球極投影下的Hopf纖維化

摘要：Hopf纖維化是代數拓撲中經典的構造.它在理論物理學方面的應用十分廣泛.例如：11共振（TheOnetooneResonance）、剛體的運動、磁單極子的勢場、兩態量子系統的Bloch球面（BlochSphere）表示、廣義相對論里TaubNUT空間的全局結構以及龐加萊群（覆蓋群的）的零質量螺旋度表示等.為了理解此構造，本文通過球極投影給出了Hopf纖維化的幾何直觀.并且在此基礎上利用計算機軟件畫出了部分的Hopf纖維化.此外，由于在文獻［1］中Thurston給出了Hopf纖維化的諸多結論，但缺少證明.本文給出了相關結論的詳細證明.

關鍵詞：Hopf纖維化；球極投影；纖維叢

1概述

記Sn為歐氏空間的單位球面.1931年，Hopf構造了S3到S2的映射，即Hopf映射，引發了對纖維與同倫群的研究.其構造了一個特殊的纖維化，且任意兩個纖維之間的環繞數1，證明了Hopf映射不同倫于常值映射.隨后他證明了同倫群π3（S2）是由Hopf映射生成的無限循環群，表明三維球面到二維球面映射的同倫類有可數無窮多［2］.1933年，Hopf利用同調對于n維多面體到Sn進行完全分類（Hopf分類）［3］.

從同倫的觀點看，Hopf證明了同維數球面Sn到自身的連續映射由其映射度唯一決定，這標志著同倫論的誕生，Hopf是同倫論奠基者之一，第一個從拓撲角度來研究同倫論［4］.1935年，Hurewicz在定義同倫群的概念時受到Hopf的影響.后來，Freudental在Hopf與Hurewicz的研究基礎上證明了Hopf分類的完備性.且他發現了懸垂映射，從此同倫論成為拓撲學中一個熱門.

Maurício等人［5］研究了Hopf纖維化的推廣，即Hopf流形，他們證明Hopf流形上余1維的非奇異分布是可積的.楊永舉等人［6］對Hopf流形進行了推廣，利用流形上流和萬有覆疊理論，構造了Hopf流形上的一個葉狀結構.并且證明了某類Hopf流形上不存在閉的（1，1）階微分形式.

2預備知識

在這一節中，我們回顧了纖維叢，纖維化與復射影空間P1中元素的表示.纖維化是覆疊空間的推廣［7］，是拓撲學中重要的概念之一.纖維叢的理論，是1946年由美國的斯丁路特、美籍華人陳省身、法國的艾勒斯曼共同提出的.

定義1：如果滿的映射P：E→B，滿足同倫提升性質，則稱P為纖維化.其中B被稱為底空間，E被稱為全空間，Y為任意拓撲空間.同倫提升性質為任給一個拓撲空間Y，以及交換圖，存在一個h使得下面的圖表中可交換［8］.

任取B中一點b，b在P下的原像被稱為b點的纖維.如果底空間B是道路連通的，可證明B中兩個不同點b1和b2的纖維是同倫等價的.

纖維叢是比纖維化更強的一種結構，Hopf纖維化不僅是一個纖維化，而且是一個纖維叢.為了進一步理解Hopf纖維化，在此處引入纖維叢的定義.

定義2：一個纖維叢是由四元組（E，B，π，F）構成，其中E，F是拓撲空間，B是連通的，B被稱為叢的底空間，F被稱為纖維，π為投影映射。π：E→B為一個連續滿射，滿足局部平凡化的條件.其中局部平凡化的條件是：對于x∈B，存在一個在B中包含x的開鄰域U，并有一個同胚映射φ：π-1（U）→U×F，φ并且要滿足φ：π（y）=p1°φ（y），y∈π-1（U）.其中p1：U×F→U是自然投影［910］.

定義3：復投影空間

2中每一個經過原點z=0的復直線（是一個實平面）視為一點所得商空間，即

-0，z12+z22≠0

所有符合條件的（λz1，λz2）均可以作為等價類的代表元.即［z1，z2］=［λz1，λz2］.

