面向物理學專業的《線性代數》教學策略探討

摘要：線性代數是物理學專業重要的前序課程之一，熟練掌握相關基礎理論，對于《光學》、《量子力學》等專業必修課的學習至關重要。然而，其概念、理論的抽象性使得大多數物理學本科生望而卻步，嚴重影響后續課程的學習效果。本文從教學實踐出發，結合物理學專業特點，提出建立與已掌握知識體系的聯系、加強與物理學專業課程的聯系以及探討線性代數在物理探究的應用等策略，旨在為提高學習興趣以及教學效果提供新思路。

關鍵詞：物理學專業；線性代數；教學策略

Exploration of Teaching Strategies for Linear Algebra for Physics Major

Su Mingyang Tang Liangpo Li Yong Zhou Renlong

Guangdong University of Education GuangdongGuangzhou 510303

Abstract： Linear Algebra is one of the important preamble courses for Physics Major. Mastering relevant theories is essential for learning required courses such as Optics and Quantum Mechanics， etc. However， the abstract characteristic of of its concepts and theories makes most physics undergraduate students feel difficulty， seriously affecting the learning effectiveness of subsequent courses. Starting from the teaching practice and combining with the characteristics of physics Major， this paper puts forward some strategies such as establishing the connection with the knowledge system that has been mastered， strengthening the connection with the physics specialty curriculum， and exploring the application of Linear Algebra in physics exploration， in order to provide new ideas for improving learning interest and teaching effect.

Keywords： Physics Major， Linear Algebra， Teaching strategies

1 概述

《線性代數》是研究多元線性方程組、有限維空間線性理論和方法等的數學學科，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，是經濟學、計算機、電子信息、物理等本科理工類專業的重要基礎課程[1-2]。在物理學專業的課程體系中，線性代數的學習既可用于培養物理學本科生的邏輯思維和解決實際問題的能力，又是后續專業課程必要的數學基礎，包括光學、量子力學等專業必修課。而傳統的《線性代數》教學模式側重于概念、定義以及定理的講解，卻忽略了理論聯系實際[3]。物理學本科生在實際學習中往往存在困惑，不知道“線性代數是什么？”“物理學專業為什么要學習線性代數？”“線性代數在物理學中怎么用？”。 這往往導致大多數學生失去了主動學習《線性代數》的熱情和動力，純粹為了期末考試而學習，考試后置之不理。并且，在學習后續課程時，早已忘卻相關基礎理論，嚴重影響了后續課程的學習效果。因此，提高物理學專業《線性代數》課程的教學質量和效果顯得相當重要。

為此，本文提出了面向物理學專業的線性代數教學策略探討，針對物理學的專業特點對教學方式進行調整和優化，提出建立與已掌握知識體系的聯系、加強與物理學專業課程的聯系以及探討線性代數在物理探究的應用等策略。旨在從教學實踐出發，適當引入物理學專業背景，賦予枯燥的數學理論以新的活力，用于調動學生的學習熱情和興趣，為提高線性代數的課堂教學效率提供新思路，希望為后續專業課程的有序、高效開展提供良好鋪墊。

2 《線性代數》教學策略探討

2.1 建立與已掌握知識體系的聯系

物理學本科生對數學課程的第一印象是鼓噪、乏味以及難以掌握。而《線性代數》是物理學本科生經歷《高等數學》學習之后的另一門數學課程，也是一個相對陌生的數學知識體系，沒做好前期的心理和知識體系建設，容易造成畏難心理，影響教學和學習效果。因此，《線性代數》的前期學習不適宜大篇幅引入數學原理和理論，而應該從已掌握的知識體系入手，回答好“《線性代數》是什么？”這一問題。

大多數教材《線性代數》第一章是行列數，這與學生中學時期已掌握的用代入消元法或加減消元法求解二元和三元線性方程組的知識是一脈相承的[4]。行列式教學可以從消元法求解二元和三元線性方程組的例子入手。

例：用消元法解二元線性方程組

引導學生計算得到結論，當a11a22–a12a21≠0時，方程組的解為：

借機引入二階行列式的定義以及表示方法：

若記 則當D0時，方程組有唯一解：

讓物理學本科生知道什么是行列式，二階行列式的其中一個重要應用就是解二元線性方程組。并在此基礎上，將行列式推廣n階，讓學生知道n元線性方程組也存在較為簡便的求解方法，不需要進行多次消元。從原有知識體系出發，循序漸進的方式不會顯得很突兀，讓學生能初步領略線性代數的魅力。

