考慮材料硬度與縮徑量的橡膠襯套各向剛度優化設計

秦武 李春歸 潘兵兵 李駿 劉霏霏

收稿日期：2023?10?19

基金項目：國家自然科學基金（51806066）；博士后科學基金項目（2022M711352）；江西省自然科學基金資助項目（20232BAB214047）；江西省教育廳科技項目（GJJ210630）

文章編號：1005-0523（2024）03-0090-11

摘要：【目的】通過對橡膠襯套各向剛度的優化設計以指導產品設計，以期大幅縮短橡膠襯套的研發周期。橡膠襯套作為新能源汽車、特種車輛、動車組等載運工具的重要連接件，對整車操縱穩定性起著至關重要的作用?！痉椒ā繛榱吮苊夤こ虒嵺`中反復調試的繁瑣工作，提出了一種考慮材料硬度與縮徑量的橡膠襯套各向剛度（徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度）優化設計方法。首先，采用Ogden模型作為橡膠襯套的本構模型，通過試驗設計與有限元分析相結合的方法，計算不同內芯外徑、橡膠高度、縮徑量和材料硬度下襯套各向剛度；然后，建立各向剛度的二階響應面模型，利用拉丁超立方抽樣和方差分析，檢驗響應面模型精度；最后，根據遺傳算法，建立含各向剛度為設計變量的多目標優化模型，并對優化結果進行試驗驗證。【結果】研究表明：徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度的試驗結果與目標值的相對誤差分別為7.72%，9.06%，-6.33%和9.16%，均在±10%以內，滿足工程應用的要求?！窘Y論】試驗結果驗證了所建立的各向剛度二階響應面模型的有效性，以及所提出優化設計方法的可行性，為橡膠襯套產品設計提供指導，可極大地縮短橡膠襯套的研發周期。

關鍵詞：橡膠襯套；響應面方法；遺傳算法；多目標優化

中圖分類號：U467.3 文獻標志碼：A

本文引用格式：秦武，李春歸，潘兵兵，等. 考慮材料硬度與縮徑量的橡膠襯套各向剛度優化設計[J]. 華東交通大學學報，2024，41（3）：90-100.

Optimal Design of Isotropic Stiffness for Rubber Bushing by Considering Material Hardness and Diameter

Reduction for Conveyance

Qin Wu1，2， Li Chungui1， Pan Bingbing2， Li Jun1， Liu Feifei1

（1. School of Mechatronics & Vehicle Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China；

2. Jianxin Zhao's Technology Co. Ltd.， Ningbo 315615， China）

Abstract： 【Objective】As an important connecting part of new energy vehicles， special vehicles， locomotives and other means of transportation， rubber bushing plays a crucial role in the stability of the whole vehicle handling. In order to avoid the tedious work of repeated debugging in engineering practice， 【Method】an optimal design method of rubber bushing all-directional stiffness （radial， axial， yaw and torsional stiffness） taking into account the material hardness and diameter reduction is proposed. Firstly， the Ogden model is used as the constitutive model of rubber bushing. Second， by combining experimental design with finite element analysis， the isotropic stiffness of rubber bushing with different inner core outer diameter， rubber height， diameter reduction and material hardness is calculated. The second-order response surface model of isotropic stiffness is established and the accuracy of the model is verified by Latin hypercube sampling and variance analysis. Finally， a multi-objective optimization method of isotropic stiffness of rubber bushing is proposed using genetic algorithm to testify the optimization result. 【Result】 The result shows that the relative errors between the measured radial， axial， yaw and torsional stiffness and objective stiffness are 7.72%， 9.06%， -6.33% and 9.16% respectively， which are all within ±10% and meet the requirements of engineering application. 【Conclusion】 The validity of the established second-order response surface model of isotropic stiffness and the feasibility of the proposed optimization design method are verified to provide guidance for the product design of rubber bushing， which can greatly shorten the research and development cycle of rubber bushing.

Key words： rubber bushing; response surface method; genetic algorithm; multi-objective optimization.

Citation format： QIN W， LI C G， PAN B B， et al. Optimal design of isotropic stiffness for rubber bushing by considering material hardness and diameter reduction for conveyance[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2024， 41（3）： 90-100.

