電磁感應的常考題型解析

王凱

摘?要：感應電流是聯系力和電的橋梁.文章對電磁感應相關知識點進行梳理，對常考題型進行歸納解析，以期提升學生物理學科核心素養.

關鍵詞：電磁感應；感應電流；磁通量；感應電動勢；安培力

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0088-03

感應電流將電學與力學融合在一起，試題的難度也會有所提升.下面對電磁感應中的常考題型進行分類解析.

1 判斷磁通量的大小

例1?圖1所示是兩個同心放置的共面金屬圓環a和b，一條形磁鐵穿過圓環的圓心且與環面垂直，則穿過兩環的磁通量的大小關系為 （ ??）.

A.Φa>Φb B.Φa<Φb

C.Φa=Φb D.無法比較

分析?在閉合線圈中包含磁體（包括通電螺線管）時，線圈中存在相反的磁場，在這種情況下，一般要分區域定性分析或定量計算各自的磁通量，然后再求它們的代數和.

例1中，磁鐵內部的磁感線是磁鐵外部的總和，但由于方向相反，線圈中的磁通量是這兩者的差值.因此，線圈的面積越大，線圈中的磁通量反而越小.題目中穿過線圈的磁感線的方向相反，計算磁通量時，可以用正、負對它們加以區別，但這里的正、負絕非描述矢量的正、負號的含義.

解析?線圈把磁鐵包圍在其中，磁鐵的內部和外部磁感線的方向是相反的，計算磁通量時要注意正、負問題.

磁感線是閉合曲線，在條形磁鐵外部從N極到S極，在內部從S極到N極，線圈中的磁通量應是這兩部分磁通量的代數和.磁鐵外部空間的所有磁感線都要穿過內部，又因為圓環a的面積小于圓環b的面積，故從外部N極到S極穿過a面的磁感線條數少，則穿過a面的磁通量大，選項A正確.

點評?關于條形磁鐵的磁感線，教科書中展現在我們面前的幾乎都是磁鐵外部的磁感線的分布，從而使很多同學忽視了磁鐵內部的磁感線，并且內部的磁感線是磁鐵外部的總和，是主要的，只討論外部的磁感線是主次不分.

2 確定感應電流的方向

例2?如圖2所示，閉合導體環M固定，條形磁鐵S極向下以初速度v0沿過導體環圓心的豎直線下落，在此過程中導體環中的感應電流方向如何？

分析?楞次定律在本質上與能量守恒定律是一致的，它所涉及的過程是能量轉化，依據能量守恒，再結合楞次定律中的“阻礙”特點，楞次定律在具體的應用中還可衍化出許多實用的方法.以本題為例，導體環M中的感應電流是由于磁鐵與導體環的相對運動產生的，那么導體環M中的感應電流產生的磁場將會阻礙磁鐵的相對運動.所以，當磁鐵靠近導體環時，導體環中的感應電流將阻礙其靠近；當磁鐵遠離導體環時，導體環中的感應電流又將阻礙其遠離導體環.在這里對磁鐵的阻礙是通過導體環中的電流產生的磁場對磁鐵的作用力實現的，此時只需將導體環（環形電流） 看成一個小磁體，這一磁體與磁鐵的相互作用便是對磁鐵與導體環相互運動的阻礙，由此可知導體環的 N、S 極，進而容易確定導體環中的電流方向.

解析?從感應電流的磁通總是“阻礙磁通量變化”來看，當條形磁鐵的中心恰好位于導體環M所在的平面時，磁鐵內部向上的磁感線都穿過了導體環，而磁鐵外部向下穿過導體環的磁通量最少，所以此時穿過導體環M的磁通量最大.因此全過程中原磁場方向向上，先增后減，感應電流的磁場方向先下后上，感應電流先順時針后逆時針（俯視）.

點評?在運用楞次定律時，一定要注意“阻礙”不等于“反向”，“阻礙”不是“阻止”.而且，在實際應用過程中應從多方面來理解“阻礙”的含義，如在由相對運動引起磁通量變化的情況中，阻礙表現在相互的作用力上，即“來拒去留”；如果磁通量的變化是由磁場強弱的變化引起的，阻礙體現在感應磁場的方向上則是“增反減同”.此外，“阻礙”還可以表現在導體環的面積變化趨勢或運動趨勢上，等等.

3 閉合電路中的切割磁感線運動

例3[1]?如圖3所示，U形導線框固定在水平面上，右端放有質量為m的金屬棒ab，ab與導軌間的動摩擦因數為μ，它們圍成的矩形邊長分別為L1、L2，回路的總電阻為R.從t=0時刻起，在豎直向上方向加一個隨時間均勻變化的勻強磁場B=kt（k>0），那么在t為多大時，金屬棒開始移動？

分析?在ab未移動前，應有E=nΔBΔt·S=kL1L2，回路中將會存在恒定的電流，但由于磁場強度的變化，ab受到的安培力將會發生變化，而B=kt，則經過一定的時間后，安培力定會大于摩擦力，從而導致金屬棒開始運動.

