借助類比思維 破解數(shù)學(xué)解題困境

黃燕玲

摘?要：高中數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)知識的延伸、推廣、升級與完善，不僅理論知識學(xué)習(xí)起來晦澀難懂、抽象枯燥、乏味無趣，試題難度更是有較大程度的提升，學(xué)生在解題過程中往往會遇到不少障礙與困境，假如不及時加以破解，不僅會影響繼續(xù)參與解題訓(xùn)練的積極性，還不利于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)自信心的樹立.教師可指導(dǎo)他們借助類比思維展開解題，使其通過各種類比快速找到解題思路、確定解題方案，最終順利破解解題困境.

關(guān)鍵詞：類比思維；數(shù)學(xué)解題

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0047-04

類比思維指的是根據(jù)兩個具有相似或者相同特征的事物進(jìn)行對比，基于某一事物的已知特征來推測另外一個事物相應(yīng)特征的思維活動，主要包含兩個方面：一方面是聯(lián)想，即根據(jù)新信息把已經(jīng)學(xué)習(xí)過的舊信息回憶和引發(fā)出來；另一方面是比較，在新舊信息之間尋找相同點與不同點.

1 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的主要作用

1.1 類比思維能夠提升學(xué)生解題效率

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，學(xué)生的解題能力是相當(dāng)重要的，只有掌握常用的解題技巧，熟練運用解題方法，才可以取得優(yōu)異成績.高中數(shù)學(xué)知識雖然體系龐大、網(wǎng)絡(luò)錯綜復(fù)雜、分布散亂，但是彼此之間又有一定的聯(lián)系.借助類比思維解答數(shù)學(xué)試題時，能夠結(jié)合學(xué)過的解題方法或者知識展開分析，迅速找到解題思路.高中數(shù)學(xué)知識具有顯著的抽象性特征，學(xué)生應(yīng)用類比思維解題，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽约核熘膬?nèi)容，提升解題效率.

1.2 類比思維能夠提升學(xué)生思維能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，涉及的知識點較多，借助類比思維進(jìn)行解題時，學(xué)生可以將不同的知識點整合到一起，結(jié)合新舊知識之間的聯(lián)系展開類比推理，從而找到新的解題路徑，破解解題困境.同時，學(xué)生在類比思維中對所學(xué)數(shù)學(xué)知識展開充分的延伸與擴(kuò)展，通過舉一反三，構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識框架，鞏固原有知識的同時不斷深化與豐富，激發(fā)創(chuàng)新潛能，借此培養(yǎng)創(chuàng)造能力與邏輯思維能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)解題水平.

1.3 類比思維能夠提升學(xué)生解題興趣

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用類比思維，能夠有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與解題興趣，使其深入探索解題方法與歸納經(jīng)驗，并獲得一定的成就感.以此調(diào)動他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與破解數(shù)學(xué)解題困境的樂趣.同時，學(xué)生借助類比思維破解數(shù)學(xué)解題困境，有利于自身創(chuàng)造性思維的發(fā)展，解題中通過對新舊數(shù)學(xué)知識聯(lián)想或者對比，可以加深他們對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解與掌握，方便在后續(xù)解題中更好地應(yīng)用，提升解決數(shù)學(xué)問題的興趣[1].

2 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的具體問題

2.1 忽視培養(yǎng)學(xué)生的類比思維

數(shù)學(xué)是一門集演繹歸納為一體的科目，但不少教師在平常教學(xué)中都忽視對學(xué)生類比思維的培養(yǎng)，只是讓他們借助類比推理的方式來解題，這樣將會導(dǎo)致不少同學(xué)缺乏自我認(rèn)知意識，影響創(chuàng)新思維能力的發(fā)展.長此以往，在這一教學(xué)理念與模式下，由于對學(xué)生類比思維能力培養(yǎng)的忽視，他們就會缺乏一種根本上的研究意識，最終導(dǎo)致在具體的解題教學(xué)中，高中生沒有真正掌握并運用類比思維解答數(shù)學(xué)問題的技巧與能力.

2.2 類比思維僅局限于解題中

當(dāng)前，一些高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維破解數(shù)學(xué)解題困境時，仍然采用以往的“題海戰(zhàn)術(shù)”，以此來應(yīng)對考試所帶來的壓力.其實類比思維不能簡單局限于解題訓(xùn)練之中尋找類似點，需要用到剖析數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系之中，助推他們理清知識要點之間的關(guān)聯(lián)性.

