巧用問題驅動 發展探究能力

［摘 要］ 高中數學學科具有較強的抽象性與邏輯性，很多學生對定義存在理解困難，對解題存在認知障礙. 巧用問題驅動實施教學，可從一定意義上提升學生在課堂中的探究效率，從而更好地梳理知識結構，理解知識本質，提高解題效率. 研究者以“雙曲線”的拓展教學為例，分別從研究緣起、教學實踐與教學思考三個方面展開探索.

［關鍵詞］ 問題；探究；拓展

以核心素養為導向的高中數學教學更關注學生探究意識與思維能力的培養. 借助問題驅動學生的思維，讓學生學會從數學的視角去認識生活實際問題，并形成解決問題的能力是發展核心素養的重要途徑之一［1］. 從數學史的發展歷程來看，數學每一次的重大發現與突破都與問題有著密不可分的聯系，一些數學問題的解決促使數學理論的發展. 因此，借助問題驅動教學的模式值得深入探索與推廣，它是學生提升探索能力與學習能力的重要通道.

研究緣起

學海無涯. 學習過程中難免遇到一些困惑，如學習雙曲線之后，一些思維活躍的學生對雙曲線的概念就產生了疑惑：初中階段研究的反比例函數圖象為雙曲線，高中階段探索的雙曲線與之是不是同一個東西呢？除了反比例函數之外，還存在其他可以描述雙曲線的方程嗎？為了幫助學生解開這個謎團，筆者特地設計了本節課教學，以期通過問題驅動的方式來拓展學生對雙曲線的認識.

教學實踐

1. 反比例函數圖象、分式函數圖象與雙曲線之間的關系的探索

（1）函數y=的圖象的探索

以雙曲線的定義為教學起點，引導學生通過兩個定點的探索，感知這兩定點與反比例函數上的任意點之間的距離差的絕對值是定值，而且這兩定點之間的距離大于該定值.

師：首先我們一起來探索反比例函數y=.

問題1 倘若M（x，y）為反比例函數y=圖象上的一點，探尋定點P（x，y），Q（x，y），使得PM -QM 為一個固定的數值.

面對這個問題，學生表示無從下手，于是筆者啟發如下：關于點P（x，y），Q（x，y）的探尋，可以嘗試從雙曲線的定義與性質著手.

生1：點P，Q必然位于反比例函數y=圖象的對稱軸上.

師：它的對稱軸是什么呢？

生2：對稱軸為直線y=x，倘若咱們探尋的點為P（a，a）與Q（b，b），這兩點必然關于原點對稱，故這兩點坐標可重新設成P（a，a）與Q（-a，-a），列式為MP -MQ =

-

.

問題2 想要確定PM -QM 是不是常數，該怎么處理？

生3：可通過運算來分析，主要思考式子中a取什么值的時候，式子（x-a）2+

-a

能以代數式的平方來表達. 因為=，假設x+=t（t≤-2或t≥2），則（x-a）2+

-a

=t2+2a2-2at-2=（t-a）2+a2-2，得a2=2，也就是當a=±時，（x-a）2+

-a

=（t±）2. 即當M（x，y）為反比例函數y=第一象限的圖象上的點時，且t≥2，PM -QM =2恒為常數. 與之類似，若M（x，y）為反比例函數y=第三象限的圖象上的點時，且t≤-2，MP -MQ =2同樣恒為常數，且2<PQ=4.

師：很完整，以上探索明確反比例函數y=的圖象必然為雙曲線形狀. 該特殊情況可否推廣到一般呢？

問題3 分析反比例函數y=（k≠0，k為常數）的圖象形狀是不是雙曲線.

有了以上探索作為方法基礎，學生通過合作交流很快就獲得定點（k，k）和（-k，-k）滿足雙曲線的定義.

至此，有些教師認為該探究結束了. 事實上，學生的潛能是無窮的，教師還可以帶領學生進入深層次探究，借助問題驅動學生的思維引發聯想，為學生實現深度學習與發展創新意識做鋪墊.

（2）坐標軸旋轉公式的探索

問題4 關于反比例函數y=（k≠0，k為常數）的圖象，大家通過探索都已經明確了. 有沒有同學想過這樣一個問題：反比例函數y=的圖象是雙曲線，但雙曲線的標準方程與y=的差異太大了些，這是為什么呢？

學生沉默，一名學生猶豫地提出：“是不是與坐標系有關？”

師：這個思維跨度有些大，想法很好，值得探索. 接下來我們就從坐標軸旋轉的角度來分析，類似于物理的參照物，坐標軸旋轉本身就是因為參照系發生了改變，導致點的坐標發生了變化，與之對應的方程必然也會發生改變.

