創新試卷結

１ 命題特點

２０２４年高考數學全國新課標Ⅰ卷的結構有很大的調整，題目數量從２２道減少到１９道，其中多項選擇題、填空題、解答題各減少了１題;優化了多項選擇題的賦分方式（由原來的每題５分，調整為６分），增加了解答題的總分值（由原來的７０分，調整為７７分）．

試卷以?普通高中數學課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）?（以下簡稱新課標）為命題范圍，立足?中國高考評價體系?中的“基礎性、綜合性、應用性和創新性”的命題要求，關注“新課標、新教材、新高考”要求的統一性，重視對學生思維過程和思維能力的考查，強化素養導向，給不同水平的學生提供充分展現才華的空間，服務拔尖創新人才選拔，助推素質教育發展，助力教育強國建設，充分體現了“立德樹人、服務選才、導向教學”這一高考的核心價值．

２ 試卷特色

２.１ 以主干知識的構建為主線，注重數學基礎

２０２４年高考數學全國新課標Ⅰ卷突出考查了新課標中的六大主干知識：函數與導數、三角函數、數列、立體幾何、解析幾何、計數原理與概率統計，其中函數與導數４１分、三角函數２３分、數列約１４分、立體幾何２０分、解析幾何２０分、計數原理與概率統計約１７分．試卷同時也關注了知識點的覆蓋率，集合、平面向量與復數這三部分內容各占５分．

試卷中的不少試題注重考查高中數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，如第１，２，３，４，５，６，７，１２，１３，１５，１６等題，這些試題來源于教材的延伸與拓展．

例１ （多選題）設函數f （x）＝ （x －１）２ ·（x－４），則（ ）．

A．x＝３是f（x）的極小值點

B．當０＜x＜１時，f（x）＜f（x２）

C．當１＜x＜２時，－４＜f（２x－１）＜０

D．當－１＜x＜０時，f（２－x）＞f（x）

分析 本題是試卷中的第１０題，即多項選擇題的第２ 題，試題基礎，但又有新意．它以三次函數f（x）＝（x－１）２（x－４）為背景，以多項選擇題的形式考查利用導數研究函數的單調性、極值、函數值大小的比較、函數的最大值和最小值等函數的基本性質，考查學生的數形結合能力，檢測直觀想象、邏輯推理等學科核心素養．

求解時，結合函數f（x）的性質，畫出其圖像，有利于快速得到問題的答案，正確答案是ACD．

例２ 已知A（０，３）和P （３，３２）為橢圓C：x２／a２ ＋y２／b２ ＝１（a＞b＞０）上兩點．

（１）求C 的率心率;

（２）若過P 的直線l 交C 于另一點B，且△ABP的面積為９，求l 的方程．

分析 本題是試卷中的第１６題，即解答題的第２題，考查橢圓的標準方程、離心率、直線與橢圓的位置關系以及弦長與面積的求解方法，重點考查學生的數學運算能力與邏輯推理能力．該題題干簡潔，解題入口寬，但不同的解題方法其運算的繁易有比較大的差異，以此檢測學生的數學運算等學科核心素養．

下面我們對本題的第（２）問進行一個簡單的分析．解析幾何問題的處理，根據問題的特征，無非就是三種基本思路：設直線、設點以及利用幾何性質．

解法１ 設直線求解時，需要注意對直線斜率是否存在進行討論，并注意對算理的把握．

當直線l 的斜率不存在時，直線l 的方程為x＝３，此時B（３，－／２），所以|PB|＝３，點A 到PB 的距離d＝３，此時S△ABP ＝１／２×３×３＝９／２≠９不滿足條件．

當直線l 的斜率存在時，設PB 的方程為y ＝k（x－３）＋３／２，與橢圓方程x２／１２＋y２／９＝１聯立得

２.２ 以問題情境的設計為依托，體現數學應用

試卷重視考查學生運用數學知識分析實際問題、解決實際問題的能力．２０２４年高考數學全國新課標Ⅰ卷設計了系列有實際背景的生活、學科情境問題，如第９，１４，１９題等．通過設置特定的情境考查學生面對實際的數學問題情境時的快速反應和知識遷移能力，以此考查學生運用數學思維和數學方法發現問題、分析問題和解決問題的能力．