2.3 學(xué)生的類比思維水平較弱

眼下，大部分高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，并沒有形成一種發(fā)現(xiàn)、提出與解決問題的成熟心理與創(chuàng)新意識，以至于他們沒有掌握系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)方法，只會純粹模仿教師教授的方法，通過套用固有公式或做題方式進(jìn)行解題.長期如此，這些學(xué)生就無法借助類比思維簡便解題與深化知識，他們的類比思維水平顯得較弱，無法清晰掌握類比推理的屬性.還有的學(xué)生在解題中沒有完整理解類比思維的概念，以至于他們解決數(shù)學(xué)問題時只會把題目信息進(jìn)行對比，無法從根本上類比、加工題目［2］.

3 類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的實踐應(yīng)用

3.1 注重類比思維解題，訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)化能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，主要進(jìn)行的活動是講授理論知識和解題訓(xùn)練，類比思維不僅可以用來講解理論知識，還能夠廣泛適用于解題，借助類比思維解題通常可以起到不錯的效果.因此，高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中可指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維解題，先簡化題目，根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)概念和公式找到解題的突破口，再利用類比思維優(yōu)化解題思路，使其結(jié)合邏輯推理的方式找到新的解題方向與方法，促使他們高效地突破解題困境，并訓(xùn)練個人轉(zhuǎn)化能力［3］.

例1?已知一個小球從100米高的樓頂做自由下落運動，每次小球落地后會反彈至原來高度的一半且繼續(xù)自由下落，當(dāng)該小球第10次落地后，一共運動的距離是多遠(yuǎn)？

分析?解決這一題目的關(guān)鍵就在于運用類比思維，其實該小球的運動情況就類似于一個特殊的函數(shù)，學(xué)生可先基于變量視角分析得出這個小球前兩次運動的總距離，再利用類比思維得到小球每次運動的距離，最后相加起來即可獲得答案.詳解?根據(jù)題意可知，當(dāng)這個小球進(jìn)行第一次自由下落運動時，起始點之間的距離為100米，小球第一次落地到第二次落地之間的距離是2×1002＝100米，然后借助類比思維研究小球的運動情況，當(dāng)該小球第10次落地時一共運動的距離為100+100+1002+10022+10023+…+10028=100+100［1-（1/2）9］1-1/2≈300（米），即該小球一共運動的距離大約是300米.

3.2 教師做好解題導(dǎo)向，學(xué)生會用類比思維

高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中可精心設(shè)計一些需用到類比思維解決的問題，由此開設(shè)專項訓(xùn)練活動，引導(dǎo)學(xué)生借助類比思維來破解解題困境，使其學(xué)會運用類比思維，提升他們的解題能力［4］.

例2?已知a、b、c、d均為不是0的實數(shù)，其中（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0，請證明：a、b、c能夠組成一個等比數(shù)列，且公比是d.

分析?學(xué)生通過閱讀題目內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)解決本題時需要先把原式與方程的根進(jìn)行類比，使其發(fā)現(xiàn)類比思維可以跨越原有理論的框架，把不同類別的數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合起來，讓他們在開闊的領(lǐng)域中進(jìn)行類比推理，從而把結(jié)論給證明出來.

詳解?根據(jù)題意可以判斷出（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0存在實根，此時可借助類比思維結(jié)合一元二次方程根的相關(guān)知識獲得Δ＝4b2（a+c）2-4（a2+b2）·（b2+c2）≥0，整理化簡之后能夠得到-（b2-ac）2≥0，所以b2-ac＝0，也就是b2＝ac，由此證明a、b、c組成一個等比數(shù)列；隨后設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，那么b＝aq，c＝aq2，將它們分別代入到原式中可以得到d＝q，且d≠0，則d是該等比數(shù)列的公比.

3.3 采用類比思維解題，開闊學(xué)生解題思路

教師可指導(dǎo)學(xué)生借助類比思維解題，使其主動尋求知識要點之間的聯(lián)系，以及之前用過的類似解題方法，從而開闊他們的解題思路，促進(jìn)其類比思維能力的發(fā)展和強化，提高解題效率[5].