此環節比較抽象，學生理解起來有些困難，因此需要教師加以點撥.

師：坐標軸的旋轉是指坐標的單位長度與位置都不發生改變，僅僅將坐標軸的方向進行變化. 現在我們要探索這樣兩個問題：坐標軸圍繞原點進行旋轉，坐標系內的點會隨之怎么改變？這個問題怎么轉化成數學問題？

生4：我用數學語言來描述這個問題，假設點M（x，y）是平面直角坐標系xOy內的一點，若該坐標系的坐標軸逆時針旋轉角θ，此時的平面直角坐標系為x′Oy′，旋轉后的點M位于（x′，y′）處，那么（x，y）與（x′，y′）之間的關系是什么？

師：旋轉坐標軸時，什么條件發生了變化，什么條件沒有發生變化？

生5：如圖1所示，原點與點M之間的距離沒有發生變化，但旋轉之后的角度發生了變化.

師：因此我們該怎么探索這個問題呢？

生6：假設OM=r，則x=rcosα，

y=rsinα.旋轉坐標軸后獲得一個新的坐標系x′Oy′，此時點M的坐標是（x′，y′），則x′=rcos（α-θ），

y′=rsin（α-θ），即x′=xcosθ+ysinθ，

y′=ycosθ-xsinθ.

師：除此之外，還可以怎么理解？

生7：借助逆向思維分析，即將坐標系xOy視為坐標系x′Oy′順時針旋轉角θ或逆時針旋轉角-θ而來的，因此列式為x=x′cosθ-y′sinθ，

y=y′cosθ+x′sinθ.

至此，學生在探索中獲得了相應的旋轉公式. 但拓展教學并未畫上句號，而應隨著學生的思維順勢而上，以旋轉公式為跳板，繼續探尋雙曲線與一次分式函數圖象之間的聯系.

拓展1 分析一次分式函數y=（p≠0）的圖象與雙曲線之間的聯系.

師：眾所周知，反比例函數y=（k≠0，k為常數）的圖象經平移可得一次分式函數的圖象，既然大家對反比例函數圖象為雙曲線有了明確認識，接下來，就從轉化坐標軸的角度來討論它們圖象之間的聯系.

問題5 y=±x為反比例函數圖象的對稱軸所在的直線方程，x軸、y軸為雙曲線的對稱軸，若將坐標軸旋轉至與y=±x重合的位置，情況是怎樣的呢？

生8：坐標系xOy以原點為中心，順時針旋轉后獲得坐標系x′Oy′，那么原來y=上的點P（x，y）就轉變成了點P′（x′，y′），則

x=x′+

y′，

y=

y′-x′，代入y=可得

x′+y′

·

y′-x′

=k，化簡得y′2-x′2=2k.

師：通過以上探索發現，隨著坐標軸的旋轉，等軸雙曲線的標準方程和反比例函數的解析式之間存在一致性.

在此基礎上，學生自主交流，提煉出如下結論：一次分式函數y=（p≠0）的圖象為等軸雙曲線.

2. 雙曲線與對勾函數圖象之間的關系的探索

拓展2 關于y=mx+（mn≠0）（對勾函數）的圖象的探索.

問題6 大家對函數y=mx+的圖象存在兩條漸近線非常熟悉，該特點和雙曲線有高度相似性，那么對勾函數的圖象是雙曲線嗎？

為了幫助學生厘清探索思路，筆者通過問題啟發的形式與學生展開交流.

師：若明確點P與兩個定點A（1，2），B（-1，-2）之間的距離差的絕對值為4，則點P的軌跡方程是什么？

生9：假設點P（x，y），根據題設條件可得4=

-

，經化簡得y=+x.

師：很好，在探索過程中，大家有沒有發現該曲線與雙曲線也有關系？y=+x從本質上來說就是一個對勾函數，據此你們有什么想法？

生10：結合以上探索，猜想y=mx+（mn≠0）的圖象為雙曲線.

師：這個猜想是否成立呢？現在請大家合作交流并驗證，然后將結論展示出來.

