深度學習視域下數學變式教學的高階設計

［摘 要］ 深度學習視域下變式教學的高階設計是發展學生高階思維、培養學生學科核心素養的重要路徑. 研究者從試題和提問兩方面論述變式教學的高階設計準則，認為教師在試題設計時應重視教材開發、注重循序漸進、聚焦核心概念、滲透思想方法，在提問設計時應做到講究適度、精簡集中、能動啟發.

［關鍵詞］ 深度學習；變式教學；高階設計

引言

核心素養是指學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力［1］，其不僅僅是個人素質最重要的組成部分，更是學習能力、實踐能力和創新能力發展的基石［2］. 而學生核心素養的培養，最終要落在學科核心素養的培育上［3］，其關鍵是實現教學設計與教學過程的轉型［4］.

與淺層學習相比，深度學習的特征具體體現在：認知深度，即高階思維的運用；參與深度，即積極主動地參與；目標深度，即通過學習達到知識理解遷移及發展批判創造性思維［5］. 作為一種促進學生深入理解并將所學知識加以應用、實現創造的教育理念，深度學習已成為優化教學設計、提升教學質量，進而培養學生數學學科核心素養的重要方式與有效途徑［6］［7］.

近年來，學者對深度學習的研究論述主要聚焦于學科單元教學設計［8］，而對深度學習落實于變式教學設計的研究較少. 此外，大部分一線教師對變式教學的理解和使用停留于一題多變、一題多解、一法多用、圖形多變上，將變式教學降格為變式訓練，不利于學生高階思維尤其是創新思維的發展. 基于此，如何在深度學習視域下，合理高效地規劃教學活動，對變式教學進行高階設計，從而帶領學生探究問題本質，掌握解決問題的通性通法，進而在深度學習中培養高階思維和學科核心素養，是一線教師和數學教育研究者需要不斷探索的方向. 下面筆者結合實踐和反思，就深度學習視域下數學變式教學的高階設計，提出幾點思考，以期為教師提升變式教學能力，以及培養學生數學學科核心素養，提供參考與借鑒.

優質的試題是變式教學高階設計的首要前提

優質問題及其變式題，不僅能加深學生對基礎知識的理解和掌握，以及對思想方法的領悟與應用，還能提高學生的思維能力［9］，這是影響教學效果的關鍵因素，也是變式教學高階設計的首要前提. 為此，筆者從以下四個方面分享變式教學中試題設計的要點.

1. 試題設計應當重視教材開發

教材是課程的載體，而高考命題最具體、最方便的依據就是教材［10］. 教師在設計試題時應當回歸教材，注重新教材例題、課后習題的探究學習，以及數學知識間的聯系性與整體性，通過變式、拓展、綜合，窮盡解決同一類問題的不同知識和思路，幫助學生建立完整的知識體系.

例1 （2022年新高考Ⅰ卷第12題）（多選）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均為偶函數，則

（ ）

A. f（0）=0 B. g

-

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

回顧例1可以發現，該題主要考查的是偶函數的性質、抽象函數的對稱性與周期性，以及原函數與導函數的對稱性等內容，倘若學生對這些知識點不熟悉，那么無疑是解決該題的困難. 或許有部分學生甚至教師認為這些知識點并未在教材中出現過，但實際并非如此. 在人教A版高中數學必修第一冊教材“3.2 函數的基本性質”中，習題“拓廣探索”欄目就正式介紹了對稱性的概念，并要求對其定義進行探討（如圖1所示）. 這再一次告訴所有教師和學生：高考試題的命制并非無本之木、空中樓閣，而是源于教材，根植于教材，升華于高考［11］.

為了幫助學生系統掌握抽象函數的對稱性與周期性等內容，教師可將例1作為教學切入點，設計如下變式題，帶領學生逐步“吃透”這類題型.

變式題1：（多選）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

為奇函數，g（2+x）為偶函數，則（ ）

A. f（2）=0 B. g

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

變式題2：（多選）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均為奇函數，且f

=0，則（ ）

A. f（0）=0 B. g（2）=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

變式題3：（多選）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f（x）+f（x+1）=0，且g（x）為偶函數，則（ ）

A. f（0）=0 B. g（0）=0

C. f（-1）=f（1） D. g（-1）=g（2）

2. 試題設計應當注重循序漸進

變式就是變更對象的非本質特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出事物的本質特征，突出那些隱蔽的本質特征［12］，而這個發現本質的過程需要學生自己去體驗. 為此，教師在設計試題時要做到“低起點，高落點”，逐步激活學生的思維，發展學生思維的靈活性和創造性.

