基于個性化學習的高中數學“思考力課堂”構建與實施研究

［摘 要］ 育人之本，在于立德鑄魂. 尊重個體差異，開展個性化學習模式是我國數學教育發展的大趨勢. 文章從兩個核心概念出發，以“函數的零點與方程的解”為例，從“問題設疑，構建概念”“深入探索，導出定理”“辨析凝練，強化理解”“靈活應用，鞏固提升”等方面展開教學，并具體談談如何在個性化學習的基礎上構建思考力課堂.

［關鍵詞］ 個性化；思考力課堂；教學

隨著新課標的落地，課程改革進入了新階段，個性化教育受到廣大教育工作者的關注. 如何基于個性化學習，構建思考力課堂呢？此為筆者近期一直在探索的問題. 筆者在探索中發現，一個人的思維品質體現了他的智力與能力水平，每一個學生思維的深刻性、獨創性、靈活性、敏捷性與批判性都有所區別，這就構成了客觀存在的個體差異. 因此，筆者認為，教師應充分了解學情，在尊重學生個體差異的基礎上展開個性化教育，構建思考力課堂，以促使學生在個性化學習中不斷提升思維品質，發展數學學科核心素養.

核心概念概述

1. 思考力課堂

思考力課堂把發展學生的數學思維作為主要的教學任務，把培養學生的學科核心素養作為教學目標. 此類課堂以優化學生的思維品質、思維過程等作為教學設計方向，通過教學活動的開展有計劃、有目的地推動學生類比分析、數學抽象、直觀想象等素養的發展，促使學生形成良好的數學觀與必備的關鍵能力與數學品格.

2. 個性化學習

個性化教育是指基于學生實際認知水平、興趣愛好與能力偏好等特點展開的教學活動. 這種教育方式在充分尊重學生個體差異的基礎上，將“立德樹人”“促進個體全面發展”等目標滲透在教學實踐中. 個性化學習是基于個性化教育理念的學習模式，學生在教師的引導下調動學習內驅力，培養良好的思維品質與學習習慣，通過課堂學習獲得不同程度的發展.

教學過程設計

1. 問題設疑，構建概念

課堂伊始，要求學生自主閱讀教材內容，感知高次代數方程求根需要經歷一個怎樣的過程. 仁者見仁，智者見智. 此問起點低，每一個學生都能根據自己的認知闡述一些見解. 在此基礎上，教師再以如下兩個問題啟發學生思維.

問題1 分析方程x2-2x=3的根與函數f（x）=x2-2x-3的零點之間存在怎樣的關系.

問題2 大家都知道類似于lnx+2x=6的方程無法直接應用求根公式求解，那么這一類方程可否類比問題1中的方程，通過對其相應的函數的分析來探索其根呢？

設計意圖 閱讀教材意在引發學生初步認識方程與函數之間的關系；設計問題1意在帶領學生回顧方程根與函數零點之間的關系；設計問題2意在引導學生感知從具體到抽象的數學思維過程，為導出函數零點存在定理奠定基礎. 不同認知水平的學生，通過此環節的思考與探索，都經歷了由函數視角理解方程的過程，對函數與方程的靈活轉化有了深刻印象，在滲透函數與方程思想的同時，還用到了轉化與化歸思想，這對提升學生的數學抽象能力具有重要作用.

2. 深入探索，導出定理

問題3 通過以上探索可知，方程是否有解，決定于相應的函數的零點是否存在. 以函數f（x）=x2-2x-3為例展開探索，該如何進行呢？

學生結合已有知識和經驗，一致認為先畫函數圖象，再觀察函數圖象，探索零點附近函數值的情況.

問題4 若明確函數f（x）=x2-2x-3在［2，4］內存在零點，則該函數圖象與坐標橫軸之間存在怎樣的關系？

問題5 函數f（x）=x2-2x-3在問題4中探尋到的關系，在區間［-2，4］內依然存在嗎？

問題6 探索而來的這種關系，可否借助函數f（x）=x2-2x-3的取值規律進行描述？

為了解決上述問題，教師在此處設計了一個實踐活動：用細線模擬函數圖象.

活動要求：如圖1所示，把細線的一端固定在點A處，另一端位于點B或點B′處，在不回折的基礎上任意擺放細線，分析如下情況.

（1）若細線的另一端位于點B處，則細線在［a，b］內與坐標橫軸存在的交點情況是怎樣的？

（2）若細線的另一端位于點B′處，則細線在［a，b］內與坐標橫軸存在的交點情況又是怎樣的？

（3）若細線在［a，b］內與坐標橫軸存在交點，則細線的另一端具備怎樣的特征？

（4）若切斷這根細線，上一問中所具備的特征是否依然成立？

設計意圖 此為導出函數零點存在定理的過程，也是本節課的教學難點. 鑒于學生客觀存有認知差異，教師通過由淺入深的問題，加上實操活動的開展，引發學生深入探索，逐步理解函數零點存在定理的本質.

此環節，若讓學生自主繪制函數圖象來提煉函數零點存在定理，對一些學生而言思維跨度過大，即使他們能自主完成，也鮮有學生會聯想到分段函數. 由此，教師借助一個實操活動突破了這一障礙，確保每一個學生都能深入參與定義探索. 實操活動的趣味性增添了學生課堂學習的樂趣，課堂也因活動的介入而變得更加靈動. 在實操活動過程中，學生進一步深刻體驗了函數圖象在什么條件下必定會與坐標橫軸有交點，其中問題（2）和問題（4）的探索，為后續揭露函數零點存在定理做鋪墊.

