結構性問題下借助數學實驗的概念教學設計

［摘 要］ 結構性問題是聯結新舊知識的橋梁，能激發學生的探究欲，并助其形成系統化的知識體系.數學實驗直觀具體，有利于揭示概念本質. 因此，研究者以結構性問題為導向、數學實驗為主線，融合直觀與邏輯來設計和探究概念教學.

［關鍵詞］ 結構性問題；數學實驗；概念教學；教學設計

引言

概念是思維的細胞，是反映事物本質屬性的思維形式. 數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式.數學中的推理、判斷、證明等都要建立在正確的數學概念基礎之上. 理解數學概念是開展其他一切數學活動的基礎，是發展學生數學思維、培養學生數學能力的基石，因此概念教學在中學數學教學中占據重要地位.

一些學生覺得數學學習很困難，往往都是由于他們對概念的理解不夠清晰導致的. 與此同時，部分數學教師持有重解題、輕概念的思想，在數學概念教學中，傾向于直接講授，缺乏對教學關鍵環節的精心設計. 因此，想要提高中學數學教學質量，廣大一線數學教師必須重視對概念教學的設計.

結構性問題

一般認為，在解題過程中，為了實現條件向結論的轉化，利用問題的特殊性設計一個新的關系結構系統去實現原問題的解決，這樣的問題是一個關系結構，也稱為結構性問題［1］.也就是說結構性問題是通過設計新的數學對象使原問題得以轉化的一種媒介性問題. 但實際上，在數學教學過程中，結構性問題更像一種教學策略，不局限于解題，只要能夠設計得當，在課堂教學的引入環節、新授環節、鞏固環節中都可以使用.

高中數學概念數量多、內容雜，再加上抽象性強，學生學習起來會感到困難且枯燥乏味，很難產生自主探究的欲望. 教師要想強化學生的數學理論基礎，在概念教學中就需要根據具體的教學內容來設計恰當的結構性問題，創設問題情境，引發學生的學習興趣. 這樣一來，在教師精心創設的問題情境下，學生經由好奇心的驅使，在探究問題的過程中能夠深度思考，與同學合作交流，進而深入理解數學概念的核心內涵，并且在此基礎上發展數學思維，qfcNSsZSRxxrFt+rprRYGg==培養實事求是的優秀品質.

在數學教學中，教師創設的問題情境，向學生提出的探究性問題，應當具有知識內在的結構性，因為有價值的、合適的初始問題一定不是一個孤零零的問題，它應該與學生已經掌握的、正在或即將學習的數學知識及其組織活動“血肉相連”，具有深刻的背景（例如蘊含著豐富的數學方法、數學觀念與數學思想等），能揭示新舊知識之間的聯系，以及新數學知識從舊數學知識產生的清晰的脈絡等內容［2］. 因此，教師要基于學生原有的認知結構來設計問題.通過巧妙的設計將一個新的概念轉化為一個可以在原來知識基礎上繼續探討的問題，幫助學生把即將學習的抽象的概念轉變為需要解決的問題，便于學生在解決問題的過程中體會學習新概念的必要性.

數學實驗

數學實驗是為了建構數學概念、驗證數學猜想、獲得數學結論、探索數學規律、解決數學問題，借助實物和工具，對實驗素材進行“數學化”操作的一種學習方式［3］.

由于概念在反映某類事物或對象時，已經不再是反映它們的表面現象，而是反映它們所特有的本質屬性，具有很強的抽象性，因此學生對數學概念的掌握不是一蹴而就的事情，需要經歷一個由感性到理性的循環往復的過程. 在這個過程中，學生需要不斷深入探索，不斷消化吸收，才能將概念內化. 因此，在概念教學中，教師要注重教學環節的設計，循序漸進地引導學生經歷概念生成的過程，經歷將感性知識抽象為理性知識的過程，從中感悟概念的本質. 只有當學生能深度吸收數學概念時，數學概念才能真正被學生所掌握.