例３ （多選題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣木均值-x＝２.１，樣本方差s２＝０.０１，已知該種植區以往的畝收入X 服從正態分布N （１.８，０.１２），假設推動出口后的畝收入Y 服從正態分布N （-x，s２），則（ ）（若隨機變量Z 服從正態分布N （μ，σ２），則P（Z＜σ＋μ）≈０.８４１３）．

A．P（X ＞２）＞０.２ B．P（X ＞２）＜０.５

C．P（Y＞２）＞０.５ D．P（Y＞２）＜０.８

分析 本題是試卷中的第９題，主要考查提煉具體問題情境并進行估算與邏輯推理的能力．試題通過對兩個呈正態分布的統計量的概率特征，考查學生計算推動出口后的畝收入的樣本均值與樣本方差，以及對推動出口后畝收入的樣本均值與樣本方差進行概率大小判斷的能力．問題看似容易，但解決時需要對正態分布中的概率分布有正確的理解才能快速、正確地解決問題．

由于X ～N （１.８，０.１２），Y ～N （２.１，０.１２），因為２＝１.８＋２×０.１＝μ＋２σ，所以P （X ＞２）＝P （X ＞μ＋２σ）＜P （X ＞μ＋σ）＝１－０.８４１３＝０.１５８７，因此A 錯誤．

而P（X ＞２）＜P（X ＞１.８）＝０.５，所以B正確．

因為２＝２.１－０.１＝μ －σ，P （Y ＞２）＞P （Y ＞２.１）＝０.５，所以C正確．

P（Y ＞２）＝P （Y ＞μ －σ）＝P （Y ＜μ ＋σ）＝０.８４１３＞０.８，D錯誤．

綜上，選BC．

例４ 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字１，３，５，７，乙的卡片上分別標有數字２，４，６，８，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩個各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得１分，數字小的人得０分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分小于２的概率為____．

分析 本題是試卷中的第１４題，是一道借助現實情境考查學生排列組合與概率知識，具有探究性特征的試題，該題通過對在游戲中甲得分各種情況的研究，考查學生的閱讀理解能力、數學建模能力．

本題實際上是應用性問題，以甲、乙兩個人所持數的大小比較為載體，考查隨機事件的概率以及利用數學模型進行解題的能力，解決問題的關鍵在于建立一個“小球放入抽屜”的數學模型，也就是把數字１，３，５，７看成編號為１，３，５，７的４個抽屜，不妨設它們的排列順序為１，３，５，７;把２，４，６，８看成編號為２，４，６，８的４個小球，然后演繹“小球放入抽屜”這一學生熟悉的游戲．

在無約束條件下４個不同小球放到４個不同抽屜中的方法數為A４４＝２４．當四輪比賽后，甲的總得分小于２，共有下面兩種情況．

第一，甲得０分，即４個抽屜的編號均小于小球的編號，共有１種情況，如表１所示．

第二，甲得１分，即４個抽屜的編號中有１個大于小球的編號：分別有３號、５號、７號抽屜的編號數字大于小球的編號，共有３種情況．

３號抽屜的編號數字大于小球的編號，共１種情況，如表２所示．

５號抽屜的編號數字大于小球的編號，共３種情況，如表３所示．

７號抽屜的編號數字大于小球的編號，共７種情況，如表４所示．

因此，四輪比賽后，甲的總得分小于２的情況共有１２種，所以甲的總得分小于２分的概率為

P ＝１２/２４＝１/２．

２.３ 以關鍵能力的考查為載體，強調數學探究

?中國高考評價體系?指出：“關鍵能力是指即將進入高等學校的學習者在面對與學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，高質量地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力．”