例3?已知點A（x0，y0）為橢圓C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）外的一個動點，AE和AF是為橢圓C上的兩條切線，且AE與AF是垂直關(guān)系，請證明動點A的軌跡方程是x2+y2＝a2+b2.

分析?教師可提示學(xué)生采用類比思維將橢圓的性質(zhì)與圓的性質(zhì)進(jìn)行類比，并讓他們類比處理直線與圓是相切關(guān)系這類試題的解題方法，使其通過類比知識與解法迅速找到解題的切入點，順利破解解題困境.

詳解?若直線AE和AF之間存在一條直線與y軸是平行關(guān)系，則說明不存在斜率，動點A的坐標(biāo)就是（a，b），假如直線AE與AF均不與y軸平行，可設(shè)過點A的直線方程為y＝kx+m，代入橢圓的方程后可以得到（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2＝0，讓Δ＝0，即為b2+a2k2＝m2，根據(jù)題意可知點A位于直線y＝kx+m之上，那么y0＝kx0+m，則（y0-kx0）2＝b2+a2k2，整理、化簡后能得到（x20-a2）k2-2x0y0k+y20-b2＝0，依據(jù)韋達(dá)定理可得k1k2＝y(tǒng)20-b2x20-a2，再加上過點A的兩條切線AE與AF垂直，所以說k1k2＝-1，x2+y2＝a2+b2.

3.4 借助類比思維優(yōu)勢，破解方程解題困境

眾所周知，方程和函數(shù)之間有著較為密切的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，針對一些難度系數(shù)較大的方程類試題來說，如果難以直接求出方程的根，則可以利用類比思維，轉(zhuǎn)變成函數(shù)圖象交點問題，由此找到解題的切入點，降低試題難度.具體而言，教師在平時的解題訓(xùn)練中，可以專門設(shè)計一些求解特殊方程的根的試題，引領(lǐng)學(xué)生借助類比思維的優(yōu)勢嘗試解答，使其體會到類比思維的價值與作用，幫助他們掌握求解方程根的新方法[6].

例4?已知方程log2x+log3x＝0，求該方程的根時，可設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x+log3x，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上呈單調(diào)遞增，且f（1）＝0，所以原方程有唯一根x＝1，請類比上述思路，求方程（x-1）5+x-1＝34的根.

分析?因為方程的根是對應(yīng)函數(shù)同x軸交點的橫坐標(biāo)，解答這一高次方程時應(yīng)從題干中獲得啟示，展開合理類比，即先判斷出對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，基于整體視角把握方程根的數(shù)量，然后根據(jù)個人解題經(jīng)驗確定方程的解集.

詳解?結(jié)合提供的解題思路展開類比，讓f（x）＝（x-1）5+（x-1）-34，求導(dǎo)后可以得到f ′（x）＝4（x-1）4+1，可知x∈R上f ′（x）＞0，由此表明函數(shù)f（x）在x∈R上呈單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）與x只存在一個交點，說明原方程只有一個實根，故x-1＝2，解之得x＝3.

3.5 借助類比思維優(yōu)勢，破解數(shù)列試題困境

教師可以指引學(xué)生借助類比思維的優(yōu)勢，通過類比精準(zhǔn)找到解題的關(guān)鍵點，把數(shù)列題目由復(fù)雜化變得簡單化，助推他們形成類比推理的數(shù)學(xué)思維，且加深對數(shù)列類問題的理解，最終能夠自主破解困境[7].

例5?已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和其中a2n+1＝2anSn，且an＞0，如果對任意n∈N*，S4n-2S2n≤m×2n恒成立，請求m的取值范圍（??）.

A.m≥14?B.m≥38?C.m≥12?D.m≥1

分析?題干中給出的式子比較繁雜與特殊，解題時不能只使用數(shù)列知識，還要同函數(shù)知識進(jìn)行類比，以構(gòu)造函數(shù)的方式找解題突破口.

