借助幾何直觀 突破教學(xué)難點(diǎn)

周潔

一、教材分析

1.本課內(nèi)容分析

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在涉及抽象概念教學(xué)時(shí)會(huì)采用幾何直觀的方法開展教學(xué)，蘇教版教材將“分?jǐn)?shù)乘除法”內(nèi)容分為分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法兩個(gè)部分，通過環(huán)環(huán)相扣的環(huán)節(jié)安排，加深學(xué)生的理解。在“分?jǐn)?shù)乘法”的教學(xué)中，提出做一朵綢花要用米綢帶，小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米的問題，使抽象的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的日常生活緊密相連，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的實(shí)用性。

2.橫向教材比較

在北師大版、蘇教版、人教版三個(gè)版本的教材中，“分?jǐn)?shù)乘除法”都是教學(xué)的重點(diǎn)，教學(xué)的共同特點(diǎn)是它們都通過幾何直觀的方式，幫助學(xué)生清晰地理解分?jǐn)?shù)的概念。通過幾何圖形的拆分、組合和轉(zhuǎn)換，學(xué)生能夠直觀地看到分?jǐn)?shù)的運(yùn)算過程，從而更容易掌握這些概念。此外，所有版本都強(qiáng)調(diào)將分?jǐn)?shù)運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，這不僅增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性，還提高了學(xué)生理解應(yīng)用運(yùn)算概念的能力。

二、學(xué)情分析

六年級(jí)的學(xué)生通常具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，已經(jīng)學(xué)會(huì)基本的四則運(yùn)算和初步的分?jǐn)?shù)概念，然而，對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法的學(xué)習(xí)仍面臨著一些挑戰(zhàn)。在理解分?jǐn)?shù)概念的深度上，六年級(jí)學(xué)生仍然停留在對(duì)分?jǐn)?shù)作為“部分整體”的直觀理解上，對(duì)于分?jǐn)?shù)的更深層次概念理解不夠深入。這就需要教師在教學(xué)中通過具體的幾何直觀示例來加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算規(guī)律的理解。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.充分理解分?jǐn)?shù)表示的意義，能熟練進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘法和除法運(yùn)算，學(xué)會(huì)運(yùn)算過程中的約分化簡。

2.通過解決分?jǐn)?shù)乘除法相關(guān)問題，訓(xùn)練邏輯思維，使其能夠獨(dú)立分析問題、尋找解決方法。

3.將分?jǐn)?shù)的知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

四、教學(xué)重點(diǎn)

在“分?jǐn)?shù)乘除法”的教學(xué)過程中，教師的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法之間的內(nèi)在一致性。要讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法之間的聯(lián)系，教師需要讓學(xué)生從算理的角度去探究。分?jǐn)?shù)乘法在本質(zhì)上是一種“乘積”的表示，即一個(gè)數(shù)被另一個(gè)數(shù)重復(fù)取多次。而分?jǐn)?shù)除法則是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算，它表示的是一種“分配”的概念，即將一個(gè)數(shù)分成幾個(gè)相等的部分。

五、教學(xué)過程

（一）借助學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，溫故知新導(dǎo)入

師：同學(xué)們，我們來回顧一下乘法的基本概念。請(qǐng)想一想，如果一桶水有3升，那么5桶水共有多少升？

生A：老師，我知道，這就是簡單的乘法運(yùn)算。我們可以用“一桶水的體積×桶數(shù)=水的體積”的公式來計(jì)算。所以，3×5=15（升）。

師：很好，看來同學(xué)們都已經(jīng)掌握了乘法的基本概念。現(xiàn)在我們來擴(kuò)展一下這個(gè)概念，如果一桶水有3升，那半桶水是多少升呢？

生B：半桶水應(yīng)該是3升的一半，所以應(yīng)該是1.5升。

例題：

（1）如果一桶水有4升，那么?? 桶水是多少升？（學(xué)生列式：4×）

（2）一塊巧克力重50克，?? 塊巧克力是多少克？（學(xué)生列式：50×）

（設(shè)計(jì)意圖：通過這些練習(xí)，學(xué)生不僅復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)的乘法概念，還逐漸理解了分?jǐn)?shù)乘法的本質(zhì)。）