例2 如圖2所示，圓C與y軸相切于點D（0，2），與x軸的正半軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），且AB=3，求圓C的標準方程.

變式題1：如圖3所示，過點E（5，6）作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求線段MN所在的直線的方程.

變式題2：如圖4所示，過點A，D的直線與圓O：x2+y2=4相交于點K，求的值.

變式題3：如圖5所示，過點A作任一條直線交圓O：x2+y2=4于點P，Q，連接PB，QB，求證：=.

上述變式，帶領學生經歷阿波羅尼斯圓的發現過程，體會用代數方法處理幾何問題的思想. 盡管本次變式的核心知識從變式題2才開始引入，但前兩題做鋪墊十分有意義. 分析例2可知，學生可以利用條件的幾何特征來確定圓C的圓心和半徑的大小，從而獲得圓C的標準方程，也可以利用坐標法確定圓C的標準方程中的各個參數. 而變式題1的求解方法則更加多種，蘊含著點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等知識方法，不僅用于發散學生的思路，還擴展學生的思維方式，保證不同水平層次的學生都有所感悟.

3. 試題設計應當聚焦核心概念

開展變式教學，其主要目的是幫助學生理解概念本質，實現“做一題、會一類、通一片”. 教師在設計試題時應把著力點聚焦在概念的核心上，通過試題解決，達到學生理解概念本質的目的.

例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知acosB=bcosA，判斷△ABC的形狀.

變式題1：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知acosB=，bcosA=，求c的值.

變式題2：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知acosB=，bsinA=，若△ABC的面積S=，求其周長L.

變式題3：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知acosB=bsinA，且a2-b2=bc，判斷△ABC的形狀.

變式題4：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2-b2=bc，則A=2B成立嗎？

上述變式旨在帶領學生運用正弦、余弦定理解決一些簡單的三角形中的度量問題，以及理解三角形中有關角邊關系，如acosB=bsinA，a2-b2=bc的幾何意義，理解其數學本質. 此次變式，從例題到變式題，都緊扣問題背景，聚焦核心概念. 通過不斷解決變式題，對學生的知識容量與思維容量的要求在逐漸遞增，有利于保證學生思維的連續性，增強學生思維的深刻性.

4. 試題設計應當滲透思想方法

所謂變式教學，“變”的是問題的條件、結論以及呈現方式等，而“不變”的是問題的本質和通性通法，以及數學思想方法. 教師在設計試題時應引導學生挖掘問題本質，領悟數學思想.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷第7題）若過點（a，b），可作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）

A. eb<a B. ea<b

C. 0<a<eb D.0<b<ea

變式題1：已知a>0，若過點P（a，b），可作曲線y=x3的三條切線，則（ ）

A. b<0 B. 0<b<a3

C. b>a3 D. b（b-a3）=0

變式題2：已知a>0，若過點P（a，b），可作曲線y=x3-3x的三條切線，則（ ）

A. b<-3a

B. -3a<b<a3-3a

C. b>a3-3a

D. b=3a或b=a3-3a

變式題3：（多選）若過點（1，a），可作曲線y=（x-1）ex的切線l，且l最多有n條，n∈N*，則（ ）

A. a≤0

B. 當n=2時，a值唯一

C. 當n=1時，a<-

D. na的值可以取到-4

先帶領學生從代數和幾何兩個維度分析切線問題，而后鼓勵學生借助圖象直觀求解切線問題，并通過探究問題本質，感悟這類切線問題的通性通法，體會數形結合、轉化（化歸）、函數與方程等數學思想方法. 在教學過程中，學生理解拐點的概念，掌握并學會運用拐點處切線的特征解決一類函數問題，正是通過數與形的巧妙結合，讓解題思路變得直觀.

巧妙的提問是變式教學高階設計的點睛之筆

單有優質的試題還遠遠不夠，如何帶領學生在探究中將一道道試題串聯在一起，以及通過巧妙的提問引導學生抓住解決問題的關鍵，同樣是變式教學高階設計的重要環節，更是點睛之筆. 為此，筆者從以下三方面分享如何設計提問方式.

