系統設計問題 問道單元教學

［摘 要］ 文章以“用向量法解決三角形問題”為例，探究大單元背景下的問題系統設計與實施，啟發學生探索與尋求問題解決路徑，引導學生深度思考，促進學生數學學科核心素養的提升.

［關鍵詞］ 單元教學；問題系統；深度學習

單元教學是指從單元整體出發，把相關知識與應用方式關聯成一條教與學的線索，形成一個不可分離的教學整體. 對單元教學的實施，需要教師進一步轉變教育方式，確立新的教育理念.

單元教學意識的形成需求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調：為促進核心素養的階段性、持續性發展，應把握教學內容的整體性［1］. 這要求教師以整體研讀教材為基礎，領會單元教學的主題知識與方法，按照系統設計問題的思路，以實現單元教學目標為前提，開展單元下每一個課時的教學活動，使學生通過單元學習，有效提升數學學科核心素養.

課例研究

以“用向量法解決三角形問題”為例，教學目標為：用向量法證明已學的三角形的性質，以及解決三角形問題，讓學生進一步體驗向量的工具性作用.

本課例以三角形為探究對象，大致包括以下探究要點：①目標的定義；②幾何要素之間的關聯與轉化；③相關性質的延伸. 探究起點是：用向量法將三角形的重心與三角形的邊角關系準確地表達出來. 具體課時安排如圖1所示.

本課例承接“正弦、余弦定理及其應用”課程. 在“正弦、余弦定理及其應用”課程中，學生已對三角形的基本要素以及正弦、余弦定理有了較為深刻的印象和使用經驗，但是思考正弦、余弦定理形成的過程，是應用向量法的結果，因此“用向量法解決三角形問題”是一個切實可行的探究方向.

三角形的四“心”（重心、內心、外心、垂心）是三角形很重要的基本量，也是學生學習的難點，而向量是“數”與“形”結合的橋梁，它與數學各個方面有著緊密聯系，是解決三角形問題的有力工具［2］，因此本課例將重點介紹用向量法解決三角形重心問題，并以其為探究起點，為學生繼續用向量法解決三角形外心、內心等問題提供可行的探究路徑與思考方式，讓學生在完成必修二的學習后能夠更有效地運用向量法解決更多有關三角形的問題. 在此過程中，本課例通過設計三角形特性問題，引導學生切實體驗用向量法解決三角形問題具有運算與推理兼顧的優勢，并通過向量的數形結合的展現，促使學生學會文字語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉化，加深學生對向量法的認識.

本課例的首要任務是通過三角形幾何要素與平面向量運算法則的關聯探究，對比幾何法與向量法的研究路徑，架構更合理的研究方式.

1. 問題系統設計

問題系統是指建立在學科素養分析基礎上，指向目標、提升學習有效性的問題集合，并且表現為動態的、邏輯化的問題結構. 問題系統的設計目的是尊重學習主體的普適性，結合學習主體已有的學習經驗，進一步驅動其主觀能動性，明確其探索意向.

在教學過程中，以問題為導向，使教學目標更加明確，任務更加具體，教學過程更加清晰，有利于學生抓住要旨、教師駕馭課堂［3］. 這里教師應該根據學生的知識結構體系和思維故障點，從教材出發，依據教學重點與難點設計單元問題系統，保證問題環環緊扣、層層遞進、步步深入，確保知識的整體性與連貫性，為發展學生的數學學科核心素養提供有力抓手. 以“用向量法解決三角形問題”為例，問題系統設計思路如表1、表2所示（分別為單元問題系統設計和課時問題系統設計）.

以“四何”問題為基礎設計課時問題矩陣，可有效規避所提問題的離散與低效；將問題層次進行劃分，可幫助學生完善用向量法解決三角形問題的認知結構體系；通過師生互動與生生互動的方式化解認知沖突，可使學生整體把握用向量法解決問題的基本策略.

新課程采用“主線引導主題，指向核心內容”結構展現課程實施內容，故問題鏈設計的本源在于使學生在單元知識領域下把握主題核心內容，通過探究活動掌握向量這一工具的基本應用方式，在經歷抽象、概括、遷移等探究過程后，將用向量法解決三角形問題的基本結構模式納入已有的知識體系中.

2. 單元思維導圖引領與策略總結

單元教學設計追求：知識的完備性、邏輯的連貫性、思想的統一性、方法的普適性以及思維的系統性. 本節課作為初始探究課程，可以通過思維導圖的形式，引導學生整理探究過程，引發學生多角度思考問題. 以本節課為例，探究過程的思維導圖如圖2所示.

經歷上述探究過程，學生對向量和幾何之間的關系有了較深刻的認識，也體驗到了多維度探索幾何問題的方式，提煉了向量法在其他幾何問題中的基本應用策略. 例如將平面內的任意一點P轉化成空間中的任意一點，引發對空間向量基底的探索與思考，甚至引發對用向量法解決空間立體幾何問題的探究，等等. 開放式的主題探究也充分體現了單元教學對培養系統性思維、連貫性邏輯等的要求，為提升學生的思維能力奠定了基石.

另外，經歷“探究—綜合—整理—提煉”的過程，深入學習“用向量法研究三角形重心問題”的內容之后，引導學生對三角形其他性質進行探究，即在總結主要探究路徑的基礎上，鼓勵學生更加深層次地思考如何用向量法解決三角形的其他性質問題，也就是將“重心”的研究方式進行遷移，為課時2的教學做好鋪墊，協助學生架構更完整的思維體系. 本單元教學范例如圖3所示.

單元主題內容一般以單元課程內容為基礎，讓學生把握本單元思想、知識、方法，再到素養的一次深層次提升，這也是數學學習的重要目標. 通過單元主題內容的深度研究，讓課堂得到延伸，是培養學生探究精神和創新意識的有效路徑. 本節課的總結環節對后續探究方向提出了展望，鼓勵學生合情推理、大膽猜想，通過類比與化歸等方式進行邏輯推理，體驗“再創造”的過程，為單元學習拓展提供新契機.

課例實踐后反思

從學科的角度來說，單元主題教學的關鍵是引導學生有效地進行學科深度學習，而深度學習是教學中的學生學習而不是一般的學習者的自學，必有教師的引導和幫助［4］，這就要求教師在教學過程中改變教學理念，通過教學過程中問題的系統設計，培養學生積極探尋解決問題的有效策略，真正實現學生深度學習. 讓學生在關注知識目標的基礎上，超越知識表象學習而進入深層次的構造式學習，積累并把握學科知識與研究方法，從而提升學生的基本素養；讓學生在深刻理解數學知識的前提下，思維得到充分的訓練，智慧得到有效的啟迪，從而提升學生的核心素養，實現知識與智慧的轉化與升華.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 趙光輝. 向量與三角形“談心”［J］. 考試：高考數學版，2011（Z3）：93-94.

［3］ 李志敏. “問題化”數學教學中的“問題設計”［J］. 中學數學教學參考，2016（05）：18.

［4］ 郭華. 深度學習及其意義［J］. 課程·教材·教法，2016，32（11）：23-32.