創設開放性問題，體會不同模型的建立

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對第四學段數與代數領域的學業水平描述為：

能從生活情境、數學情境中抽象概括出數與式、方程與不等式、函數的概念和規則，掌握相關的運算求解方法，合理解釋運算結果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力。

能從具體的生活與科技情境中抽象出函數、方程、不等式等數學表達形式，用數學的眼光發現問題并提出（或轉化為）數學問題，用數學的思維探索、分析和解決具體情境中的現實生活問題，給出數學描述和解釋，運用數學的語言與思想方法，綜合運用多個領域的知識，提出設計思路，制定解決方案。能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進行評估，并對結果的意義作出解釋。能夠知道解決問題的方法的多樣性，具備一定的應用意識和模型意識，初步會用數學語言表達與交流。

這兩段描述不僅以結構化數學知識主題為統領，把“四基”主要與抽象能力、推理能力、運算能力有機結合，還以問題解決為依托，把“四能”主要與模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識有機結合。

【案例】

【起因】在太原市2023～2024學年第二學期八年級期中學業診斷中，有兩個關于用方程、不等式、函數模型解決實際問題的題目。原題如下：

【19題】從2025年起，山西中考體育測試分值提高為60分，增加了專項運動技能測試，分值為10分，學生可選擇足球、籃球、排球中的一項專項運動技能進行測試。學校為加強專項運動技能的訓練，計劃用9500元從體育用品商店一次性購買籃球和足球共100個。已知每個籃球120元，每個足球80元，求該校最多可以購買多少個籃球？

【21題】1987年6月18日“國槐”被定為太原市的市樹。今年春季，小區為綠化環境分別購買了兩種規格的國槐樹苗，其中A種國槐樹苗的價格為75元／株，B種國槐樹苗的價格為100元/株。若購買這兩種國槐樹苗共45株，其中A種國槐樹苗的數量不超過B種國槐樹苗數量的2倍，請你通過計算設計最省錢的購買方案，并求出此方案的總費用。

經過試卷分析發現，19題的得分率較高，21題的得分率較低，并且學生在21題這樣的實際背景下，不知道該選擇用函數模型、方程模型還是不等式模型來解決這個問題，只會用方程模型求解、二元方程和二元不等式結合求解、小學的枚舉法求解等方法。那如何能在試卷講評的時候讓學生更好體會到：根據不同的實際問題，我們可以抽象出函數、方程、不等式等不同的數學表達形式，建立函數、方程、不等式等不同的模型，用不同的模型去分析和解決實際問題，給出數學的描述和解釋，并會用數學的語言進行表達呢？

【對策】經過分析發現，這兩個實際問題背景基本類似，都涉及加法模型和乘法模型。所以對于19題的生活情境，經過設置不同的問題，完全可以變成21題的問題背景。于是我決定設計開放性的設問環節，讓學生經歷自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，在這個過程中逐步讓學生體會到根據不同的實際問題背景是如何抽象出不同的模型的，不同的問題背景又是如何選擇恰當的模型去分析解決問題，并給出數學的描述和解釋，對結果的意義作出解釋的。

【開端】在讓學生提出問題之前，我將兩個題目的得分率給學生進行了展示，讓他們觀察數據，說說自己的感想。學生都能看到19題得分高，21題得分低，有學生就說因為19題簡單，21題難。我立馬抓住時機，引導學生對這兩個題目的背景進行分析，并讓學生說說他們的感想。有學生就發現這兩個問題背景描述的數量和數量間的關系有些是一樣的。此時我就提出了一個問題：我們能否添加一些問題，將19題的問題背景變成21題的問題背景呢？

【發展】學生仔細對比了19題和21題，去掉19題的問題，留下的生活情境：為了加強專項運動訓練，我們計劃從體育用品商店一次性購買籃球和足球共100個，已知每個籃球120元，每個足球80元。這樣的生活情境不僅貼近學生的生活，還可以衍生出很多生活中的實際問題，而這些問題能讓學生在不同的實際問題背景下抽象出不同的數學模型。