解析?由E=ΔΦΔt=kL1L2可知，回路中感應電動勢是恒定的，電流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，隨時間的增大，安培力將隨之增大.當安培力增大到等于最大靜摩擦力時，ab將開始向左移動，這時有

kt·L1·kL1L2R=μmg.

所以，當t=μmgRk2L21L2時，金屬棒開始移動.

點評?當閉合回路中的磁通量發生變化時，回路中將產生感應電動勢，根據不同的情況，電動勢的公式E=nΔΦΔt有三種不同的表達形式：

（1）如果B不變、S變化，則E=nΔSΔt·B.

（2）如果S不變、B變化，則E=nΔBΔt·S.

（3）如果B和S同時改變，則E=nΔ（BS）Δt.

例4[2]?如圖4所示，把金屬線框從勻強磁場中勻速拉出，是快拉做功多還是慢拉做功多？

分析?金屬框穿越有界磁場的問題極為常見，無非是涉及這一過程的外力、安培力、做功、功率、流過導體的電量，以及金屬框某一部分產生的電動勢或某部分兩端的電勢差之類的問題，實質上是力學問題或電路問題在磁場中的具體應用，其基礎性非常強.對于本題，給出下面三種解法，望能從中體會其基本方法的運用.

解析?線框cd邊出磁場后，線框產生感應電動勢、感應電流，并受安培力，線框做勻速運動，則外力F=F安.

解法1?因為線框做勻速運動，所以

F=F 安=BIL=BBLvRL，

拉力所做的功為W=Fd=B2L2dvR.

無論快拉、慢拉，磁感應強度B、ab邊長L、拉出的位移d、線框電阻R都相同，所以拉出速度v越大，做功越多.

解法2?思路基本與解法1相同，只是線框產生的感應電動勢用法拉第電磁感應定律表達，即E=ΔΦΔt，于是有

W=Fd=BΔΦΔtRLd=BLdΔΦR·1Δt.

無論快拉、慢拉，線框拉出過程的磁通量變化ΔΦ都相同，所用時間越短，做功越多，即快拉做功多.

解法3?從能的轉化和守恒定律看，外力拉線框所做的功全部轉化為線框所產生的電能 （這一電能又通過線框電阻R變成焦耳熱），則

W=E2△tR=△Φ2R△t.

由上式可知，△t越小做功越多，所以快拉做功多.

點評?解法3不受線框所處的磁場是不是勻強磁場的限制，也不要求一定勻速拉出.所以，這個解法具有較為普遍適用的意義.我們知道，有安培力參與的運動，或是勻速運動，或是變加速運動，或是勻變速運動.因此，描述這樣的運動過程，往往只能采用能的轉化和守恒定律.

例5?如圖5所示，用一根均勻導線做成的矩形導線框abcd放在勻強磁場中，線框平面與磁場方向垂直，ad、bc邊上跨放著均勻直導線ef，各導線的電阻不可忽略.當將導線ef從ab附近勻速向右移動到cd附近的過程中（??）.

A.ef受到的磁場力方向向右

B.ef兩端的電壓始終不變

C.ef中的電流先變小后變大

D.ef中的電流先變大后變小

分析?在該模型中，由于只有ef在切割磁感線，故它在整個電路中充當電源，并且其電阻為電源的內阻，其他部分外電路的電阻為導線的電阻值，于是可將框架結構轉換為電路，如圖6所示.在ef勻速向右移動的過程中，ef左右兩側的電阻都在改變，但其總值并沒有改變，由并聯電路的知識可知，當ef運動到中間位置時，電路中的總電阻最大，通過ef的電流最小，這一問題體現了電路的動態分析特征.

至于ef所受到的安培力，不論是從阻礙的特征出發，還是直接從感應電流的方向用左手定則，都可確定其方向是向左的.

解析?ef導線切割磁感線產生感應電動勢相當于電源，等效電路如圖6所示，在ef中電流先減小后增大.答案C正確.

4 結束語

定量分析問題，大多僅涉及閉合電路一部分導體做切割磁感線運動且勻速運動的問題.物理過程是： 閉合電路一部分導體做切割磁感線運動，產生感應電動勢E=BLv.在純電阻電路中，由全電路歐姆定律可知產生的感應電流I=ER=BLvR，從而使運動導體受到安培力F=BIL，為了維持勻速運動，必須滿足∑F=0.

參考文獻：

［1］徐華兵.剖析電磁感應中的電容器問題[J].高中數理化，2018（23）：36-38.

[2] 麥祖發.力學知識在解答電磁感應問題中的運用[J].數理天地（高中版），2023（20）：20-21.

［責任編輯：李?璟］