1. 提問應當講究適度

課堂提問要適合學生的認知水平，既不能讓學生有望而生畏之感，又不能讓學生有不動腦筋就能輕易答出的懈怠［13］. 為此，教師在提問設計時應考慮學生的最近發展區，使學生“跳一跳，就能夠得到”.

回顧“試題設計應當聚焦核心概念”中的問題，大部分學生是這樣回答變式題1的：由acosB=，bcosA=以及余弦定理得a·==①，b·==②. 由①+②得=c=.

在此基礎上，筆者引導學生注意到“在△ABC中，c=acosB+bcosA”（這便是射影定理，也稱第一余弦定理）. 接下來，筆者拋出問題：還有其他方法可以證明射影定理嗎？

學生的回答令筆者驚喜，不僅有用正弦定理進行證明的，還有用幾何直觀進行證明的，如：

生1（正弦定理）：要證c=acosB+bcosA，只要證sinC=sinAcosB+sinB·cosA=sin（A+B）. 因為A+B+C=π，故上式成立，證畢！

生2（幾何直觀）：如圖6所示，AD=bcosA，BD=acosB，故c=AD+BD=acosB+bcosA.

多角度的證明不僅豐富了變式題1的價值，拓寬了學生的解題思路，發散了學生的解題思維，還為變式題2的多維度求解做好了鋪墊. 例如，某一位學生非常自信地借助幾何直觀分析問題，恰恰表明這位學生挖掘到了這類問題的背景，找到了這類問題的“源頭”.

生3：如圖6所示，BD=acosB，CD=bsinA，那么在Rt△BDC中，可求a=.又已知△ABC的高CD，面積S，則可求底c，從而求得周長L.

試想，倘若利用變式題1僅僅加深學生對余弦定理的理解，而未借助適度提問引導學生發現其幾何背景，感受幾何直觀、正弦定理與余弦定理的內在聯系，那么變式題1未免黯然失色.

2. 提問應當精簡集中

眾所周知，學生是課堂教學的主體，教師是課堂教學的主導者. 在變式教學中，教師應當循循善誘，根據學生的反饋情況，引導學生往預設的方向進行思考，從而把握問題關鍵.

回顧“試題設計應當滲透思想方法”中的例4和變式題1，不僅引導學生體會借助圖象直觀解決切線問題的巧妙之處，同時令學生注意到x軸的“分界”效果. 例如，在變式題1中，當點P在曲線y=x3的“下方”，并且在x軸的“上方”時，可作曲線y=x3的三條切線，得0<b<a3（如圖7所示）；當點P在曲線y=x3上或者在x軸上時，可作曲線y=x3的兩條切線（如圖8所示）；當點P在曲線y=x3的“上方”或者在x軸的“下方”時，只能作曲線y=x3的一條切線（如圖9所示）.

這時，筆者根據學生的發現提出以下問題，進而幫助學生得到特殊點的相關特征.

問題1：點P與曲線y=x3有何位置關系？

問題2：切點（0，0）在曲線y=x3上具有怎樣的特殊性？

追問1：點（0，0）兩側函數y=x3的單調性一致嗎？

追問2：點（0，0）兩側函數y=x3的單調遞增速度是如何變化的？

接下來借助變式題2，進一步帶領學生認識特殊點就是拐點，以及掌握拐點位置的確定方法，以此揭示借助圖象直觀求解切線問題的本質. 這也進一步表明，提煉概念并非一蹴而就的事情，變式教學也不是一題接著一題的教學模式，中間倘若沒有教師的巧妙引導，再好的試題在學生眼里也只不過是一道普普通通的練習題.

3. 提問應當能動啟發

學生思維的積極性和主動性依賴于教師的循循善誘和精心啟發［14］. 隨著變式題的難度不斷增加，學生會從一開始的從容到后來的無所適從，這時課堂提問就一定要注意引發學生思考，啟發學生的積極主動性，促使學生能夠在解決變式題的過程中，得到有效的啟發，從而逐步發現問題，提出問題，分析問題，解決問題［15］.