【高潮】面對這樣開放性的問題，學生提出的就是要買幾個籃球和幾個足球的問題；提出沒有錢怎么去買？提出那我最少需要多少錢？最多又需要多少錢？提出是不是兩種球都必須買的問題；提出如果錢全部用完，那可以買多少個籃球和足球，如果錢不是全部用完的情況下，最多買幾個籃球的問題；提出如果錢不是全部用完，那我怎么樣購買才能花費最少的問題；有學生就發現了這樣的問題得有條件限制才可以解決等等。隨著學生問題的提出，問題的類型也越來越多，這時引導學生將問題歸類，由簡到繁，逐個解決。

首先得到了最少需要花費8000元，最多需要花費12000元的結論，但這個范圍是只買足球或只買籃球的情況下得到的。如果兩個球都需要買又該花多少錢呢？學生在這個范圍內經過思考交流得到這樣的一個數9400元，提出若計劃用9400元購買并且全部用完，可以買多少個籃球和多少個足球的問題。在解決這個問題的過程中，學生感知到在這種情況下（要求錢恰好全部用完的情況下），我們建立的是方程模型，可以列一元一次方程，也可以列二元一次方程組解決問題。學生又想到了另一個數9300元，那么若計劃用9300元購買呢？在這個背景下錢不可能全部用完，那就提出了最多可以買多少個籃球的問題。在解決這個問題的過程中，學生感知到，在錢不一定全部用完的情況下，我們抽象出來的是不等式模型，利用不等式模型進行求解，并且要對求出來的解集進行數學解釋，對結果的實際意義要進行描述。

接下來，學生開始討論怎樣購買才能使花費最少的問題。經過學生的分析發現（可以借助表格分析），在物品單價為已知量，求物品總價最少問題的時候，需要對物品的數量進行限制，需要物品的數量之間滿足一定的不等關系才能去討論物品總價花費最少的問題。因為如果物品數量之間滿足的是等量關系，如購買的足球數量是籃球數量的3倍，我們將會抽象出方程模型利用方程模型求解，此時我們將會得到關于數量的唯一值，進而將得到物品總價為定值，不需要討論花費最少的問題。只有當物品數量之間滿足的是不等關系時，即物品的數量是一個取值范圍時，我們才可能在這個范圍內討論花費最少的問題。從而借鑒21題的經驗給出數量的限制條件并提出了如下的問題：若購買的足球數量不超過籃球數量的2倍，那么請你設計出最省錢的購買方案，并求出此方案的總費用。在解決這個問題的過程中，學生感知到：足球數量和籃球數量間的不等關系，抽象出來的是不等式模型，利用不等式模型進行求解，可以得到籃球數量（或足球數量）的取值范圍，在這個范圍內購買籃球和足球的總費用會隨著籃球數量（或足球數量）的改變而改變，它們之間是變化對應的關系，而這樣的關系抽象出來的模型是函數模型。進一步可以根據題目中所給出的單價、數量和總價之間的關系，抽象出購買總費用的函數表達式，利用函數模型進行求解，根據函數的增減性和籃球數量（或足球數量）的取值范圍，以及實際問題的意義，我們可以求出當籃球數量（或足球數量）為何值時，購買總費用最少，并設計出此時的購買方案。

為了更直觀地了解這個實際問題的解的情況，我們還可以借助什么來分析問題解決問題呢？學生想到了可以畫出購買總費用關于籃球數量（或足球數量）的函數圖象，它能非常直觀地幫助我們解決實際問題，解釋實際問題的解。