高考部分試題既重視對高中數學通性通法的考查，又意在強化對信息識別與加工、邏輯推理與論證、科學探究與思維建模、語言組織與表達、獨立思考與質疑（提出問題、開放作答、合理論證）、批判性思維等關鍵能力的考查，數學探究味濃厚．

例５ 已知函數f （x）的定義域為R，f （x）＞f（x－１）＋f（x－２），且當x＜３時，f（x）＝x，則下列結論中一定正確的是（ ）．

A．f（１０）＞１００ B．f（２０）＞１０００

C．f（１０）＜１０００ D．f（２０）＜１００００

分析 本題是試卷中的第８題，是一道不可多得的探究性試題，該題以函數方程與類似斐波那契數列為載體考查特殊函數值的取值范圍，解題的關鍵在于利用不等式和遞推數列的特點進行推理論證，可以考查學生的數學探究能力．本題以抽象函數不等式為載體，考查分段函數的函數值變化，考查學生利用賦值的方法處理抽象函數的能力．

解法１ 由題意f（x）＞f（x－１）＋f（x－２），且當x ＜３ 時，f （x ）＝x，則當x ∈ [３，４）時，因為f（x）＞x－１＋x－２＝２x－３，所以f（３）＞３．

當x∈[４，５）時，因為f（x）＞２（x－１）－３＋x－２＝３x－７，所以f（４）＞５．

當x∈[５，６）時，因為f （x）＞３（x －１）－７＋２（x－２）－３＝５x－１７，所以f（５）＞８．

當x∈[６，７）時，因為f （x）＞５（x －１）－１７＋３（x－２）－７＝８x－３５，所以f（６）＞１３．

歸納可知，當n≥３時，f （n）≥an ，其中a１ ＝１，a２＝２，an ＝an－１＋an－２，數列{an }單調遞增，即數列{an}構成了斐波那契數列（少了第０項）：１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，９８７，１５９７，…，６４６５，所以f （１６）＝１５９７＞１０００，從而f （２０）＞１０００，故選B．

解法２ 解法１比較耗時，我們可以把不等轉化為相等，進行解法上的改進．

由題意得f （n ＋２）＞f （n ＋１）＋f （n），其中f（１）＝１，f（２）＝２，構造g（n）滿足g（n＋２）＝g（n＋１）＋g（n），其中g（１）＝１，g（２）＝２，則可得f（２０）＞g（２０）＞g（１６）＞１０００．

還有，試卷的第１１題（多項選擇題的最后一題）實際上也是一個探究性問題，以“到點F（２，０）的距離與到定直線x＝a（a＜０）的距離之積為４”為背景探究動點的軌跡以及軌跡上點的性質，這個問題可以看成是對教材圓錐曲線定義的拓展與推廣，考查學生用代數方法研究幾何問題的能力，檢測學生的數學探究意識與能力．

２.４ 以數學本質的揭示為核心，檢測思維過程

試卷中的不少試題緊扣了學科內容的本質，學生只有在對問題深刻認識的基礎上才能夠“透過現象看本質”，揭示問題的本質，高效地解決問題．

例６ 已知函數f（x）＝ln x/（２－x） ＋ax＋b（x －１）３．

（１）若b＝０，且f′（x）≥０，求a 的最小值;

（２）證明：曲線y＝f（x）是中心對稱圖形;

（３）若f（x）＞－２，當且僅當１＜x＜２，求b 的取值范圍．

分析 本題是試卷中的第１８題，是一道雙參數的函數問題，屬于次壓軸題，問題考查函數的恒成立、函數的對稱性等．很多學生感覺第（２）問熟悉，但好像又“無從下手”，對第（３）問則是感到“無路可套”，擊中了學生的思維軟肋．

（１）這是一個簡單的恒成立問題，可以從函數的最小值或參變分離的角度來求解，可得a 的最小值為－２．

（２）解決此問的關鍵在于首先要發現函數f（x）的對稱中心為M （１，a），然后設P （x，y）是函數y＝f（x）圖像上任意一點，再證明P （x，y）關于點M （１，a）的中心對稱點Q（２－x，２a－y）也在函數y＝f（x）的圖像上即可．