荷蘭數學家弗賴登塔爾認為：學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生把要學的東西親自去發現或創造出來. 學生在教師的引導下進行數學實驗，發現結論，生成概念，就是一個“再創造”的過程. 學生在實驗操作的過程中建構概念，能夠獲得直觀的經驗，深化對概念的理解，發展創造性思維能力. 數學實驗也讓學生有了更多的學習自由、更大的探索空間，使數學學習變得生動.

基于數學概念建構的漸進性特點，教師可通過優化數學實驗操作方式和操作時機，給學生創造深度消化、吸收與運用概念的機會，讓數學實驗在促進數學概念理解的基礎上，給學生運用數學概念進行創造性學習提供方法，讓數學概念建構指向數學實踐應用. 這樣一來，在教師優化的數學實驗下，能有效改變學生學習概念的方式，學生親身經歷實驗過程，就能夠在實踐中體會和感悟概念的生成. 在不知不覺中，學生學習概念的過程從“機械聽講”向“主動探究”轉變，學生的主體意識獲得了增強，思維能力也得到了提升.

結構性問題與數學實驗的結合

概念教學由結構性問題出發，把教學內容巧妙地隱含在解決問題的過程中. 秉持教師為主導、學生為主體的教學理念，引導學生主動思考，認真觀察，合作交流，最終不僅使學生在問題解決中獲得新知識，還培養學生的自主學習能力. 為了使學生能夠更好地解決問題，對結構性問題解答過程的設計要盡可能直觀，對象應是學生熟悉的，這樣才能夠將難以入手的問題轉化為熟悉的問題.而數學實驗正是直觀表征數學問題的手段. 若教師能夠將結構性問題和數學實驗有機結合起來，應用到概念教學中，則能夠達到雙重效果，使學生更好地理解概念的本質，讓概念教學“活”起來. 下面筆者以高中“弧度制”的概念教學為例，來說明結構性問題與數學實驗的結合對于概念教學的意義所在.具體設計如下：

1. 問題導入

師：在初中我們是如何度量角的大小的呢？1度的角是怎樣定義的呢？

生1：用“度”來度量角，也就是我們學習的角度制. 把一個圓周360等分，每一份就是1度的角.

師：同學們還記得角單位的進制是多少嗎？

生2：角的度、分、秒是六十進制的，如1°=60′.

師：非常正確. 我們在數學中常見的長度單位的進制是多少呢？

生3：常見的長度單位有米、分米、厘米，長度單位是十進制的，如1 m=10 dm，1 dm=10 cm.

師：非常正確. 之前我們學過特殊角（如30°，60°）的三角函數值，都知道sin30°=. 在這個式子中，30°以度為單位，是六十進制的，而是十進制的實數，它們的進制不同，我們應當如何統一進制呢？

設計意圖 弧度制是一個抽象的、陌生的數學概念，學生很難理解透徹.在教學中，教師引導學生回憶初中所學的單位制，以及特殊角的三角函數值，根據sin30°=提出如何統一進制這一問題，促使學生產生認知沖突. 這樣的數學情境問題，不但能夠幫助學生復習鞏固先前所學的知識，建立起知識間的聯系，而且能夠引導學生依據問題進行思考，激發學生對新知識的學習興趣，驅動學生主動去探尋新知識.

生4：那我們能不能用十進制的單位制來度量角或者用六十進制的單位制來度量長度呢？

師：好，接下來我們一起探究.

2. 動手實驗

師：老師讓大家在課前準備了一個有30°角的三角形，以及圓規、直尺和若干細線，現在我們一起來做一個實驗活動：用這些工具畫出一個弧長所對的圓心角為30°的扇形.

（學生用尺規作圖）

師：老師選擇了兩位同學所作的圖呈現在大屏幕上（見圖1和圖2），同學們仔細觀察這兩位同學所作的圖，能發現它們的共同特點嗎？

生4：扇形中弧長所對的圓心角都是30°.

師：我們現在思考一個問題：在上述兩圖中能否找到與30°的圓心角相關的進制為十的量呢？

生5：由于長度單位是十進制的，因此我們可以測量圖中扇形的兩半徑和一條弧的長度.

師：我們如何測量它們的長度呢？

生6：用直尺可以測量.