詳解?因為an＝Sn-Sn-1（n≥2），a2n+1＝2anSn，把這兩個式子聯(lián)立起來，整理化簡后可以得到S2n-S2n-1＝1（n≥2），由于a1＝S1，將其代入a2n+1＝2anSn中可求得S21＝1，由此說明{S2n}是一個首項是1，公差是1的等差數(shù)列，則S2n＝n，由于S4n-2S2n≤m×2n，則n2-2n≤m×2n，整理后可以得到m≥n2-2n2n對于任意n∈N*恒成立.當(dāng)n＝1時，n2-2n2n＝-12；當(dāng)n＝2時，n2-2n2n＝0；當(dāng)n＝3時，n2-2n2n＝38；當(dāng)n＝4時，n2-2n2n＝12；當(dāng)n≥4時，通過類比思維能構(gòu)造函數(shù)f（n）＝n2-2n2n，屬于減函數(shù)，則n2-2n2n的最大值為12，所以m≥12，故C選項是正確答案.

3.6 借助類比思維優(yōu)勢，破解幾何解題困境

幾何知識主要包含平面幾何、立體幾何與解析幾何三大類，幾何知識之間同樣存在著一定的相似性，能夠通過類比思維加以運用，為解題提供新的思路.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)處理難度較大的幾何試題時，教師可指導(dǎo)學(xué)生充分借助類比思維的優(yōu)勢，認(rèn)真閱讀和思考題目內(nèi)容，以類比思維為依托，推導(dǎo)平面幾何中的一些性質(zhì)在立體幾何中是否適用，或者從平面幾何結(jié)論視角分析立體幾何知識，促使他們親身感受類比過程，破解解題困境[8].

例6?在一個直角三角形中，∠A＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，該直角三角形的內(nèi)切圓半徑是r，根據(jù)S△ABC＝12bc可得S△ABC＝12ar+12br+12cr，以及r＝bca+b+c，類比上述方法，在三棱錐P-ABC中∠BAC＝90°，PA平面ABC，△ABC，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別是S1，S2，S3，S4，那么該三棱錐的內(nèi)切球半徑是什么？

分析?本題以學(xué)生熟悉的平面幾何知識為切入點，要求利用類比思維推導(dǎo)出立體幾何中的相關(guān)結(jié)論.由于提供已知條件不夠多，學(xué)生需透過現(xiàn)象看本質(zhì)，大膽設(shè)出相關(guān)參數(shù)，運用所學(xué)知識展開嚴(yán)謹(jǐn)推理，既能鞏固個人所學(xué)，又可鍛煉類比推理能力.

詳解?結(jié)合題意可設(shè)AB=a，AC=b，PA=c，三棱錐的內(nèi)切球球心是O，半徑是r，那么VP-ABC=13×12abc，類比可得VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+V0-PAC+VO-PBC=13S1r+13S2r+13S3r+13S4r=13r（S1+S2+S3+S4），即為r=abc/2S1+S2+S3+S4，又因為S1=12ab，S2=12ac，S3=12bc，則S1S2S3=18a2b2c2，

12abc=2S1S2S3，那么r=2S1S2S3S1+S2+S3+S4.

4 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中，類比思維有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.教師需幫助學(xué)生牢固掌握類比思維的定義、本質(zhì)與運用技巧，據(jù)此設(shè)置專題訓(xùn)練，帶領(lǐng)他們在借助類比思維解答數(shù)學(xué)試題的過程中，回顧、聯(lián)想試題中涉及的數(shù)學(xué)知識，學(xué)會類比思維的使用技巧，掌握類比思維的精髓，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，最終實現(xiàn)對數(shù)學(xué)解題困境的高效破解.

參考文獻(xiàn)：

［1］張躍驁.基于類比推理的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)思考[J].數(shù)理天地（高中版），2022（13）：61-63.

[2] 劉廣申.基于類比推理思維的高中數(shù)學(xué)解題探究[J].數(shù)理化解題研究，2022（3）：8-10.

[3] 曹陽，李海瑞.類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].理科愛好者（教育教學(xué)），2021（1）：80-81.

[4] 施偉琛.類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的運用[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2021（4）：73.

[5] 萬揚揚.基于類比推理的高中數(shù)學(xué)解題探索[J].數(shù)理化解題研究，2021（18）：10-11.

[6] 張宇.論類比思維下的高中數(shù)學(xué)解題方法[J].數(shù)理化解題研究，2021（19）：38-39.

[7] 付志興.類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的運用研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（自主招生），2020（Z1）：42.

[8] 茍菊桃.探究類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科技資訊，2020，18（17）：101-102

［責(zé)任編輯：李?璟］