（３）這一問的解決需要學生具有扎實的數學功底．對“雙參數問題”的處理方式決定了后續解題方法的優劣．

由f（２－x）＋f（x）＝２a，令x＝１，得a＝－２．令g（x）＝f（x）＋２，由１＜x＜２，g（x）＞０恒成立時，求解b 的取值范圍．

第（２）問的解法容易理解，第（３）問為什么要這樣解？ 其實，正因為有了對函數單調性以及函數最值的深刻理解，才會有利用端點縮小參數b 的范圍的基本想法;也只有對函數的導數與單調性的本質之間的聯系“了如指掌”，才能夠簡單地判斷b＜－2/３不滿足題意．這種思維過程正是源于對數學問題本質的清晰認識．

２.５ 以新定義問題的解決為突破，助力創新選拔

２０２４年高考數學全國新課標Ⅰ卷的一大亮點就是處于壓軸位置的新定義問題，可以較好地考查學生的閱讀理解與審題能力、對新定義問題的理解能力以及對數列的特定子數列的構造、計數，還能夠考查學生的解題表達能力，檢測學生的邏輯推理、數學運算等學科核心素養．

例７ 設m 為正整數，數列a１，a２，…，a４m ＋２是公差不為０的等差數列，若從中刪去兩項ai 和aj （i＜j）后剩余的４m 項可被平均分為m 組，且每組的４個數都能構成等差數列，則稱數列a１，a２，…，a４m ＋２ 是（i，j）Ｇ可分數列．

（１）寫出所有的（i，j），１≤i＜j ≤６，使數列a１，a２，…，a６ 是（i，j）Ｇ可分數列;

（２）當m ≥３時，證明：數列a１，a２，…，a４m ＋２ 是（２，１３）Ｇ可分數列;

（３）從１，２，…，４m ＋２ 中一次任取兩個數i 和j（i＜j），記數列a１，a２，…，a４m ＋２是（i，j）Ｇ可分數列的概率為Pm ，證明：Pm ＞１/８．

分析 本題題目新穎，以等差數列為載體，是一道集組合數論、組合構造與概率為一體的綜合性問題，由于篇幅所限，我們只對該問題進行簡單的思路分析．

設數列a１，a２，…，a４m ＋２是公差為d 的等差數列，我們從成等差數列的４個數的公差與原來的公差之間的關系入手進行求解．

（１）當m ＝１時，由題意刪去的兩項ai 和aj 必定是首末的連續兩項或者首末各一項，因此，（i，j）＝（１，２），（５，６），（１，６）．

（２）當m ＝３時，數列共有１４項：a１，a２，a３，…，a１３，a１４．去掉a２，a１３項以后，剩下的１２項可平均分成３組：a１，a４，a７，a１０;a３，a６，a９，a１２;a５，a８，a１１，a１４．它們均構成公差為３d 的等差數列，此時，數列a１，a２，…，a４m ＋２是（２，１３）Ｇ可分數列．

同理，當m ≥４時，數列a１，a２，…，a４m ＋２去掉a２，a１３項以后，前面１２個數可平均分成３組，它們構成公差為３d 的等差數列;剩下的４m －１２項，把這些數中的每連續４個數分成一組，它們構成公差為d 的等差數列．

（３）從數列a１，a２，…，a４m ＋２中刪去兩項ai 和aj（i＜j）后剩余的４m 項可被平均分為m 組，且每組的４個數都能構成公差為d 的等差數列的（i，j）有１＋２＋３＋…＋m ＋（m ＋１）＝（m ＋１）（m ＋２）/２ 個．

從數列a１，a２，…，a４m ＋２中刪去兩項ai 和aj（i＜j）后剩余的４m 項可被平均分為m 組，且每組的４個數構成公差為３d，２d 或d 的等差數列的（i，j）有１＋２＋３＋…＋（m －２）＋（m －１）＝m （m －１）/２ 個．

從而

得證．

３ 啟示

通過上面的分析，我們可以清晰地看到，２０２４年高考數學試卷立足課程標準，通過創新試卷結構設計和題目風格，突出考查學生對基礎知識和基本技能的熟練掌握和靈活應用.