師：用直尺能夠測量圓心角所對圓弧的長度嗎？

生7（搶著回答）：不能，但是可以用細線將圓弧圍繞起來，再用直尺測量細線的長度就能得到弧長.

師：非常不錯，生7對“化曲為直”思想領悟得很好.接下來請大家動手操作一下，將自己所得到的數據記錄下來，填入下表（表1）.

師：觀察表（表1）中的幾組數據，我們能否用弧長來度量一個角的大小？（由于每一個學生選取的半徑不同，因此所畫的圓弧也會出現大小不同的情況.）

生8：不能，因為同一個角所對應的弧長可能不同.

師：我們得到的數據中，除了弧長不同外，還有什么不同呢？

生9：半徑也不同，而且我發現半徑長的弧更長.

生10：老師，我猜想半徑與弧長應該有某種關系.

師：很好，現在請同學們仔細想一想，結合角度、半徑還有弧長，大家可以聯想到我們學過的哪個知識點呢？

生11：弧長公式l=. 如果我們把變量移到同一邊，可得=.

生12：當n=30時，=，也就是30°.

師：那這說明什么呢？

生13：弧長與半徑的比值可以用來度量角的大小.

師：用我們得到的數據計算一下，看看結果如何.

生14：結果基本相符，弧長與半徑的比值趨近于定值.

師：是的，我們通過觀察分析，發現當角度固定時，弧長與半徑的比值是一定的，因此可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小，這就是我們這節課學習的另一種度量角的單位制——弧度制.

3. 生成概念

用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.

師：我們之前學習了1度角的概念，1弧度的角又該如何定義呢？

（學生思維中斷）

師：我們再來看生11經弧長公式變形得到的式子=.大家能不能用這個式子來說明1弧度的角是怎樣的？

生15：當l等于r時，l與r的比值為1，這時圓弧所對的圓心角就是1弧度的角.

師：非常好，現在我們就得到了1弧度的角的概念：等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做“1弧度的角”.

評析 本節課是高中弧度制的概念課，教師首先提出一個合適的結構性問題，引導學生回憶初中所學的角度制以及特殊角的三角函數值，利用角單位與長度單位的進制的不同，引發學生思考如何統一進制，進而明晰引入弧度制這一概念的價值. 在后續對于結構性問題的探究過程中，教師又設計了一個實踐活動，以數學實驗的模式，引導學生動手操作，主動探索，由感性認識上升到理性認識，親身體驗弧度制概念的形成過程. 這樣的教學設計，符合建構主義的學習觀——學習是學生主動參與并建構數學知識的過程. 當學生經歷弧度制概念的整個建構過程后，不但能夠從真正意義上理解弧度制概念的本質，做到知其然且知其所以然，還能夠培養善于思考的學習習慣以及解決問題的能力.

教學啟示

（1）教師在設計概念教學時，不應拘泥于某一課時的知識點，要著眼于教材、學生認知結構的發展軌跡，尋找概念教學的立足點. 教師要能夠提出與新知識密切相關且符合學生實際情況的問題，激發學生的好奇心和探究欲，引導學生在問題的驅動下不斷深入探索，始終以思考的狀態進行學習，使課堂活動能有條不紊地推進.

（2）教師既要重視設計概念教學，又要注意設計教學內容應該深入淺出，符合學生的認知規律. 教師要善于將數學實驗融入教學環節中，為學生呈現充分的感性知識，進而實現感性知識向理性知識的轉化，使學生更加深刻地理解概念，達到教學目的.

（3）始終秉持“教師為主導、學生為主體”的教學理念. 加強課堂上師生、生生之間的互動，引導學生積極思考問題，大膽闡述自己的觀點；培養學生敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神. 在傳授知識的同時注意培養學生的數學思維，豐富學生的數學思想，落實數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 宋家楷. 設計結構性問題，打開學生思維閥門［J］. 教育觀察，2020，9（31）：131-133.

［2］ 張昆. 數學教學中設計“初始問題”研究——透過確定“合適根據地”的視點［J］.內江師范學院學報，2020，35（06）：18-23.

［3］ 劉德宏，劉倩飴. 數學實驗：數學學習的一種重要方式［J］. 基礎教育課程，2022（14）：43-49.