最高點水平速度一定相等嗎

摘? ?要：在高中物理動量守恒定律學習過程中，經常遇到水平方向動量守恒問題，學生解決這類問題往往通過經驗去建立表達式，教師的講解看似合理，卻可能有違邏輯本質。探討了四類經典模型，揭示了最高點水平速度的特點，從本質上解決了師生長期以來存在的困惑。

關鍵詞：關聯速度；分解；水平速度

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0068-3

在研究水平方向動量守恒時，經常遇見“物塊－斜面”“小球-曲面”“小球-四分之一圓弧”“小球－滑環”模型。這部分知識對學生來說是一個難點，對教師教學也是難點，教師們往往直接給出結論——在最高點水平速度相等；或者定性分析，以“物塊－斜面”模型為例，若物塊的水平速度大于斜面的速度，則物塊在斜面上處于上升階段，若物塊的水平速度小于斜面的速度，則物塊在斜面上處于下降階段，當物塊在斜面上到達最高點時，二者水平速度相等。這種解釋看似合理，實則比較籠統，缺乏嚴密性，容易誤導學生。本文利用關聯速度破解這一難點。

１? ? “物塊－斜面”模型

在“物塊－斜面”模型中，把物塊的速度分解為水平方向和豎直方向，再利用關聯速度知識，即物塊和斜面在垂直接觸面上的分速度相等，即可證明二者在水平方向速度的大小關系。

例題１ （２０１６年全國ＩＩ卷理綜第３５題）如圖１所示，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面３ ｍ/ｓ的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為ｈ＝０．３ ｍ（ｈ小于斜面體的高度）。已知小孩與滑板的總質量為ｍ１＝３０ ｋｇ，冰塊的質量為ｍ２＝１０ ｋｇ，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小ｇ＝１０ ｍ/ｓ２。

（１）求斜面體的質量；

（２）通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

解析 （１）規定向右為速度正方向。冰塊在斜面體上運動到最大高度時兩者達到共同速度，設此共同速度為ｖ，斜面體的質量為m3。由水平方向動量守恒定律和機械能守恒定律得

式中v2=-3 m/s，為冰塊推出時的速度。聯立兩式并代入題給數據得m3=20 kg。

（２）略。

第（１）問中直接得出冰塊在斜面體上運動到最大高度時兩者達到共同速度，學生不甚理解，現證明如下。

如圖２所示，將冰塊的水平速度vx和豎直速度vy分解為沿斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的合矢量的大小為vxsinθ-vycosθ，再將斜面體的速度v分解為沿著斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的分速度為vsinθ，由關聯速度知識可知，相互作用的物體在垂直接觸面上的速度相等，即

結論１ 當物塊上升到最大高度時，vy=0，則vx=v，即物塊的水平速度等于斜面體的速度。

結論２ 當物塊能沖出斜面，在斜面的最高點時，vy≠0，則vx≠v，即物塊的水平速度不等于斜面體的速度。

２? ? “小球-曲面”模型

在“小球-曲面”模型中，可通過小球與曲面的接觸點作切線，設切線與水平方向的夾角為θ，分析同上，如圖３所示。

結論１? 當小球上升到最大高度時，vy=0，則vx=v，即小球的水平速度等于曲面的速度。

結論２? 當小球能沖出曲面，在曲面的最高點時，若接觸點的切線豎直向上，則小球的水平速度等于曲面的速度，否則小球的水平速度不等于曲面的速度。

３? ? “小球-四分之一圓弧”模型

在“小球-四分之一圓弧”模型中，處理方法同“小球-曲面”模型，如圖4所示。

結論１? 當小球上升到最大高度時，vy=0，則vx=v，即小球的水平速度等于圓弧軌道的速度。

結論２ 當小球能沖出四分之一圓弧軌道，在軌道的最高點，二者接觸面上小球速度方向豎直向上，vx=v，即小球的水平速度等于圓弧軌道的速度。

例題２ 如圖5所示，一質量為２ｍ的帶軌道的小車靜止在水平面上，小車軌道的ＡＢ段水平，ＢＣ段為豎直的半徑為Ｒ的四分之一圓弧。左側平臺與小車的水平軌道等高，小車靜止時與平臺間的距離可忽略。一質量為ｍ的滑塊（可視為質點）水平向右以大小為６的初速度從左側平臺滑上小車。不計一切摩擦，重力加速度為ｇ。

（１）求滑塊離開Ｃ點后相對于水平軌道ＡＢ上升的最大高度；

（２）若小車水平軌道ＡＢ相對水平面的高度為０．５Ｒ，求滑塊從左端滑離小車后落地瞬間滑塊與小車左端的距離為多少？

解析 （１）設滑塊初速度為v0，在Ｃ點時速度為v，滑塊從滑上小車至運動到最高點Ｃ的過程 中，滑塊與小車水平方向動量守恒，有

mv0=（m+2m）v

滑塊離開Ｃ點后水平方向不受力，到最高點時水平速度仍然為v。另外，滑塊與小車組成的系統能量守恒，有

（２）略。

通過例題可以看出，正是因為在軌道最高點二者水平速度相等，對于能沖出軌道這類問題，往往以“小球（滑塊）-四分之一圓弧”為模型。

４? ? “小球－滑環”模型

如圖６所示，在水平光滑直桿上有一運動的滑環，小球通過輕質細線與滑環相連，小球可在豎直平面內擺動。仍然將小球的速度分解為水平方向的vx和豎直方向的vy，求出小球沿繩方向的速度為vxcosθ-vysinθ；將滑環的速度沿繩和垂直繩方向分解，其沿繩方向的分速度（下轉第76頁）（上接第69頁）為vcosθ，由關聯速度知識可知，二者在沿繩方向的速度相等，即

vxcosθ-vysinθ=vcosθ

在最高點時，vy=0，于是vx=v。

５? ? 結? 語

通過對以上四種經典模型的逐一分析可以看出：在不沖出軌道的前提條件下，在最高點水平速度相等；在能沖出軌道的情況下，“小球－四分之一圓弧”模型，在最高點水平速度相等。因此，在教學過程中，必須讓學生從本質上理解，而不是簡單地學會模仿。

參考文獻：

［１］鄺玉蘭．以連接體模型為例的高中物理習題實驗化教學探究［Ｊ］．廣西物理，２０２３，44（１）：１０８－111，１１３.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-02-06

作者簡介：蔣達東（1973-），男，中學高級教師，主要從事高中物理教學研究。