【結局】在討論了上面的各種情況后，學生發現當實際去購買的時候，還會面臨選擇體育用品商店的問題，所以可以再提出下面的問題，請學生利用今天所學的知識去解決：若在A商店購買，籃球每個按原價的九折、足球每個按原價的七折出售，若在B商店購買，則籃球、足球都按原價的八折出售，請你通過計算分析去哪個商店購買更合算？學生通過對題目當中數量及其關系的分析發現：在每個商店的購買總費用都會隨著籃球數量（或足球數量）改變而改變，它們之間是函數關系，需要建立函數模型；由于要比較去哪個商店購買更合算，分三種情況討論，所以又需要建立方程模型和不等式模型，從而我們需要抽象出三種模型，共同使用這三種模型才能將此問題解決，并要對求出的解和解集進行數學解釋，對結果的實際意義要進行描述。

【反饋】為了了解學生是否能根據不同的實際問題背景，抽象出函數、方程、不等式這三種數學模型，并用它們解決問題，特設置了如下的開放性的作業：在下述21題的問題情境下，自己設計三個問題，用函數、方程、不等式這三種模型或者它們的組合去解決問題。

21題的問題情境：今年春季，小區為綠化環境分別購買了兩種規格的國槐樹苗，其中A種國槐樹苗的價格為75元/株，B種國槐樹苗的價格為100元/株。若購買這兩種國槐樹苗共45株。……

在作業反饋中，我看到了可喜的成果：大部分學生都可以模仿上課的情形設計出用方程、不等式和函數模型解決問題并進行了求解，并且有學生在用函數模型求最值解決實際問題的問題設計中，想到了可以用購買A種國槐費用和B種國槐費用之間的不等關系，來得到A種國槐數量（或B種國槐數量）的取值范圍，從而設計出最省錢的購買方案，并求出此方案的總費用，還有學生設計了A商店打折銷售，而B商店直接減少費用的方案，由此提出在哪個商店購買更合算的問題。由此說明學生對如何根據實際問題的條件，抽象出三種不同的模型，利用模型解決實際問題，有了更進一步的深刻認識。

【評價】

陶行知先生認為：生活即教育，教育來源于生活，主張教育要依靠生活，改造生活；教學做合一，認定在生活中教法、學法、做法是不可分割的。主張事情是怎樣做的，學生就應該怎樣學；學生是怎樣學的，教師就應該怎樣教。教法和學法都來源于做法，統一于做法。但在學生解決實際問題的過程中，有些教師就題論題，沒有讓學生經歷真正問題解決的過程，泛泛地講解此問題的答案，沒有針對學生的問題提出解決的辦法，學生也就無法從這個題目的學習過程中學到知識和技能。這次的教學設計，將學生置身于真實的問題情境中，選擇與學生息息相關的生活實際背景，讓學生根據實際經驗，親自感受在實際做的過程當中將會出現怎樣的問題，面對各種各樣的問題，要會用數學的眼光去發現問題并提出問題，利用數學的思維去思考問題、分析問題和解決問題，并會用數學的語言去表達問題、解釋問題。這個過程培養了學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，提升了學生的抽象能力、模型觀念、運算能力，提高了他們的應用意識。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的教學提示中指出：方程與不等式的教學：應當讓學生經歷對現實問題中量的分析，借助用字母表達的未知數，建立兩個量之間關系的過程，知道方程或不等式是現實問題中含有未知數的等量關系或不等關系的數學表達；函數的教學：要通過對現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義；要引導學生借助平面直角坐標系中的描點，理解函數圖像與表達式的對應關系，理解函數與對應的方程、不等式的關系，增強幾何直觀；會用函數表達現實世界事物的簡單規律，經歷用數學的語言表達現實世界的過程，提升學習數學的興趣，進一步發展應用意識。所以，教師在教學過程中要選擇恰當的實際問題，讓學生在解決實際問題的過程中，逐步經歷對量和變量的分析，利用數和符號表達實際問題中的數量關系和變化規律，將實際問題轉化成數學問題，建立函數、方程、不等式等數學模型，對建立的模型進行求解，對求出的解給出數學描述和解釋，并對結果的實際意義作出解釋，從而解決實際問題。

（作者單位：山西大學附屬中學）

編輯：張國仁