問“題”哪得清如

２０２４年高考數學全國卷采用全新的試題結構，更加重視對學生數學能力和素養的考查．教考銜接需要教師教學時扎根教材，用好教材的題目，領會思想方法，這樣學生才能厘清高考真題．

教育部教育考試院在２０２４年高考數學全國卷的評析指出，試卷持續深化考試內容改革，考主干、考能力、考素養，重思維、重創新、重應用，突出考查思維過程、思維方法和創新能力．試卷聚焦主干知識內容和重要原理、方法，著重考查數學學科核心素養，引導中學教學遵循教育規律，突出數學教學本質，回歸課標，重視教材，重視概念教學，夯實學生學習基礎，給學生預留思考和深度學習的空間．

自新課標卷采用全新的試題結構后，考題更加深化對基礎知識的考查，助力“雙減”落地，考題的方向更加重視對思維的考查，助力人才選拔，考題的來源更加重視教考銜接，引導高中教學．這就要求教師在教學時要扎根教材這源頭“活水”，要深入研究教材，回歸教材，用好教材，講清基本概念、原理的來龍去脈，避免過度依賴教輔、深陷死記硬背和題海訓練．考試與教學的相互銜接，其一，引導教學立足教材中的概念、公式、定理等重要知識，構建知識之間的聯系，提升學生對知識的深刻理解與靈活應用;其二，引導教學強化通性通法，淡化特殊技巧，才能使學生從繁雜的問題中洞悉數學本質，把握一般規律與方法，領會數學思想，積累數學經驗;其三，引導教學立足教材中的典型試題，深挖內涵，注重一題多解、一題多變，注重拓展和歸納，開闊學生分析問題的思路，培養學生良好的數學思維品質，為培育學生的數學關鍵能力和發展學生的學科核心素養奠定堅實基礎．

本文以２０２４年高考數學新課標Ⅱ卷第１８題為例，淺析高考真題與教材習題的聯系，并根據高考的命題設計與方向嘗試對該題進行拓展與歸納．

教材“源題” （新人教版選擇性必修三習題７.３第６題）有A 和B兩道謎語，張某猜對A 謎語的概率為０.８，猜對得獎金１０元;猜對B謎語的概率為０.５，猜對得獎金２０元．規則規定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應該選擇先猜哪一道謎語？

分析 本題立足于離散型隨機變量的數字特征，通過構建兩個情境方案，讓學生理解不同選擇順序對概率分布列和期望的影響，深化學生對分類討論思想的理解．

解 設先猜A 再猜B、先猜B再猜A 所得獎金分別為X１，X２，則X１ 的可能取值為０，１０，３０;X２ 的可能取值為０，２０，３０，故

P（X１＝０）＝０.２，

P（X１＝１０）＝０.８×（１－０.５）＝０.４，

P（X１＝３０）＝０.８×０.５＝０.４，

P（X２＝０）＝０.５，

P（X２＝２０）＝０.５×（１－０.８）＝０.１，

P（X２＝３０）＝０.５×０.８＝０.４，

則

E（X１）＝０×０.２＋１０×０.４＋３０×０.４＝１６，

E（X２）＝０×０.５＋２０×０.１＋３０×０.４＝１４，

即E（X２）＜E（X１），則先猜A 謎語再猜B謎語更好．

高考真題 （２０２４年新課標Ⅱ卷１８）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃３次，若３次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為０分;若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃３次，每次投中得５分，未投中得０分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．

（１）若p＝０.４，q＝０.５，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于５分的概率．

（２）假設０＜p＜q．

（?。槭沟眉?、乙所在隊的比賽成績為１５分的概率最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

分析 高考真題基于課本教材“源題”改編，創設情境讓學生自主探究適當方案．真題與“源題”的情境均可劃分為兩個階段，第二階段只有在第一階段完成的基礎才能進行．真題對“源題”進行了兩點改編：一是增加了每一階段的參與次數，增加了計算難度;二是第（２）問將成功概率從具體數值轉變為抽象字符，增加了思維難度，更加重視對學生能力的考查．雖然難度有所增加，但解題的方法是類似的，都是分類討論兩種情況的對應概率和數學期望．