生11：從函數y=mx+（mn≠0）的圖象來看，它的漸近線分別是y=mx與x=0，將坐標系xOy的坐標軸順時針旋轉角θ或逆時針旋轉角-θ獲得坐標系x′Oy′，-=1的圖象（雙曲線）有一條漸近線y′軸. 若點P（x，y）是雙曲線-=1位于坐標系xOy內的一點，與之相對應的在坐標系x′Oy′內的點為P′（x′，y′），則x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ. 假設銳角α為-=1的一條漸近線的傾斜角，那么α+θ=. 因為tanα=，所以sinα

=，

cosα

=，sinθ

=，

cosθ

=.根據點P（x，y）至點P′（x′，y′）的旋轉公式得

x′=·

x-·y，

y′=·

x+·y，即

x=·

x′+·y′，

y=-·x′

+·y′，則焦點F（c，0）轉化成點F′（b，a），同時頂點A（a，0）轉化成A′

，

，那么-=1的標準方程就轉化成-=1，經化簡得y′=+x′（對勾函數）.

由此，師生通過共同探索，得到結論：-=1（雙曲線的標準方程）的圖象經過旋轉，使y軸與其漸近線重合，獲得y=mx+（mn≠0）（對勾函數）的圖象.

3. 關于雙曲線方程的探索

拓展3 探索中心點位于原點的雙曲線的方程.

問題7 已知-=1為坐標系xOy內的雙曲線的標準方程，若將坐標系xOy順時針旋轉角θ或逆時針旋轉角-θ獲得一個新的坐標系x′Oy′，則x′Oy′內的雙曲線的方程是怎樣的？

生12：假設坐標系xOy中的點P（x，y）位于坐標系x′Oy′中是P′（x′，y′），則x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ，將其代入-=1可得-a2（-x′sinθ+y′cosθ）2+b2（x′cosθ+y′sinθ）2=a2b2，經化簡得雙曲線方程（b2cos2θ-a2sin2θ）x′2+2sinθ·cosθ（a2+b2）x′y′+（b2sin2θ-a2cos2θ）·y′2=a2b2①.

結合前面的探索得到結論：若b2sin2θ-a2cos2θ=0，也就是當tanθ=時，①式就轉化成y′=+x′（對勾函數）；當a=b，且cos2θ≠0時，①式就是x′2+2x′y′tan2θ-y′2=（等軸雙曲線）；當a=b，且θ=時，①式就是y′=（反比例函數）.

幾點思考

1. 問題是啟發探究行為的起點

數學課堂由多個問題構成，想要激起學生的探究行為，教師在課前除了研究教材與課標要求，還要研究學生，并基于學生的實際認知水平提出恰當的問題，讓學生的思維隨著問題的提出逐漸深入，由此進入真正意義上的探索狀態.

本節課，筆者根據本班學生的實際情況，發現學生除了對反比例函數是雙曲線有所了解外，對其他的雙曲線一知半解. 因此，筆者就以此作為課堂教學重點，引導學生分別從不同的維度拓展知識面，通過探索問題讓學生對雙曲線產生更加深刻的理解，完善學生的知識結構.

2. 總結提煉是提高探究效率的關鍵

師生、生生積極的互動與交流可提高探索效率，然而有些教師只關注“過程性”教學，不關注探索活動的總結與反思，導致學生雖然經歷了探究過程，但因為缺乏總結與提煉，無法形成完整的知識結構，只能做到知其然而不知其所以然的狀況. 實踐證明，總結與反思是構建學生認知結構不可或缺的環節.

如本節課，學生已有的認知結構中雖然存在反比例函數與對勾函數等知識，對雙曲線也有所了解，但這些知識都是以獨立的形態存在的. 課堂上，在問題的驅動下，學生將零散的知識有機地融合到一起，驚喜地發現了它們之間的關系. 這一發現進一步深化了學生對知識本質的理解，為構建完整的知識體系創造了條件.

3.過程評價是提高探究效率的催化劑

新課標引領下的數學教學要將評價貫穿課堂的始終，即關注“過程性評價”的重要性. 想要提高課堂探究效率，就要關注到課堂每一個探究過程的評價，此為提升探究活動效率的催化劑. 如本節課，在師生互動過程中，筆者對學生所反饋的每一個問題或解題思路，都及時給予點評與引導，以此不斷推動學生的探究行為，讓探究過程更加豐富，獲得的結論更加精確. 實踐證明，恰如其分的評價可幫助學生更清晰地認識自己，提升學習數學的興趣.

總之，巧用問題驅動是發展學生數學探究能力，提升學生學習內驅力的重要方式之一. 教師應在教學前做好精心預設，為教學時能更好地點撥與引導學生打下基礎. 同時，課堂上與學生積極的互動，以及恰當的評價可促使學生將感性思維轉向理性思維，此為發展學生數學學科核心素養的重要途徑.

參考文獻：

［1］ 陳德燕. 基于情境、問題導向的探究體驗式課堂教學實踐［J］. 數學通報，2020，59（4）：35-38.