【研究意義】橡膠襯套作為一種重要的連接元件，主要安裝在懸架、副車架、轉向架、穩定桿等位置，被廣泛應用于新能源汽車、特種車輛、動車組等載運工具和軌道交通領域中[1]。橡膠襯套材料硬度與結構決定著襯套的剛度。若剛度設計過大，對載運工具振動與噪聲控制不利；若剛度設計過小，載運工具或其子系統行程太大，會影響整車操縱穩定性。因此，優化設計襯套剛度對整車性能的提升起著至關重要作用。

【研究進展】在橡膠襯套剛度影響因素研究中，縮徑量影響著襯套的各向剛度，在工程上，縮徑量可定義為：橡膠襯套外套直徑的壓縮變化量。方紅和陳寶等[2-3]研究表明，可以合理控制縮徑量尺寸來調整橡膠襯套剛度，當縮徑值達到一定程度后對橡膠襯套靜、動剛度值的影響變大。曾家興和陳寶等[4-5]研究發現，不同材料硬度對橡膠彈簧超彈本構模型參數和彈簧垂向剛度有顯著影響，且硬度越大，靜剛度變化越明顯。

在橡膠襯套剛度優化算法研究中，目前有基于各種優化理論的算法。較為成熟的有差分進化算法[6]、自適應模擬退火算法[7]、新型混沌磷蝦群優化算法[8]和遺傳算法[9]等，被廣泛應用于橡膠襯套剛度優化中。目前，國內外對于橡膠襯套剛度優化開展了研究工作。

Dai等[10]采用混合神經網絡模型開發了橡膠襯套的詳細模型，并識別其關鍵參數。Jung等[11]基于襯套形狀設計變量與有限元分析預測的剛度值之間的關系，在人工神經網絡模型中訓練了多層感知器和卷積神經網絡模型，準確預測橡膠襯套剛度?？驴〉萚12]通過有限元法計算推力桿球鉸橡膠襯套的應變分布特征和剛度參數，建立推力桿球鉸的多目標優化模型，采用遺傳算法得到最優球鉸結構參數的優化方案。郭一鳴等[13]對懸置中非橡膠填充結構進行優化設計，通過謝菲爾德遺傳算法對結構參數進行優化，以滿足動力總成懸置系統匹配過程中懸置的剛度要求。

【創新特色】綜上所述，已有相關研究通過優化算法，對橡膠襯套結構參數進行優化，設計橡膠襯套的剛度，改善整車操縱穩定性。但是，目前基于橡膠襯套剛度優化研究方面還存在以下問題：鮮有綜合考慮襯套各向剛度優化設計方面的研究，絕大多數研究只考慮襯套徑向剛度和軸向剛度，而忽略了偏擺剛度和扭轉剛度，可能會導致車輛在俯仰及側傾方向上行程過大，影響車輛操縱穩定性；絕大多數研究從襯套結構角度上只針對材料硬度或縮徑量進行單一變量分析，并未考慮二者對橡膠襯套各向剛度的綜合影響。

【關鍵問題】因此，本文以某車輛懸架中橡膠襯套為研究對象，提出了一種考慮材料硬度與縮徑量的橡膠襯套各向剛度優化設計方法。采用試驗設計與有限元分析相結合的方法，并通過試驗驗證有限元模型的準確性。建立各向剛度與參數變量的二階響應面模型，以拉丁超立方抽樣和方差分析對響應面模型進行精度檢驗。利用遺傳算法實現多目標優化獲取最優參數，并將優化結果進行試驗驗證。試驗結果表明：各向剛度試驗結果與目標剛度的相對誤差分別為7.72%，9.06%，-6.33%和9.16%，均在±10%以內，滿足橡膠襯套剛度匹配要求。

1 橡膠襯套有限元建模及試驗驗證

1.1 橡膠襯套有限元模型建立

橡膠襯套有限元建模過程如圖1所示。其中橡膠襯套主要由金屬部分的內芯、外套和橡膠部分組成，如圖1（a）所示。所研究的橡膠襯套結構在徑向和軸向上采用了對稱設計，兩個徑向剛度和兩個偏擺剛度在相同載荷作用下結果相同，即所述的橡膠襯套4個方向剛度可以代表6個方向剛度。故本文采用“各向剛度”表述。