由淺入深的問題讓學生對函數圖象與坐標橫軸的交點有了深刻理解，同時明確圖象連續不斷的情況下，函數值與坐標橫軸的關系. 課堂因問題的驅動而充滿了思考力，學生在此過程中充分感知個性化學習的價值，這對發展數學運算與邏輯推理素養具有深遠意義.

3. 辨析凝練，強化理解

問題7 若將上述問題一般化，你有什么收獲？其中蘊含怎樣的數學思想方法？

問題8 判斷下列描述是否正確，若錯誤，舉反例說明.

（1）在區間［a，b］上，如果函數y=f（x）滿足f（a）f（b）<0，那么在該區間上函數f（x）必定存在零點.

（2）在區間（a，b）上，若函數y=f（x）存在零點，則能確定f（a）f（b）<0.

（3）在區間［a，b］上，明確函數y=f（x）的圖象為一條連續曲線，同時f（a）f（b）>0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內必然不存在零點.

（4）在區間［a，b］上，明確函數y=f（x）的圖象為一條連續曲線，同時f（a）f（b）<0，那么確定函數y=f（x）在區間（a，b）內必定存在唯一一個零點.

設計意圖 問題7的提出，意在促使學生自主提煉特殊到一般數學思想，抽象函數零點存在定理；問題8的應用，讓課堂辨析更有張力，學生思維更加發散、靈敏. 此為強化個性化學習能力的過程，也是構建思考力課堂的關鍵.

4. 靈活應用，鞏固提升

例題 探索方程lnx+2x=6有幾個實數解.

解法1 觀察圖象獲得結論.

借助幾何畫板畫出與該方程相應的函數f（x）=lnx+2x-6的圖象，觀察該圖象確定方程lnx+2x=6只有1個實數解.

解法2 從函數的不同取值中探索該函數零點所處的區間.

令x=2，則f（2）=ln2-2<lne-2=-1<0；令x=3，則f（3）=ln3>0. 由于f（2）·f（3）<0，結合函數零點存在定理可確定在區間（2，3）內，函數f（x）=lnx+2x-6至少存在1個零點. 又f（x）=lnx+2x-6在定義域內為增函數，所以其在定義域內只有1個零點，即方程lnx+2x=6只有1個實數解.

解法3 應用轉化思想探索.

如圖2所示，將問題轉化成函數h（x）=-2x+6的圖象與函數g（x）=lnx的圖象的交點問題來分析.

設計意圖 例題的應用不僅拓寬了學生的視野，還進一步強化了學生的數學轉化思想. 一題多解令不同認知水平的學生都能探尋到解題思路. 多種解題方法羅列在一起分析，讓整個課堂充滿了思考力. 隨著解題思路的明確，學生獲得了一種“撥開云霧見天日”之感，深刻體會到解決這一類問題該如何化繁為簡，甚至有學生在解決完本題后提出“可縮小零點所在范圍”的方法. 由此可見，例題的探索成功啟發了學生的思維，推動了學力的發展，也為后續探索“二分法”夯實了基礎.

思考與感悟

1. 角色轉變是構建思考力課堂的基礎

新課標引領下的數學課堂，須將學生視為課堂主人，每一個教學活動都以學生為中心而展開，這對教師的角色轉變提出了較高要求. 傳統意義上的課堂教學，常在教師的主導下推進，學生只是知識的接受者，這種模式難以從真正意義上促進學生個性化學習，更談不上思考力課堂的構建. 當下的數學課堂在新課標的引領下，學生成為真正意義上的課堂主體，作為教師應根據時代的發展轉變教學觀念，把促進學生全面發展作為教學目標.

本節課，教師結合課標要求與學生的實際認知水平，借助關鍵性問題開啟學生的思維，讓學生在主動參與的狀態中積極探索與思考. 這種教學模式，不僅讓各個認知水平的學生都最大限度地開動腦筋，進入學習狀態，還令課堂充滿著智慧與思考力. 如函數零點存在定理的導入環節，教師引導學生通過自主操作發現定理，充分體現了“以生為本”教學理念，也讓深度學習真實發生了.

2. 加強教學反思可促進學力發展

要培養學生的個性化學習能力，教師本身就要具備較強的反思能力，此為發展專業素養不可或缺的基礎. 在教學過程中，教師根據實際情況不斷地實踐、總結與反思，不僅能提高教學質量，還能推進學生的個性化發展，令課堂充滿智慧與活力. 教師對自身專業知識與教學能力的反思，不僅是構建思考力課堂的需要，也是加強師生互動與溝通的需求，從而拉近師生的心靈距離，激發學生的學習潛能，提升學生的學習能力.

本節課，教師在精心預設的基礎上，邊教學、邊反思，對課堂進行過程性評價與思考，每一個教學環節緊湊且有序；學生在良好的學習氛圍下不斷挖掘自身的學習潛能，順利完成了學習任務，還通過學習提煉了各種數學思想方法，為獲得可持續發展能力奠定了基礎.

3. 加強教育管理是課堂轉型的關鍵

構建思考力課堂，促進個性化學習不僅對教師的“教”與學生的“學”提出了新的要求，對教學管理也提出了一個新挑戰. 從傳統的教學管理模式來看，基本以考試成績統一標準來評判學生的思維水平，而忽略了對學生個體差異的評價. 基于個性化學習的思考力課堂更關注對學生個性化發展的教學與管理，這就需要將單一的指令性管理模式轉化成多元化的管理模式，教師需要根據學生的實際認知水平提供個性化的教育導向與服務，以支持學生學習與個性化成長.

總之，個性化學習是教育發展的大趨勢，是值得教育工作者實踐與探索的新理念. 在“以生為本”教學理念的基礎上加強教學反思與評價，及時轉變教育管理模式，可為學生帶來更豐富的學習體驗，把數學教育推向新高度.