（二）幾何直觀教學(xué)，借助圖形搞懂算理

1.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)

生B：我是用畫圖的方法來計(jì)算的。我畫了一個(gè)整體，然后把它分成10個(gè)相等的部分。我著色了其中的3部分，然后重復(fù)這個(gè)過程三次，最后統(tǒng)計(jì)著色的部分。

師：非常好，學(xué)生B用圖形來表示這個(gè)乘法，這是一種直觀的展示方法。現(xiàn)在，讓我們看看學(xué)生B是怎樣畫的。（見圖1）

師：同學(xué)們，你們通過圖形表示了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的過程，這幫助我們更直觀地理解了這個(gè)概念。現(xiàn)在，讓我們再來探討一下，如果我們要進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算，我們該怎樣用圖形來表示呢？

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過實(shí)際操作和視覺化的表達(dá)方式，能夠更深入地理解分?jǐn)?shù)乘法的本質(zhì)。）

2.分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們來探索一個(gè)新問題：如果有一個(gè)長方形，它的長是0.7分米，寬是0.3分米，這個(gè)長方形的面積是多少平方分米？請(qǐng)嘗試列式計(jì)算。

（學(xué)生嘗試計(jì)算后，開始全班交流）

生A：我覺得可以先把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計(jì)算。所以長方形的面積可以用0.7乘0.3來計(jì)算，結(jié)果是0.21平方分米。

師：這是一種很好的計(jì)算方法。但是，我們還可以用另一種方式來理解這個(gè)問題，你能用畫圖的方式來解釋你的計(jì)算過程嗎？

展示生A的圖形。（見圖2）

生A：分母10乘以10表示我們把這個(gè)圖形均勻分成100份，長為0.7分米，表示每行有7個(gè)這樣的小份額，寬為0.3分米，表示有3行這樣的小份額。所以，整個(gè)長方形覆蓋了21個(gè)這樣的小份額。

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生掌握基本的計(jì)算技巧，深化他們對(duì)這一數(shù)學(xué)概念的理解。）

3.分?jǐn)?shù)除法

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)除法以及小數(shù)除法的相關(guān)知識(shí)。現(xiàn)在，讓我們來看一個(gè)例子，試試看你們能否計(jì)算，請(qǐng)計(jì)算40除以2和0.4除以2。

學(xué)生開始計(jì)算這兩道題。

（學(xué)生計(jì)算后，教師開始引導(dǎo)討論）

師：你們是怎么計(jì)算的呢？能不能說出你們的計(jì)算過程和其中的道理？

生A：對(duì)于40除以2，我把它看作是4個(gè)10除以2，所以結(jié)果是2個(gè)10，即20。

生B：對(duì)于0.4除以2，我認(rèn)為是4個(gè)0.1除以2，結(jié)果是2個(gè)0.1，也就是0.2。

師：很好，你們的計(jì)算是正確的。但你們提到了一個(gè)很有趣的概念——“10”和“0.1”。這些其實(shí)是我們的計(jì)數(shù)單位。在這兩個(gè)例子中，計(jì)數(shù)單位發(fā)生改變了嗎？

生：沒有改變。我們是把它前面的數(shù)字拿來除的。

師：沒錯(cuò)，這是一個(gè)非常重要的觀點(diǎn)。我們在計(jì)算時(shí)，實(shí)際上是在操作計(jì)數(shù)單位前面的數(shù)字。現(xiàn)在，讓我們用這樣的方法來計(jì)算一個(gè)分?jǐn)?shù)除法的題目。假設(shè)你有一張紙，你需要將它的七分之四平均分成2份。每份會(huì)是這張紙的幾分之幾呢？請(qǐng)嘗試計(jì)算。

學(xué)生開始嘗試解決這個(gè)問題。

生：每份是七分之二。

師：你是怎么算出來的呢？

生：因?yàn)?除以2等于2，所以每份是七分之二。我想的是，如果我們把紙分成7個(gè)等份，那么每份就是七分之一。在七分之四的部分，我們有4個(gè)這樣的份額，如果我們將它們平均分成2份，每份就會(huì)有2個(gè)七分之一，所以答案是七分之二。