解 （１）設三次投籃中甲第i 次投中為事件Ai（i＝１，２，３），乙第i 次投中為事件Bi（i＝１，２，３），甲、乙所在隊的比賽成績不少于５分為事件C，因為各次投中與否相互獨立，則

投中與否相互獨立，則P（C）＝（１－P（A１A２A３））（１－P（B１B２B３））＝[１－（１－０.４）３][１－（１－０.５）３]＝０.６８６．

（２）（ⅰ）設甲、乙參加第一階段比賽后所在隊的比賽成績為１５分分別為事件D１，D２．

若甲參加第一階段比賽，則

P（D１）＝[１－ （１－p）３]q３． ①

若乙參加第一階段比賽，則

P（D２）＝[１－ （１－q）３]p３． ②

由①－②得

P（D１）－P（D２）＝３pq（q－p）（q＋p－qp）．

因為０＜p＜q＜１，所以q－p ＞０，q＋p －qp ＝q（１－p）＋p ＞０，則P （D１ ）－P （D２ ）＞０，即P（D１）＞P（D２），故應該由甲參加第一階段的比賽．

（ⅱ）設甲、乙參加第一階段比賽后所在隊的比賽成績的分數分別為X１，X２，則X１，X２ 的可能取值都為０，５，１０，１５，則

P（X１＝０）＝（１－p）３＋[１－（１－p）３]（１－q）３，

P（X１＝５）＝[１－（１－p）３]C１３q（１－q）２，

P（X１＝１０）＝[１－（１－p）３]C２３（１－q）q２，

P（X１＝１５）＝[１－（１－p）３]C３３q３，

E（X１）＝１５pq（３－３p＋p２）．

同理，E （X２）＝１５pq （３－３q ＋q２）．又E （X１）－E（X２）＝１５pq（q－p）（３－p－q）＞０，即應由甲參加第一段比賽．

基于教材“源題”的思想方法和高考真題的情境創設，下文將對高考真題進行拓展延伸，改編思路有兩個：一是真題主要討論成功概率的大小關系對所求事件的影響，因此可進一步挖掘分數對所求事件的影響;二是真題和“源題”主要討論不同選擇方案的差異性，因此可反向變式，討論選擇不同方案對事件結果的期望有沒有影響．

變式拓展 某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃３次，若３次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為０分;若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃３次，每次投中得５分，未投中得０分．若３次全部投中，則額外獎勵a 分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．假設０＜p＜q，為使甲、乙所在隊比賽成績的期望與甲、乙出場順序無關，額外獎勵的a 分應該怎么設計合適（a 的結果用p，q 表示）？

解 設甲、乙參加第一階段比賽后所在隊的比賽成績的分數分別為X１，X２，則X１，X２ 的可能取值都為０，５，１０，１５＋a，則

P（X１＝０）＝（１－p）３＋[１－（１－p）３]（１－q）３，

P（X１＝５）＝[１－（１－p）３]C１３q（１－q）２，

P（X１＝１０）＝[１－（１－p）３]C２３（１－q）q２，

P（X１＝１５＋a）＝[１－（１－p）３]C３３q３，

E（X１）＝pq（３－３p＋p２）（１５＋aq２）．

同理，E （X２）＝pq （３－３q ＋q２）（１５＋ap２）．要使E（X１）＝E（X２），只需（３－３p＋p２）（１５＋aq２）＝（３－３q＋q２）（１５＋ap２），則a＝５（p＋q－３）／q＋p－pq ．

高考充分發揮教育評價的積極導向作用，與高中教育教學同向共行、同頻共振，逐步形成“招考教學”良性互動、有機結合的一體化育人格局，引導教學回歸課程標準，回歸課堂主渠道．高中數學教材是體現和落實課程標準基本理念和目標要求的科學范本，是高考數學命題的重要參考．教學的依據是課程標準和教材．高考備考也必須回歸課程標準和教材．只有回歸教材，研讀教材，理解教材例題、練習中所蘊含的數學思想方法，才能以不變應萬變，厘清題目，舉一反三，提升學生的數學能力和核心素養．

（完）