借集合之石攻充分條件和必要條件之玉

充分條件和必要條件作為高中數學的重要知識點，同時也是數學推理的重要依據，所涉及題型是難點，也是易錯題型．在判斷充分條件和必要條件時，包含了充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件和既不充分也不必要條件四種結果．本文基于多年的教學經驗，對充分條件和必要條件相關題型進行梳理，借助集合關系將問題轉化為取值范圍問題，使問題具體化，以期幫助讀者輕松快速求解此類問題．

１ 集合中的充分條件和必要條件

對于命題p 和q，若p ?q，則p 是q 的充分條件，q 是p 的必要條件;若p?q，且q ?/p，則p 是q的充分不必要條件，q 是p 的必要不充分條件;若p?q，則p 與q 互為充要條件．

在集合中，設兩個集合A 和B，若集合A 是集合B 的真子集，即A ?B，則有x∈A ?x∈B，也就是說“x∈A”是“x∈B”的充分條件，“x∈B”是“x∈A ”的必要條件．受此啟發，若把集合A 看作一個命題，集合B 也看作一個命題，則當A ?B 時，A 是B 的充分不必要條件，B 是A 的必要不充分條件;當A ＝B 時，A與B 互為充要條件;當A 不包含于B，且B 不包含于A 時，A 與B 互為既不充分也不必要條件．

例１ （２０２０年天津卷２）設a∈R，則“a＞１”是“a２＞a”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解析

根據上述的思想方法分析，設命題p 為a＞１，命題q 為a２＞a，而由不等式a２＞a，解得a＜０或a＞１，故命題q 可轉化為a＜０或a＞１，所以p?q，且q ?/p，則p 是q 的充分不必要條件，故選A．

點評

這種題型體現數學核心素養中的數學抽象，通過上面的例題，不難發現利用這種思想方法解決這類問題的一般步驟：第一步，根據已知條件定好“元素”，這個“元素”是兩個命題主要圍繞的方面，前后要統一;第二步，設集合，兩個命題涉及的“元素”各為一個集合;第三步，對集合進行化簡，將兩個集合化為最簡形式;第四步，根據“小推大”確定關系，要根據元素明確兩個集合之間的關系;第五步，下結論，即根據集合關系下結論．

２ 解題思想

充分條件和必要條件就是在集合的基礎之上進行學習的，現在把這個問題放在集合問題上來討論，相當于是回歸基礎．經過梳理發現，充分條件和必要條件題型均可以轉化為取值范圍的問題處理，即“小范圍推大范圍”，故在解決充分條件和必要條件問題時，030511e0a49b8116b7cfeb916acdfe9b只需要將問題研究的對象轉化為一個統一方向的取值范圍問題，再由“小范圍推大范圍”下定結論即可．

例２ （２０２３年全國甲卷理７）“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

由sin２α＋sin２β＝１，可得sin２α＝cos２β，即sinα＝±cosβ，所以α＝kπ＋π／２±β（k∈Z）．由sinα＋cosβ＝０，可得sinα＝－cosβ，即α＝２kπ＋３π／２±β（k∈Z），所以sinα＋cosβ＝０?sin２α＋sin２β＝１，但sin２α＋sin２β＝１?/cosα＋cosβ＝０，故選B．

點評

該題是三角函數問題，對命題進行化簡后，不妨設

A ＝{α|α＝kπ＋π／２±β，k∈Z}，

B＝{α|α＝２kπ＋３π／２±β，k∈Z}，

很明顯有B ?A ，所以“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的必要不充分條件．將原問題轉化為集合之后，抽象問題具體化了，但其關鍵是要認定統一研究方向，即轉化為同一類元素的集合．

３ 應用舉例

經分析總結，考查充分條件和必要條件的題型主要有兩類：一類是基本知識、概念、推理和定理，這類問題只要基礎牢固，記住相關概念、定理和推論即可;另外一類是知識的應用，則可以利用本文提供的思想方法求解，該方法既快速又準確．下面將這一思想推廣到其他知識與充分條件及必要條件相結合的情況．

３.１ 基礎題型

例３ （２０２３年北京卷８）若xy≠０，則“x＋y＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

由xy≠０，以及yx ＋xy ＝－２，可得y２＋x２／xy ＝－２，即（x＋y）２ ＝０，所以“x ＋y ＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的充要條件，故選C．

點評

該題型是對一些基礎知識的直接考查，求解這類問題不需要過多解題技巧和策略，根據基礎知識可以將題設中的兩個命題進行化簡，然后再根據集合關系判定結論即可．

３.２ 對知識的融合應用

１）與不等式相結合

例４ 對于實數a，b，“a＜b＜０”是“b／a ＜１”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設命題p 為a＜b＜０，命題q 為b／a＜１．命題q可化為當a＜０時，a＜b，當a＞０時，a＞b．根據“小范圍推大范圍”，p?q 且q ?/p，所以p 是q 的充分不必要條件，故選A．

２）與函數相結合

例５ “函數y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數”是“實數a＞３”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設命題p 為函數y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數，命題q 為實數a＞３，因為函數y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數，則當x ∈（０，１）時，y′≥０恒成立．因為y＝－x３＋ax，所以y′＝－３x２＋a．設g（x）＝－３x２＋a，則函數g（x）的圖像是開口向下且對稱軸為x＝０的拋物線，所以g（x）＝－３x２＋a 在（０，１）上單調遞減，故gmin（x）＝g（１）＝－３＋a，則－３＋a≥０，解得a≥３．此時p 為{a|a≥３}，q 為{a|a＞３}，則根據“小范圍推大范圍”，有q?p，且p?/q，所以“函數y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數”是“實數a＞３”的必要不充分條件，故選B．