3Hopf纖維化

此節我們將證明Hopf纖維化是纖維叢，其中S3是全空間，S2是底空間（事實上S2與

P1同胚，具體證明細節參考文獻［11］），S1是纖維.S3是歐氏空間的單位球面：

S3=（x1，x2，x3，x4）|x12+x22+x32+x42=1，S3∈

2.此同構將可以使R4中的點（x1，x2，x3，x4）與.令z2=a，0<a<1，每當取定一個0到1的實數a，就會得到一個過點（z1，z2）的纖維F（z1，z2）.當實數a取遍0到1時，我們取這些纖維的并集

∪z2=aF（z1，z2）

其中∪z2=aF（z1，z2）={λ（z1，z2）λ=1，z2=a，z1=1-a2}.根據已知條件可設λ=eiθ，θ∈［0，2π］，設z1=beiψ，z2=aeiφ，其中ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］.令b=1-a2，將歐拉公式：

eiθ=cosθ+isinθ

與

∪z2=aF（z1，z2）=eiθ（beiψ，aeiφ）|θ∈［0，2π］，ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］

代入上述球極投影s有：

sbcosψ+θ，bsinψ+θ，acosφ+θ，asinφ+θ=bcosψ+θ1-asinφ+θ，bsinψ+θ1-asinφ+θ，acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）.

為了方便表示將bcos（ψ+θ）1-asin（φ+θ），bsin（ψ+θ）1-asin（φ+θ），acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）記為x，y，z，

下面對z=acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）進行化簡：

由已知x2=b2cos2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，y2=b2sin2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，z2=a2cos2（φ+θ）（1-asin（φ+θ））2

得到

x2+y2=b2（1-asin（φ+θ））2

據a2+b2=1有：

z2=-b2（1-asin（φ+θ））2+21-asin（φ+θ）-1

再令t=11-asin（φ+θ），有x2+y2=b2t2且得到：

b2t-2t+1+z2=0

解得：

t=1±1-b2（z2+1）b2

將t=1±1-b2（z2+1）b2代入x2+y2=b2t2中有：

x2+y2=b·（1±1-b2（z2+1）b2）2

容易看出：

b2（x2+y2）=（1±1-b2（z2+1））2

再次化簡得到：

x2+y2-1b2+z2=a2b2

在此種情況下z2=a，z12+z22=1，纖維F（z1，z2）在球極投影下的像在環面上.

令R=1b，r=ab代入，得到：

x2+y2-R2+z2=r2

Hopf纖維化的一部分圖

其中上圖中的左圖的參數為：

ψ=φ=0，a∈k（0.1）|k∈Z，0k（0.1）0.7

上圖中的右圖的參數為：

a=22，φ，ψ∈k（0.4）|k∈Z，0k（0.4）2π

結語

通過對s3上的點的討論，得出了纖維叢（S3，S2，η，S1）中的纖維s1在球極投影下的像有以下三種情況：纖維s1在球極投影下的像是平面上的標準圓周，纖維s1在球極投影下的像是空間直角坐標系的Z軸并無窮遠點，纖維s1在球極投影下的像在環面上。

參考文獻：

［1］ThurstonWP.ThreeDimensionalGeometryandTopologyVolume1［M］.PrincetonUniversityPress，1997.

［2］HopfH.berdieAbbildungenderdreidimensionalenSphreaufdieKugelflflche［J］.Mathematische&nbsp;Annalen.1931，104：637665.

［3］HopfH.DieKlassenderAbbildungenderndimensionalenPolyederaufdiendimensionaleSphre［J］.CommentariiMathematiciHelvetici.1933，5：3954.

［4］ChernavskiiAV.EncyclopaediaofMathematics（set），1sted.［M］.Springer，1994.

［5］MaurícioC，AntonioMF，MishaV.ClassifificationofholomorphicPfaffsystemsonHopfmanifolds［J］.EuropeanJournalofMathematics.2021，7：729740.

［6］楊永舉，田顥.某些三維Hopf流形的性質［J］.南陽師范學院學報，2009，8（03）：1415.

［7］MayJP.AConciseCourseinAlgebraicTopology［M］.UniversityOfChicagoPress，1999.

［8］SwitzerRM.Algebraictopology：homotopyandhomology［M］.Springer，1975.

［9］AllenH.AlgebraicTopology.［M］.CambridgeUniversityPress，2001.

［10］NormanS.TheTopologyofFibreBundles1sted［M］.PrincetonUniversityPress，1999.

［11］馬天.流形拓撲學：理論與概念的實質［M］.北京：科學出版社，2010.

［12］AdamsJF.OnthenonexistenceofelementsofHopfinvariantone［J］.BulletinoftheAmericanMathematicalSociety，1958，05（64）：279283.

作者簡介：趙坤（1998—），男，漢族，江西九江人，碩士研究生，研究方向：代數拓撲。