用類比法分析最速降線與傾斜直軌道的運動時間

摘? ?要：最速降線問題跟生活聯系十分緊密，在屋頂排水、逃生通道等設計中都有應用，但有關最速降線的證明對數學要求較高，大多數中學生難以很好地理解，通過類比正交電磁場中的配速法來分析幾種不同情況下最速降線與傾斜直軌道的運動時間，不涉及高等代數知識，學生也容易理解和接受。

關鍵詞：最速降線；旋輪線；傾斜直軌道；配速法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0066-2

最速降線是一個十分有趣的物理現象，很多人第一次聽說都十分驚訝，筆者就曾數次接受非物理學科的同事和朋友的咨詢，足以說明這個問題在激發人求知欲上的巨大作用。眾所周知，最速降線是一條旋輪線，但它真的能“比兩點之間直線最短”的光滑傾斜直軌道運動得快嗎？很多人對此十分疑惑。這個問題的證明導致了微積分變分法的誕生［１］，現在已經十分明確，無需贅述。但大多數中學生的數學能力達不到相關水平，隨著近兩年新高考的推動，大多數高中生對配速法處理帶電粒子在磁場和電場構成的正交復合場中的運動已經比較熟悉，我們不妨用類比正交復合場的思想解決最速降線問題，不用高等代數知識，學生也能理解接受。

如圖１所示，假設光滑物塊自起點Ａ由靜止開始沿旋輪線下滑，終點為Ｂ，以下分為兩種情況進行討論。

１? ? Ｂ點恰好位于旋輪線最低點

１．１? ? 配速法求解帶電粒子在正交復合場中的運動時間

用類比法分析最速降線的時間，不僅有效降低了數學門檻，讓中學生能夠夠得著，更可以訓練學生類比遷移和物理建模能力，無論是改編成習題拓展學生知識面，還是作為研究性學習內容啟發學生思考，對學生的發展都大有裨益。

參考文獻：

［１］楊亦逸．最速降線問題的歷史與一種巧解［Ｊ］．物理通報，２０２１（８）：１５１－１５５.

［２］涂德新．關于圓擺線的初步研究［Ｊ］．物理教師，２０１６，37（７）：６０－６１.

［３］胡宗仁．“配速法”及其應用［Ｊ］．中學物理（高中版），２０１１，２９（１）：５７.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-03-22

基金項目：２０２２年江蘇省教育科學規劃立項課題“利用傳感和 ＡＲ 軟件技術優化高中物理實驗的區域實踐研究”（Ｂ／２０２２／０３／０６）。

作者簡介：唐保東（１９８４－），男，中學一級教師，主要從事中學物理教學工作。