師：這是一個(gè)非常好的解釋。現(xiàn)在讓我們嘗試更復(fù)雜的問題。如果我們要把一張紙的七分之四平均分成3份，每份會(huì)是這張紙的幾分之幾呢？

學(xué)生嘗試計(jì)算后，教師繼續(xù)引導(dǎo)討論。

師：你們在解決這個(gè)問題時(shí)遇到什么困難了嗎？

生：是的，我發(fā)現(xiàn)4除以3除不盡。

師：這是一個(gè)更有挑戰(zhàn)性的問題。讓我們一起用圖形來幫助我們理解。假設(shè)我們將紙張分成7個(gè)等份，那么七分之四意味著我們有4個(gè)份額。如果我們要將這4個(gè)份額平均分成3份，我們需要理解這意味著每份不再是整數(shù)個(gè)七分之一了。讓我們嘗試在圖紙上表示這個(gè)分配過程。

師：我們將一張紙分成7個(gè)相等的部分來表示七分之一。然后，我們著色其中的4個(gè)部分來表示七分之四。現(xiàn)在，我們需要考慮如何將這些著色部分平均分成3份。

學(xué)生在紙上繪制圖形，嘗試用視覺方法解決問題。

師：請(qǐng)注意，當(dāng)我們嘗試將這4個(gè)份額分成3份時(shí)，我們實(shí)際上是在分割每個(gè)七分之一的部分。這意味著我們不能再將每份視為整個(gè)七分之一，而是需要將每個(gè)七分之一的部分進(jìn)一步分割。

學(xué)生依據(jù)指導(dǎo)在紙上畫出分割的圖形。

師：很好，現(xiàn)在我們可以看到，每份實(shí)際上包含了超過一個(gè)七分之一，但又少于兩個(gè)七分之一的部分。這就是分?jǐn)?shù)除以另一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)的復(fù)雜性。通過這個(gè)圖形，我們可以更直觀地看到每份的大致大小。

（設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示分配的過程，幫助他們直觀地理解分?jǐn)?shù)除法在不整除情況下的應(yīng)用。）

六、教學(xué)總結(jié)

（一）辯證看待借助幾何直觀代替運(yùn)算

在教學(xué)中，我們采用幾何直觀的方法來教授分?jǐn)?shù)乘除法。這種方法的應(yīng)用是基于布魯納的多元表征理論以及其后學(xué)者對(duì)該理論的修正。布魯納原先提出的動(dòng)作表征、表象表征與符號(hào)表征，以及后來的修正——操作模型表征、圖像表征、書面符號(hào)表征，以及新增的口頭語言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征，這些都強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程中多種表征方式的重要性及其相互轉(zhuǎn)換。

（二）幾何直觀過程不適合紙筆測驗(yàn)

教學(xué)實(shí)踐中展現(xiàn)了幾何直觀教學(xué)法的高效性。然而，這種方法并不適合紙筆測驗(yàn)。盡管幾何直觀在課堂上非常有效，但在標(biāo)準(zhǔn)化的紙筆測試環(huán)境中，其實(shí)用性較小。紙筆測驗(yàn)通常側(cè)重于評(píng)估學(xué)生的最終結(jié)果，而非思考過程。當(dāng)學(xué)生在試卷上畫出直觀示意圖時(shí)，這些圖形通常只能展示問題的最終結(jié)果，而無法反映學(xué)生得出這一結(jié)果的具體思考過程。

（三）幾何直觀應(yīng)逐步退出學(xué)習(xí)過程

在“分?jǐn)?shù)乘除法”的教學(xué)中，我們采用了幾何直觀的方法來輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。但教師需要認(rèn)識(shí)到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的四個(gè)水平（直觀理解、程序理解、抽象理解與形式理解）。隨著學(xué)生年齡的增長，他們的思維逐漸從具象、自我中心向抽象、結(jié)構(gòu)化轉(zhuǎn)變。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也應(yīng)該相應(yīng)地從依賴直觀模型逐漸過渡到更加抽象的思維方式。