2.2 加強與物理學專業課程的聯系

物理學本科生在初步接觸《線性代數》時經常存在疑問，他們不明白為什么《線性代數》是必選的專業選修課甚至必修課，它和物理專業課程有什么聯系。作為授課老師，不僅應講授相關概念、理論、原理和計算方法，還應把《線性代數》的矩陣、特征值等基礎理論與物理學專業知識有機結合起來，讓學生知道《線性代數》與物理學專業課程之間相輔相成的關系，回答好“為什么要學？”這一問題。下面將從《光學》和《量子力學》兩門專業必修課出發，探討和分析《線性代數》和這兩門課程的聯系。

2.2.1《光學》的偏振表示

《光學》是物理學一門重要的專業必修課，而線性代數與《光學》課程的一個典型聯系就是“偏振的矩陣表示”[5]。

在物理光學中，任一偏振光都可以用兩個振動方向相互垂直、相位相關聯的線偏振光來表示，其數學表達式為：

這里，a1和1分別表示振動方向沿X軸的線偏振光的振幅和相位，a2和2分別表示振動方向沿Y軸的線偏振光的振幅和相位。

此時，偏振光的X軸和Y軸分量可分別表示為：

利用矩陣可表示為：

若記 則歸一化后可表示為：

因為偏振態關注的是相位差，上式可省去公共因子相位。

從上式可知，當a1=a2且1-2=/2時，為圓偏振光；當a1a2且1-2/2時，為橢圓偏振光；當a1-a2=0或時，為線偏振光。由此可見，利用矩陣可以很方便表示光的偏振，在教學中適當引入相關知識可建立光學與線性代數的聯系。

2.2.2《量子力學》的本征值與本征函數

《量子力學》是現代物理學的重要基礎理論之一，是物理學本科生的專業必修課之一。線性代數作為前序課程之一，與《量子力學》課程聯系非常緊密。其中一個典型聯系為求解算符的本征值與本征函數，這等價于求對應矩陣的特征值和特征向量。量子力學中，可將波函數與算符的公式利用矩陣進行表示[6-7]。

例如：求自旋角動量在（cos，cosβ，cosγ）方向的投影：

的本征值和本征函數。

解：將在的表象中的矩陣形式代入得：

設的本征值為，本征函數為

則有本征值方程 ，即

有非零解的條件是：，即

計算可得

即： 的本征值為。

將矩陣方程（1）展開

當時， 由（2）得

所以

由的歸一化求， 即

此時，

所以：

同理，當時，

在上述例子中，在量子力學中，求解自旋角動量的本征值與本征函數等價于求解矩陣的特征值與特征向量。由此可見，利用線性代數矩陣、向量等相關數學理論與量子力學的學習關系密切，在教學中適當引入相關知識可建立量子力學與線性代數的聯系。

2.3 探討線性代數在物理探究的應用

了解與物理專業課程的聯系，僅是說明線性代數的數學理論對于物理專業后續課程的學習很重要，學生某些時候更希望知道線性代數在物理中具體怎么使用。而線性代數在物理專業的價值也不僅僅是重要的前序課程，同時是物理現象分析和探究的工具，合理利用線性代數基礎知識和相關軟件進行模擬仿真可以增強專業課知識的理解深度。因此，在線性代數教學中，通過介紹和引導學生初步掌握以線性代數為基礎的相關軟件，并進行物理現象仿真和分析，回答好“怎么用？”這一問題，對于進一步提高學習效果具有積極影響。Matlab是以矩陣為基本數據單元的商業化軟件，在數值計算方面首屈一指，在物理現象分析和探究等方面具有廣泛應用，而它的理論基礎就是線性代數。下面以 “楊氏雙縫干涉”為例介紹Matlab在物理現象探究的應用[8-9]。

楊氏雙縫的實驗裝置如圖1所示，按照惠更斯-菲涅耳原理，線光源 S點光源發出的光分別經兩狹縫S1和S2到達觀察屏，兩束光所走的光程不同導致相位差，使得在觀察屏看到明暗相間的平行條紋。

楊氏雙縫干涉的具體代碼如下：

clc;

clear all;

D=1;

d=0.01;

Lambda=633e-9;

ymax=2e-4;

ny=401;

y=linspace（-ymax，ymax，ny）;

x=y;

for i=1：ny

for j=1：ny

l1=sqrt（（y（i）-d/2）^2+0*x（j）+D^2）;

l2=sqrt（（y（i）+d/2）^2+0*x（j）+D^2）;

phi=2*pi*（l2-l1）/Lambda;

I0（i，j）=4*cos（phi/2）^2;

end

end

figure（1）;

set（0，'defaultfigurecolor'，'w'）

plot（y，I0（：，1），'k'）;

set（gca，'linewidth'，2，'fontsize'，28，'fontname'，'Times'）;

set（gca，'ytick'，0：1：4）;

set（gcf，'Units'，'centimeters'，'Position'，[1 1 30 24]）;

set（gca，'position'，[0.13，0.13，0.78，0.78]）;

xlabel（'x（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

ylabel（'強度'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'bold'）;

title（'單色光強度曲線'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'normal'）;

axis（[-ymax，ymax，0，4]）;