例5 （2016年高考全國Ⅱ卷第19題第1問）如圖10所示，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=. 證明：D′H⊥平面ABCD.

變式題：如圖10所示，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. 問：在翻折過程中，直線BD′與平面ABCD夾角的正弦值的最大值為多少？

例5考查的是立體幾何中的翻折問題，這類問題往往可以細分為兩個本質問題，即變與不變的問題和軌跡的問題. 學生需要清楚圖形在翻折前后有哪些量發生了改變，又有哪些關系是不變的，唯有如此，才能更好地應對這類問題.

為了更好地啟發學生求解該變式題，筆者提出了下列問題.

問題1：在翻折過程中，點D′的軌跡是什么？

問題2：在翻折過程中，點D′在底面ABCD上的投影點D″的軌跡是什么？

通過上述問題的啟發，學生注意到點D′的軌跡是一個圓，而當直線BD′是圓的切線時，與平面ABCD夾角的正弦值最大（如圖11所示）. 顯然，這樣的啟發無疑為學生打開了“一扇窗”，有利于加深學生對翻折問題的理解.

結束語

深度學習視域下的變式教學高階設計要求教師精心設計試題和提問方式，其中試題設計應當重視教材開發、注重循序漸進、聚焦核心概念、滲透思想方法，提問設計應當講究適度、精簡集中、能動啟發，這不僅是變式教學高階設計的頂層追求，也是促使學生深度學習以培養高階思維和核心素養的催化劑. 變式教學的高階設計還讓筆者認識到，教什么比怎么教更重要，教師只有自己對數學的思想、方法和精神有較高水平的理解，才能在教學中自覺地把數學精神傳達給學生［16］，才能更好地帶領學生把握知識本質和核心思想，才能幫助學生達到“做會一道題，會做一類題”，使學生從“學會數學”向“會學數學”轉變.

參考文獻：

［1］ 核心素養研究課題組.中國學生發展核心素養［J］.中國教育學刊，2016（10）：1-3.

［2］ 裴昌根，宋乃慶. 基于核心素養的優質高效課堂教學探析［J］. 課程·教材·教法，2016，36（11）：45-49.

［3］ 史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例［J］. 中小學管理，2017（01）：35-37.

［4］ 羅祖兵. 深度教學：“核心素養”時代教學變革的方向［J］. 課程·教材·教法，2017，37（04）：20-26.

［5］ 鄭東輝. 促進深度學習的課堂評價：內涵與路徑［J］. 課程·教材·教法，2019，39（02）：59-65.

［6］ 趙萍，郭澤琳. 深度學習視域下逆向單元教學設計在高中數學教學中的應用成效［J］. 華南師范大學學報（社會科學版），2022（03）：54-65，206.

［7］ 李保臻，孟彩彩，鞏鎧瑋. 基于深度學習的高中數學教學設計：基本要求及優化策略［J］. 內江師范學院學報，2022，37（02）：1-5.

［8］ 劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養（理論普及讀本）［M］. 北京：教育科學出版社，2018.

［9］ 謝尚志. 關于高中數學習題教學中變式設計的思考［J］. 數學通訊，2016（18）：55-59.

［10］ 韓長峰. 眾里尋它千百度，那“題”卻在“教材”處——例談高考命題“源于教材”和“回歸教材”［J］. 中學數學研究，2016（09）：1-4.

［11］ 莫定勇，唐小榮，張偉. 源于課標教材，用于國家選才，導于拓展教學——淺談高考近三年全國卷試題“比較數的大小”［J］. 中小學數學（高中版），2022（12）：18-21.

［12］ 邱香蘭. 現代認知觀下的原型、變式與數學概念學習［J］. 教學與管理，2009（33）：81-82.

［13］ 謝尚志，林光來. 試論數學課堂提問的立體優化［J］. 數學通訊，2006（15）：4-7.

［14］ 杜根華. 變式教學在高三數學復習中的實施——以“正弦定理與余弦定理的應用”為例［J］. 上海中學數學，2016（12）：40-42.

［15］ 郭鋒. 變式教學在高中數學教學中的有效性研究［J］. 科學咨詢（教育科研），2021（06）：281-282.

［16］ 謝尚志. 課例：正弦定理和余弦定理習題課［J］. 數學通報，2016，55（05）：29-33.