探究式教學在高三一輪復習教學中的應用研究

［摘 要］ 將探究式教學模式應用在高三一輪復習教學中，能完善學生的認知結構，有效提高學生的創造力，發展學生的數學學科核心素養. 文章從探究式教學理論基礎出發，以“正弦定理和余弦定理”的復習教學為例，從教學分析與具體措施兩個方面展開論述，并談幾點思考，與同行交流.

［關鍵詞］ 探究式教學；復習；教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：數學教學要提倡獨立思考、合作交流與研究性學習，要注重對學生學習興趣與創造力的培養［1］. 事實證明，探究式教學模式是實現這一目標的重要手段，它不僅能發展學生的創新意識與科學精神，還能有效促進學生數學學科核心素養的發展.

探究式教學理論基礎

1. 主體性教育理論

學生是學習的主體，是課堂的主人，主體性教育理論主張將學生放在教學首位：①從教育目標來看，數學教育的目的在于發展、增強學生的主體性；②從教育過程來看，數學教育的本質就是借助合理的手段與方法，將人類積累的活動經驗、優秀文化以及科學知識等轉化為學習者的“德”“才”，實現人類精神財富與核心素養的提升.

主體性教育涵蓋了理性與非理性教育，這兩者是相輔相成的關系，它們互相滲透、影響、補充、支持. 想要促進個體的長足發展，可從理性與非理性兩個角度出發，鼓勵學生獨立思考與深入探究，讓學生在積極主動、興奮的狀態下建構新知，形成良好的創造精神.

2. 科學哲學理論

科學哲學理論源于古希臘的自然哲學，分別經歷了歷史主義、邏輯經驗主義以及批判理性主義等發展階段，各個派別的理念雖然呈現出了差異性，但每種科學觀都表現出了Gzy3QyES83r7uAPiSlGmcWZgaN74wgEUfM0R1l2ak5I=共同的合理性，即主張用發展與辯證的眼光來認識并理解科學. 實踐告訴我們，在某個確定的時期內，人類已經掌握的知識體系與科學認知是基本穩定的，這些穩定的知識體系經實踐、科學實驗與推理論證過；從長遠的角度來分析，歷史上任何階段的知識體系并不是絕對的真理，任何知識都存在一些不全面的地方，這是促進科學持續向前發展的原動力.

探究式教學既能幫助學生建構知識結構，又能促使學生大膽猜測、敢于探索，這些都是培養學生創新意識的前提，而且在彰顯科學精神的同時還能有效推動學科的發展.

3. “再創造”理論

弗賴登塔爾提出知識的“再創造”是推動教育發展的關鍵，該理論主張數學學習屬于一種實踐、掌握與反思的過程，推崇學生為教學的主體［2］. 在該理論的指導下，體現“教輔助學”是教學的立足點，即將教師的灌輸轉化為學生的自主探索與實踐.

“再創造”理念下的數學教學，要求學生根據自身已有的認知經驗自主探索教學內容，并在教師適當的點撥下，自主發展數學思維，提升創造意識，建構完整的知識結構. 如創設豐富的情境可調動學生的探究欲，激發學生探究的積極性，并經歷猜想、想象、推理、驗證、抽象、概括等環節，實現知識的“再創造”，深化學生對知識本質的理解.

下面筆者結合上述教學理論，以“正弦定理和余弦定理”為例，講述高三數學復習課教學應如何開展.

教學分析

1. 學情分析

本節課的授課對象為高三物化組合的學生，學生有較扎實的知識基礎和自主學習能力，運算素養與數據分析能力都不錯，大部分學生能綜合應用“解三角形”相關知識解決實際問題.

2. 考情分析

“解三角形”是高考重點內容之一，其中正弦定理和余弦定理是解決此類問題的重要定理. 縱觀近些年的高考試題，發現解三角形問題主要出現在填空題與解答題中. 以填空題的形式出現，主要考查學生對三角形邊角互化的理解程度，這一類題屬于小綜合題，對學生而言稍有難度；以解答題的形式呈現，意在考查學生對三角恒等變換、正弦定理和余弦定理的綜合應用，雖說難度系數不大，但對運算能力與推理能力有較高要求.