３）與數列相結合

例６ （２０２３年全國Ⅰ卷７）記Sn 為數列{an }的前n 項和，設甲：{an }為等差數列;乙：{Sn／n }為等差數列，則（ ）．

A．甲是乙的充分不必要條件

B．甲是乙的必要不充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析

對于甲，設數列{an}的首項為a１，公差為d，則{an}的前n 項和Sn ＝na１＋n（n－１）d／２ ，故Sn／n ＝a１＋（n－１）d／２．對于乙，{Sn／n }為等差數列，不妨設首項為p，公差為q，則Sn／n ＝p＋（n－１）q，即Sn ＝np＋n（n－１）q，所以甲是乙的充要條件，故選C．

４）與向量相結合

例７ （２０１７年北京卷文７）設m ，n 為非零向量，則“存在負數λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

“存在負數λ，使得m ＝λn”，說明向量m 與向量n 的方向相反，即兩個向量的夾角為π．而根據向量數量積的定義，由“m ·n＜０”得到向量m與向量n 的夾角取值范圍是（π／２，π]，所以該題應該以兩個向量m 與n 的夾角為元素．顯然，π∈（π／２，π]，所以“存在負數λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的充分不必要條件，故選A．

５）與三角函數相結合

例８ （２０２０年北京卷９）已知α，β∈R，則“存在k∈Z 使得α ＝kπ＋ （－１）kβ”是“sinα ＝sinβ”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

該題是充分條件和必要條件與三角函數相結合的題型，題目看似比較復雜，但是從兩個命題看，可以看作以角α 和β 的關系為元素的集合．設集合A 為“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－１）kβ”．

因為k∈Z，所以當k 為偶數時，有

α＝２nπ＋β（n∈Z），

即α 與β 是終邊相同的角．

當k 為奇數時，有

α＋β＝（２n－１）π（n∈Z）．

設集合B 為“sinα＝sinβ”，由sinα＝sinβ，可得α＝２nπ＋β（n∈Z）或α＋β＝（２n－１）π（n∈Z），所以有A ＝B，則“存在k∈Z 使得α＝kπ＋（－１）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要條件，故選C．

６）與立體幾何相結合

例９ （２０２０年浙江卷６）已知空間中不過同一點的三條直線m ，n，l，則“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 兩兩相交”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

根據題意，兩個命題所講的是三條直線m ，n，l 的位置關系，故可以把兩個命題看作兩個以三條直線m ，n，l 的位置關系為元素的集合．設“m ，n，l 在同一平面”為集合A ，則A 的元素包括m ，n，l 兩兩相交;m ∥n∥l，且共面;在m ，n，l 中，其中有兩條直線平行，剩下的一條直線與這兩平行直線相交．設“m ，n，l 兩兩相交”為集合B，則B ?A ，所以“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 兩兩相交”的必要不充分條件，故選B．

７）與對數、指數相結合

例１０ 設a，b 都是不等于１的正數，則“３a ＞３b＞３”是“loga３＜logb３”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

該題型實質和不等式一樣，由“３a ＞３b ＞３”得a＞b＞１，由“loga３＜logb３”得０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b，從取值范圍來說，０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b 的范圍比a＞b＞１大，則“３a ＞３b＞３”是“loga３＜logb３”的充分不必要條件，故選A．

８）與復數相結合

例１１ 設z１，z２∈C，則“z１，z２ 中至少有一個數是虛數”是“z１－z２ 是虛數”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設“z１，z２ 中至少有一個數是虛數”為集合A ，則集合A 的元素包括z１ 為實數，z２ 為虛數;z１ 為虛數，z２ 為實數;z１，z２ 均為虛數．設“z１－z２是虛數”為集合B，則集合B 中的元素包括z１ 為實數，z２ 為虛數;z１ 為虛數，z２ 為實數;z１，z２ 均為虛數，但虛部不相等．由此可知B ?A ，所以“z１，z２ 中至少有一個數是虛數”是“z１－z２ 是虛數”的必要不充分條件，故選B．

４ 小結

以上從不同的知識方面對方法進行推廣應用，體現不同方式的轉化方法，雖然不是所有這種題均能直接或轉化為取值范圍的問題來解決，但是梳理發現這種題目可以分為兩類：一類是考查不同知識的基礎，這類問題按照定義和定理進行推理就可以了，如２０１８年浙江卷第６題，考查立體幾何中的線面平行的判定定理;另外一類就是考查對各個知識的理解和應用能力問題，這類問題可以用本文的方法解決．總而言之，解決這類問題的一般思想：一是題型識別，判斷題目是不是考查基本定義、定理和推論，如果是，就根據相關知識判斷即可;二如果考查的不是基本定義、定理和推論，那就按照提供的思想進行，找好集合的元素;三就是根據已知求出兩個命題中確定的元素的取值范圍;四是根據“小范圍推大范圍”確定關系，再根據集合關系下結論．

本文雖然只列舉了部分不同知識與充分條件及必要條件相結合的題目，但是其他知識方面也是一樣的情況，將命題轉化為集合，利用集合關系判斷充分條件和必要條件．求解這類問題的關鍵就是要準確地定好“元素”，把“元素”定好就可以將原問題完全轉化為集合關系問題，則問題就具體化了．但也不能隨意定“元素”，要根據題目要求和已知條件來定，兩個集合所包含的“元素”應該是同一類．

綜上，借集合之石攻充分條件和必要條件之玉，即利用集合思想求解與充分條件和必要條件有關的題目，思路更清晰、解題速度更快、準確率更高．

（完）