面ABB1A1的一個法向量n=（1，-3，1）.

設BC1與平面ABB1A1所成角為θ， 則

sinθ=cos〈BC1，n〉=BC1·nBC1|n|

=|-3-23+3|10×5=65，

所以BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為65.

（3）假設存在滿足條件的點P，Q， 且設AP=λAB1，BQ=μBC1，λ，μ∈（0，1）.所以DP=DA+

λAB1=（0，-1，0）+λ（3，2，3）=（3λ，-1+2λ，

3λ），DQ=DB+μBC1=（3，0，0）+μ（-3，2，3）=（3-3μ，2μ，3μ）， 所以

PQ=DQ-DP=（3-3μ-3λ，1+2μ-2λ，3μ-3λ），

而平面ACC1A1的一個法向量為DB=（3，0，0），

所以PQ·DB=0，即μ+λ=1，

即當AP=C1Q時，PQ∥平面ACC1A1.

特別地， 當λ=μ=12時，P，Q分別是AB1與BC1的中點.

模型4?棱錐型

棱錐型跟棱柱型的空間直角坐標系的建立方法基本一致.但正棱錐可取底面的中心為坐標原點.（特別是正四棱錐）.

模型5?圓柱型

圓柱形的空間直角坐標系的建立大多數以如圖7所示的方法建立.

模型6?其他幾何體型

其他幾何體千姿百態，但一般給出的幾何體的點、線、面及其關系含有很多特殊元素與特定的關系，可以結合平面幾何的相關知識與空間直角坐標系的常規方法建立恰當的空間直角坐標系.

例2[4]?如圖8，平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現將ΔABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BDC（如圖9），設點E，F分別是AC，AD的中點.

（1）求證：DC⊥平面ABC；

（2）求鈍二面角B-EF-A的余弦值.

解?（1）略.

（2）以B為原點，BD為x軸正向，BA為z軸正向建立空間直角坐標系如圖10.設CD=a，則BD=AB=2a，BC=3a，AD=22a，易知B0，0，0，A0，0，2a，D2a，0，0，Fa，0，a，E3a4，3a4，a，CD=a2，-3a2，0，BF=a，0，a，BE=34a，34a，a，AC=32a，32a，-2a.

設平面ACD的法向量為n1=x1，y1，z1，則有CD·n1=0，AC·n1=0，即a2x1-32ay1=0，3a2x1+32ay1-2az1=0，取n1=（3，1，3）.

設平面BEF的法向量為n2=x2，y2，z2，則有BE·n2=0，BF·n2=0，即3a4x2+34ay2+az2=0，ax2+az2=0，取n2=（-3，-1，3）.

∴cos＜m，n>=-1-1/3+1

21/3·21/3=17，

又二面角為鈍二面角，所以所求二面角B-EF-A的余弦值為-17.

3 結束語

新教材比較重視向量方法在立體幾何中的應用，而新高考中的立體幾何大題，都可以通過建立空間直角坐標系，用向量方法來解決.可以這么說，建立空間直角坐標系是解決立體幾何大題的通法，所以，除了規則的幾何體外，我們要掌握在不規則幾何體中建立空間直角坐標系的方法.

參考文獻：

［1］唐明超，于雷.一類立體幾何試題的模式化解法分析：以2019年全國卷Ⅰ試題為例[J].教學考試，2019（38）：58-62.

[2] 安國釵，張正華.巧建坐標系妙用解析法[J].理科考試研究，2019，26（24）：19-23.

[3] 李鴻昌.點在面內的多視角證明與高觀點審視：一道2020年立體幾何高考題引發的探究[J].數理化解題研究，2023（22）：101-104.

[4] 李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.

［責任編輯：李?璟］