3. 教情分析

本節課為高三一輪復習課，其教學重點在于引導學生靈活應用正弦、余弦定理解三角形，其中選擇定理與優化求解是教學難點，尤其涉及多解取舍的問題，需要學生能自主辨析. 本節課，若借助探究式教學模式實施教學，不僅能進一步夯實學生的知識基礎，還能幫助學生建立良好的解題意識與辨析能力.

教學實施

1. 自測探底

為了充分了解學情，課前教師發放導學案，借機了解學生對正弦、余弦定理的掌握情況. 關注學生在定理變形、證明及應用方面的掌握程度，以更好地認識學生的實際認知水平，為后續教學提供參考.

導學案中的自測題：

（1）已知△ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，則A=______.

（2）已知△ABC中，acosA=bcosB，則△ABC的形狀是______.

（3）已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10，則△ABC的面積是______.

2. 探究梳理

第一步 定理的證明回顧.

要求學生回顧正弦、余弦定理的證明方法（多種），展示余弦定理的向量證法，師生互動交流. 一方面提高學生的探究欲，另一方面達到復習提升的效果.

學生展示：因為=-，所以a2=·=（-）（-）=2-2

·

cosA+2=b2-2bccosA+c2.

教師先肯定了學生的證明過程，并提出這種證法簡潔明了，體現了向量的工具性，然后要求學生進一步說明此處應用了向量的哪些知識內容促進代數與幾何的靈活轉化. 學生一致認為是“數量積公式”.

師生共同總結：正弦、余弦定理的向量證明，先構建三角形中的向量等式，再借助數量積運算將向量等式“實數化”，此為用向量解決幾何問題的重要途徑與方法.

第二步 定理應用的探究.

第一，探究解三角形的類型.

師：如圖1所示，這四個三角形應用哪種定理可以求解？

生1：前兩個三角形中，第一個已知兩個角和一對邊，第二個已知兩條邊和一對角，因此可借助正弦定理求解；后兩個三角形中，第一個已知三邊，第二個已知兩邊和一夾角，因此可借助余弦定理求解.

生2：我認為第②個三角形可用余弦定理構建關于c邊的一元二次方程求解.

師：很好！想得比較周全，哪位學生能對此做一個小小的總結？

生3：這四個三角形，可用正弦定理求解的有①②兩個三角形，可用余弦定理求解的有②③④三個三角形，值得注意的是三角形②可用兩種定理求解.

第二，探究邊角互化的途徑.

師：請大家思考并說一說自測第（3）題的求解思路.

生4：可借助正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB將邊統一為角，把問題直接轉化成三角問題進行分析.

生5：還可借助余弦定理cosA=，cosB=變形，即把角都轉化為邊，也是將幾何問題轉化成代數問題來分析.

教師肯定了學生的兩種解題思路，并再次強調邊角互化是解三角形最常用的方法.

第三，探究邊角關系的規律.

師：哪位學生來說一說，應用正弦定理時需要注意什么？其求解的關鍵是什么？

生6：用正弦定理解題時需要注意可能有兩解的情況，其關鍵是辨析多解的取舍.

師：解此類題型存在什么竅門嗎？

生7：只要關注到“大邊所對的角比較大”這一點，在多解的取舍上就能節約很多時間.

師：非常好！接下來我們一起探索一個新問題：已知△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC的值是多少？解決本題的關鍵是什么？

生8：解決本題的關鍵是判斷角A屬于鈍角還是銳角. 若角A為鈍角，則cosA=-，sinB=，可得cosC=；若角A為銳角，則cosA=，可得cosC= -，因此無法判斷角A屬于鈍角還是銳角.

師：還有其他判定方法嗎？

生9：根據cosB=得sinB=，因此sinA<sinB，結合正弦定理得<，也就是a<b，因此角A必然為銳角.

師：非常好！一般情況下，在△ABC中，sinA>sinB?a>b?A>B，此為取舍三角形多解的基本規律.

第三步 探究典型例題.

例題 已知△ABC中，a=3，b=2，B=2A.