選取對橡膠襯套各向剛度影響較大的因素作為設計變量，考慮內芯外徑[a]、橡膠高度[b]、縮徑量[c]和材料硬度[d]作為參數變量[14]，如圖1（b）所示。

橡膠襯套在承載過程中主要是橡膠部分發生變形，金屬部分的變形很小，可以忽略不計。為了簡化橡膠襯套模型，在剛度計算時只對橡膠部分進行有限元分析。

根據圖1（a）所示的橡膠襯套結構，先利用Hypermesh軟件對橡膠襯套幾何模型進行網格劃分，再將網格導入Abaqus軟件中，建立如圖1（c）和圖1（d）所示的有限元模型。圖1（c）為邊界條件，圖1（d）為載荷設置，加載點1為內表面與形心處參考點的剛性耦合點，加載面2為襯套施加載荷的外表面。

不同的材料硬度影響橡膠襯套超彈性本構模型參數，使得有限元仿真計算的剛度值相差較大。通常采用應變能密度函數來準確描述橡膠材料的應力-應變關系，采用Ogden模型作為橡膠襯套的本構模型，來描述橡膠材料的超彈性變形特性[15]。

Ogden模型的應變能密度函數形式為

[U=i=1N2μiαi2（λ1αi+λ2αi+λ3αi-3）+i=1N1DiJ-12i] （1）

式中：[U]為應變能密度；[μi]和[αi]為試驗測定的材料參數；[Di]為不可壓縮參數；[λi]為伸長比；N為Ogden模型的階數，通?？梢赃x擇為3；[J]為變形體積與未變形體積之比。

與其他本構模型比較，Ogden本構模型能更好的適用于橡膠材料的非線性、大變形特性，具有較好的擬合精度。因3階Ogden模型參數較少，計算和實現相對簡單，工程上常用3階Ogden模型用于橡膠襯套本構模型的擬合。基于單軸拉伸、雙軸拉伸和平面剪切試驗，擬合得到材料參數如表1所示。

根據橡膠襯套的實際工況載荷，在加載點1處，施加1 mm的位移或0.1°的轉角載荷；在加載面2處，加載縮徑量大小，并同時約束6個方向的自由度；最后，提取對應的力（力矩）與位移（轉角）的變化曲線，仿真得到襯套各向剛度。

1.2 橡膠襯套有限元模型試驗驗證

采用MTS831彈性體試驗臺（力值：±25 kN，位移：±30 mm，頻率：0～400 Hz，溫度：-100～+500 ℃，精度：0.2%）測試襯套的徑向剛度和軸向剛度，通過MTS零部件試驗臺（扭矩：±565 N·m，角度：±45°，頻率：0～100 Hz，溫度：-70～+170 ℃，精度：0.2%）測試襯套的偏擺剛度和扭轉剛度，以驗證有限元模型的準確性，試驗設備如圖2所示。

橡膠襯套通過夾具固定在試驗臺架上，激勵裝置緩慢對橡膠襯套施加載荷，通過傳感器連續記錄施加在襯套上的載荷和橡膠襯套變形量。預加載1次，取第2次加載過程的力（力矩）和位移（轉角）曲線，計算出對應方向的剛度。

對橡膠襯套模型進行有限元仿真分析，并將橡膠襯套進行試驗測定，仿真結果和試驗結果對比如圖3所示。

通過比較仿真曲線和試驗曲線，并對數據進行擬合處理，初始襯套徑向剛度[Kx]、軸向剛度[Kz]、偏擺剛度[Knx]和扭轉剛度[Knz]的有限元仿真與試驗數據對比如表2所示。

由表2可以看出，試驗結果稍大于仿真結果，相比于有限元仿真結果，徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度的相對誤差分別為5.12%，4.69%、

-7.27%和3.60%，均在±10%以內，在后續的各向剛度優化處理中，可采用橡膠襯套有限元模型進行分析；產生誤差的主要原因是在仿真分析時簡化了橡膠襯套模型，忽略了金屬部件（內芯和外套）的變形。

2 橡膠襯套各向剛度響應面建模及分析

2.1 響應面模型建立

考慮響應變量和自變量的線性和非線性關系以及自變量間的交互作用，通過引入響應面方法，擬合各向剛度值與參數變量的關系?；谇捌谘芯?，相比于一階響應面模型，二階響應面模型擬合效果會更好，故本文采用二階響應面模型。所建立的二階響應面模型為