因此，在教學中，教師要強化學生對學科基礎知識、基本方法的深刻理解，以課程目標和核心素養為指引，注重教學內容的基礎性和數學方法的普適性，避免盲目鉆研套路和機械刷題，要把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生學科核心素養．

３.１ 重視教材，教有所依

教材是學業質量標準和課程標準的具體體現，是日常教學的重要素材．遺憾的是，不少高中數學教師認為教材內容太簡單，在三年的教學過程中，教師并沒有充分重視教材，教“教輔用書”成為很多學校高中數學教學的日常．這是一種非常不好的現象，教師在平時的教學中應該要重視對教材的應用與研究．

前面我們講到，高考數學試卷中的很多基礎題都是教材習題改編的，其實即使是高考中的壓軸題，很多試題也能夠在教材中找到它們的“影子”．

如第１８題的第（２）問，毋庸置疑，它源于人教A版普通高中教科書數學必修一習題３.２的拓廣探索欄目的第１３題（三次函數圖像對稱性的研究）;第１９題，其題型也與人教A 版普通高中教科書數學選擇性必修二第４.２.１節中的練習５有著異曲同工之妙．

如果在教學中教師和學生對這些題目有過深入的討論與探究，學生看到２０２４年的第１８題與第１９題，還會認為這些題是難題嗎？ 還會認為第１９題是一道“高不可攀”的新定義題嗎？由此可見，對教材的重視與研究對我們的數學課堂教學有著十分重要的意義．

３.２ 精選習題，練有所值

高中數學教學離不開解題，解題是高中數學教學過程中非常重要的一個環節．在高中數學教學中，課堂上教師講什么題目？ 課后學生練什么題目？ 這兩個問題看似簡單，但要回答這兩個問題，需要教師對習題有深入研究．科學的解題教學不是要求學生去“沒日沒夜練習”，而是要求教師在教學中引導學生關注對問題的分析與思考，盡可能從不同的角度去分析、解決問題，培養學生的發散思維與創新意識．

比如，試卷的第１７題是一道優質的立體幾何題，在教學前，教師要舍得花時間研究這些題目的解法與本源，只有這樣才能發揮這類題目的教學價值．在解答第１７題時，幾何角度、代數方法、向量工具、二面角的本質“一個也不能少”，這樣的習題教學才能起到“以一敵十”的作用，真正有助于減輕學生的學習負擔，有助于提高我們的教學效率．

３.３ 創新教學，探有所究

服務選才是高考的一大功能，２０２４年高考數學重點考查學生邏輯推理、批判性思維、創新思維等關鍵能力，試卷突出了選拔功能，凸顯了試題對學生數學能力的要求，助力拔尖創新人才選拔，引導教學要培育支撐學生終身發展和適應時代要求的能力．

因此，教學中要以學生為主體，但以學生為主體，并不是放任學生開展漫無目的地自由探究，而應該是在教師的主導下，選擇適合學生探究的教學素材，引導學生自主學習、自主探究，培養學生的學習意識與學習能力．

教師在教學中還可以結合不同的教學內容，創新教學方式，引導學生自己通過閱讀、觀察、思考、討論等途徑去主動探究，自行發現并掌握高中數學相應的原理和結論．在教師的指導下，以學生為主體，引導學生自覺、主動地探索，掌握認識和解決問題的方法和步驟，研究數學問題之間的內在聯系與本質，從中鞏固概念、發現規律，建立自己的認知模型和學習方法架構，“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維理解世界，用數學的語言表達世界”，以此培養學生對新概念、新知識的理解和探究能力．

（完）