（1）cosA的值是多少？

（2）c的值是多少？

解 （1）根據題設條件，借助正弦定理得=，所以=，解得cosA=.

（2）方法1（先求sinC，再用正弦定理解題）：根據（1）可知，cosA=，所以sinA==；根據B=2A可知，cosB=2cos2A-1=，因此sinB==. 在△ABC中，sinC=sin（A+B）=，所以c==5.

方法2（先求cosC后，再用余弦定理解題）：略.

方法3（構建關于邊c的方程解題）：根據余弦定理a2=b2-2bccosA+c2得c2-8c+15=0，因此c=3或5. 根據（1）可得sinA=<，因此A<45°，B<90°，可知C>45°>A，c>3，所以c=5.

學生通過對題設條件與結論的綜合分析，擇取了合適的定理解題. 其中，方法3看起來容易，但要排除增解卻不那么簡單. 關于多解取舍問題的解決，本題除了應用之前強調的“大邊所對的角比較大”外，還結合三角函數值對角的范圍進行了估算，這也是解決多解取舍問題的常用方法之一.

探究：已知△ABC中的B=2A，則a，b，c三邊之間必須滿足什么條件？

生10：根據B=2A可知，cosB=2cos2A-1，應用余弦定理把角化為邊，即可明確三邊必須滿足的條件.

生11：根據B=2A可知，sinB=2sinA·cosA，借助正弦或余弦定理把角化為邊，有b2c=a（b2+c2-a2）.

師：生10的方法雖然能獲得結論，但過程比較繁雜，而且化簡時容易出錯；生11的方法相對便捷很多. 大家想一想有沒有什么辦法可化簡生10的方法？

生12：通過因式分解可得b2=a2+ac或a=c.

師：若a=c，那么b與a，c之間存在怎樣的關系？

生13：若a=c，則△ABC為等腰直角三角形，b2=2a2.

探究至此，學生自主發現a=c這個結論源于b2=a2+ac. 鑒于此，形成結論：在△ABC中，如果B=2A，那么b2=a2+ac. 教師準備就此結束本題的探索，一位學生提出他還有更簡便的方法：根據B=2A，可知sin（B-A）=sinA，也就是sinBcosA-cosBsinA=sinA，結合正弦定理，得b·-·a=a，經化簡，得b2=a2+ac.

教師充分肯定了這種證法，并強調將B=2A變形為B-A=A是這種解法的大膽之處，它打破了常規解題模式，聯用正弦、余弦定理化角為邊，值得推廣.

第四步 課堂小結.

（略）

幾點感悟

1. 回歸基礎，選準探究起點

高三一輪復習是進一步夯實學生知識基礎的過程，在教學設計上應回歸教材，帶領學生對知識點進行查漏補缺，為后續二輪、三輪復習夯實基礎. 值得注意的是，探究起點決定復習教學的成敗，起點太低無法激發學生的探索欲，缺乏探究的必要；起點過高使學生無法順利銜接知識與方法，會挫傷學生的探究信心. 本節課，每一步的探究活動都是基于學生的最近發展區而設置的，既滿足學生對知識基礎復習的需要，又有效提升學生的推理能力.

2. 注重練習，構建知識體系

復習課與新授課有較大區別. 開展復習課，學生具備一定的認知基礎，因此無需像新授課一樣“再創造”概念. 精選練習一方面能激活學生的思維，讓學生不由自主地回顧舊知；另一方面讓學生在解題中自主構建完整的知識體系，并厘清各個知識點之間的聯系，完善認知結構［3］. 本節課，以自測的方式來分析學情，并在此基礎上精心準備練習，探究過程中師生積極互動，取得了不錯的教學成效.

3. 自主探究，發展核心素養

學生是課堂的主人，探究式教學同樣需要將學生放在首位. 本節課的復習容量大、時間緊，為了在有限時間內獲取最大的效益，教師鼓勵學生結合原有的認知結構進行自主探究，必要時通過合作交流攻克難關，有效推進了教學深度，整個課堂充滿了生機與活力.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學［M］. 上海：上海教育出版社，1995.

［3］ 鄭毓信，肖伯榮，熊萍. 數學思維與數學方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.