[Y=β0+i=1nβixi+i=1nβiixi2+?ij（i

式中：[Y]為響應變量；[β0]和[βi]為多項式系數；[xi]和[xj]為設計變量；[n]為設計變量的個數。

考慮縮徑工藝的要求，橡膠襯套的縮徑量一般應在5%以下，初始橡膠襯套的橡膠緩沖厚度為8 mm，基于上下波動原則取縮徑量分別為0.2，0.3 mm和0.4 mm。不同材料硬度對橡膠襯套的本構模型和剛度影響較大，當材料硬度大于68 SHA時，隔振器的靜、動剛度值隨硬度的變化速率超過了50%，橡膠隔振器已失去隔振作用[16]。對于新能源汽車、特種車輛等載運工具，工程上常使用50，55 SHA和60 SHA的車用橡膠襯套。

通過試驗設計研究因素對橡膠襯套徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度的影響程度，按照上下波動原則分別對4個因素均勻取3個水平，初始值及區間取值如表3所示。

由表3可知，試驗設計為4因素3水平，選取試驗設計中心點數為3，確定了27組試驗[17]，試驗設計結果如表4所示。

根據式（2），建立襯套各向剛度的二階響應面模型為

[ki=γ1+γ2a+γ3b+γ4c+γ5d+γ6ab+?????? γ7ac+γ8ad+γ9bc+γ10bd+γ11cd+?????? γ12a2+γ13b2+γ14c2+γ15d2] （3）

式中：[ki]為各向剛度的數值（[i=x，y，nx，nz]），不含單位；[γj]為系數（[j=1，2，…，15]）。上式應為無量綱計算公式，即等式左右兩邊無單位。

將試驗設計中的27個樣本點代入式（3）中，通過最小二乘法擬合各向剛度二次多項式響應面近似函數系數，式（3）中系數見表5。

2.2 響應面模型精度分析

采用拉丁超立方抽樣方法，隨機選取20個樣本點對響應面近似模型的擬合程度進行驗證[18]。通過樣本點的響應值和預測值之間的相關程度來評價響應面模型的精度，統計學中常用決定系數[R2]來表征響應面模型的逼近程度。決定系數的計算公式為

[R2=1-QCQZ] （4）

[QC=i=1n（yi-ypi）2] （5）

[QZ=i=1n（yi-y）2] （6）

[y=1ni=1nyi] （7）

式中：[QC]為殘差平方和；[QZ]為偏差平方和；[n]為樣本點數目；[yi]和[ypi]分別為第[i]個樣本點的響應值和預測值；[y]為所有樣本點的響應值的均值。當[R2]越接近于1，表示響應面擬合效果越好。表6為襯套各個方向的決定系數。

從表6可見，各向剛度的響應面模型的決定系數均大于0.9且接近于1，響應面模型擬合程度較高，可用于多目標優化。

對表4數據進行因素分析，得到各個變量對橡膠襯套各向剛度的影響程度和貢獻率，分析結果見表7。表7中的[F]值為統計檢定值，[F]值越大，說明變量對剛度結果影響越大

[F=R2/（k-1）（1-R2）/（n-k）] （8）

式中：[F]為各向剛度統計檢定值；[n]為全部觀測值個數；[k]為因素水平個數。

分析表7的數據可知：內芯外徑[a]對徑向剛度的影響最顯著，貢獻率為93.21%；內芯外徑[a]和材料硬度[d]對軸向剛度的影響較大，貢獻率分別為67.93%和27.49%；內芯外徑[a]對偏擺剛度的影響最顯著，貢獻率為83.79%；內芯外徑[a]和材料硬度[d]對扭轉剛度的影響較大，貢獻率分別為80.43%和18.30%。

為了分析材料硬度和縮徑量及其交互作用對橡膠襯套各向剛度的影響，由響應面模型繪制的部分響應曲線如圖4所示。

由圖4分析可知，材料硬度與縮徑量對橡膠襯套徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度的交互作用不明顯，且在一定范圍內，橡膠襯套徑向剛度、軸向剛度、偏擺剛度和扭轉剛度隨著材料硬度和縮徑量的增大而增大。

3 橡膠襯套各向剛度優化設計

3.1 目標函數設計

基于建立的響應面模型，以內芯外徑a、橡膠高度b、縮徑量c和材料硬度d為設計變量，以橡膠襯套的徑向剛度kx、軸向剛度kz、偏擺剛度knx和扭轉剛度knz為目標，進行多目標優化設計。

目標剛度kx取值為8 000 N/mm，kz取值為320 N/mm，knx取值為6 N·m/（°），knz取值為1.2 N·m/（°）。利用均值化法對目標函數進行無量綱化，建立目標函數如式（9）。目標函數值越小，各向剛度與目標剛度越接近

[minf=i=14Fiai?] （9）

[F1=kx-8 000F2=kz-320F3=knx-6F4=knz-1.2] （10）

[ai=j=1mkxj-kx0m] （11）

式中：[Fi]為各向剛度與目標剛度的差值；[kxj]為各向剛度；[kx0]為目標剛度；[m]為試驗設計的數目，m=27；[ai]為無量綱化后的分配系數，即試驗設計中各向剛度與目標剛度差值的絕對值求和后的平均值，具體取值見表8。

約束條件設置為：[21 mm≤a≤25 mm;25 mm≤][b≤27 mm;0.2 mm≤c≤0.4 mm;50 SHA≤d≤60 SHA。]

3.2 優化結果分析

NSGA-Ⅱ遺傳算法引入擁擠度計算和精英策略，避免優化過程中產生局部收斂，具有較高的計算效率和魯棒性，被廣泛應用于多目標優化問題[19]。本文采用MATLAB軟件運行NSGA-Ⅱ遺傳算法，并對橡膠襯套各向剛度進行多目標優化。設置初始化種群數為50、最大迭代次數為200、交叉比例為0.8、變異概率為0.05，步長分別設置為0.01，0.01，0.01，5。遺傳迭代運算后，得到目標函數值及最優參數，優化結果如表9所示。

通過對比表9中的非劣解集，第9組數據的目標函數值最小，對第9組數據中的參數取整，取整后的最優參數為內芯外徑25 mm、橡膠高度26 mm、縮徑量0.4 mm，材料硬度50 SHA。根據取整后的最優解參數設計橡膠襯套成品并進行剛度測試試驗，對比各向剛度和目標剛度，如圖5所示。

由圖5可見，橡膠襯套各向剛度的試驗值與目標剛度接近。通過二階響應面模型計算出的結果、有限元仿真的分析結果以及試驗結果分別與目標值進行對比，見表10。

分析表10中的數據可知，根據優化結果對橡膠襯套參數取整后分析，代入響應面模型擬合后的軸向剛度kx，kz分別為8 049.40，319.03 N/mm，扭轉剛度knx，knz分別為6.29，1.34 N·m/（°），與目標值的誤差分別為0.62%，-0.3%，4.83%和11.67%；有限元仿真后的軸向剛度kx，kz分別為8 184.00，333.56 N/mm，扭轉剛度knx，knz分別為6.11，1.27 N·m/（°），與目標值的誤差分別為2.3%，4.24%，1.83%和5.83%；試驗測定后的軸向剛度kx，kz分別為8 617.96，348.98 N/mm，扭轉剛度knx，knz分別為5.62，1.31 N·m/（°），與目標值的誤差分別為7.72%，9.06%，-6.33%和9.16%，剛度值誤差均在±10%以內，符合工程應用的要求。

4 結論

本文在橡膠襯套各向剛度優化設計中考慮了材料硬度和縮徑量的影響，基于試驗設計與有限元分析相結合的方法，建立橡膠襯套各向剛度的二階響應面模型，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對各向剛度進行多目標優化研究，得出以下結論：

1） 建立關于內芯外徑、橡膠高度、縮徑量和材料硬度隨襯套各向剛度變化的二階響應面模型，并驗證了模型的有效性，可為載運工具橡膠襯套各向剛度優化設計提供必要條件。

2） 縮徑量對橡膠襯套軸向剛度和偏擺剛度影響較大，貢獻率分別為42.9%和50.5%，通過增大縮徑量，可有效提高軸向剛度，提高產品的耐久性；材料硬度對襯套軸向剛度和扭轉剛度影響較大，貢獻率分別為45.6%和30.4%，通過增大材料硬度，可有效提高扭轉剛度，提高整車操縱穩定性。

3） 采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對橡膠襯套各向剛度進行多目標優化，并將優化結果進行試驗驗證，各向剛度試驗結果與目標值的相對誤差分別為7.72%，9.06%，-6.33%和9.16%，均在±10%以內，滿足工程應用的要求，可有效的避免工程實踐中反復調試的繁瑣工作，從而極大地縮短了產品研發周期。

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第一作者：秦武（1990—），男，講師，博士，研究方向為橡膠隔振件性能分析及動力總成懸置系統設計。E-mail： qw@ ecjtu.edu.cn

通信作者：李春歸（1999—），男，碩士研究生，研究方向為橡膠襯套性能分析。E-mail： 3047855129@qq.com