I=I0.*255/max（max（I0））;

figure（2）;

set（0，'defaultfigurecolor'，'w'）

image（x，y，I）;

set（gca，'linewidth'，2，'fontsize'，28，'fontname'，'Times'）;

xlabel（'x（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

ylabel（'y（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

set（gcf，'Units'，'centimeters'，'Position'，[1 1 30 24]）;

set（gca，'position'，[0.13，0.13，0.78，0.78]）;

title（'單色光條紋'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'normal'）;

axis（[-ymax，ymax，-ymax，ymax]）;

colormap hot;

圖2為利用Matlab進行楊氏雙縫干涉仿真的結果，這里設定D=1 m，d=1 cm，波長為633 nm。由圖可知，經兩狹縫出射后，可在觀察屏看到明暗相間的條紋分布，強度呈周期性變化。當分析條紋間距與波長、小孔間距等之間的關系時，可通過調整相應的參數進行仿真。圖3為波長分別為633 nm和532 nm的條紋分布，可以明顯看出，條紋間距隨著波長的減小而減小。借助Matlab不僅能讓學生直觀理解干涉現象，還可更為深入分析和探討楊氏雙縫干涉現象的影響因素，更容易將理論和實踐有機結合，提高學習效果。

波動光學、量子力學等近現代物理實驗一般需要穩定的環境和高精度的儀器，學生在課堂上難以直觀對物理現象進行理解、分析和探討，而Matlab數值仿真可以克服對實驗條件的限制，對于提高相關知識的學習效果具有積極影響。有意識引導學生了解Matlab數值仿真的基礎是線性代數，掌握Matlab在物理仿真的應用，有望充分調動學習線性代數的積極性。

結語

《線性代數》是物理學專業重要的前序課程之一，內容具有高度抽象性。傳統的教學模式往往著重于基礎理論的教學，很難激發學生的學習興趣。線性代數在物理學專業的教學，須結合專業的特點，回答好“線性代數是什么？”“為什么要學？”以及“怎么用？”這三個問題。為此，提出了面向物理學專業的線性代數教學策略探討，結合線性代數和物理學專業的特點，對教學方式進行調整和優化，從已掌握的知識體系入手，讓學生初步領略線性代數的魅力；加強與物理學專業課程的聯系，增強學習線性代數的興趣；探討線性代數在物理探究的應用，利用以線性代數為基礎的Matlab軟件模擬分析物理現象，進一步調動學習線性代數的積極性。本文旨在從教學實踐出發，探討線性代數在物理學專業的教學策略，賦予枯燥的理論以新的活力，為提高線性代數的課堂教學效率提供新思路，為后續專業課程的有序、高效開展提供良好鋪墊。

基金資助信息：本文得到國家社會科學基金一般項目-教育學（項目編號：BHA190128）；2022年廣東省本科高校教學質量與教學改革工程建設項目-電動力學課程教研室（項目編號：2022kcjys003）；2021年廣東省省級一流本科專業建設點項目（廣東第二師范學院物理學專業）；廣東第二師范學院校級教學質量與教學改革工程項目（項目編號：2022jxgg20，2022kcjys03）資助

作者簡介：蘇明樣（1992— ），漢族，博士，講師，研究方向：物理學。

*通訊作者：周仁龍（1975— ），漢族，博士，教授，研究方向：物理學。

參考文獻：

[1] 吳飛. “線性代數”教學的幾點體會[J]. 教育教學論壇， 2022（39）： 145-148.

[2] 姚婷. 線性代數課程的教學改革與實踐[J]. 合肥師范學院學報， 2022， 40（03）： 73-75.

[3] 馬麗娜， 劉爍. 淺談線性代數課程教學設計——以“特征值與特征向量”為例[J]. 高等數學研究， 2023， 26（01）： 95-97.

[4] 同濟大學數學系. 線性代數（第6版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2014.

[5] 姚啟鈞. 光學教程（第5版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2014.

[6] 周世勛， 陳灝. 量子力學教程（第3版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2022.

[7] 王可嘉. 前序課程對光電本科生《量子力學》學習的影響分析[J]. 光學與光電技術， 2023， 21（02）： 152-157.

[8] 曾建華， 曾偉， 王志峰， 等. 光的干涉與衍射的Matlab仿真及其實驗觀測[J]. 井岡山大學學報（自然科學版）， 2018， 39（03）： 9-12.

[9] 馬峰全， 張玉葉， 王彤. 基于MATLAB的雙縫干涉實驗探索[J]. 咸陽師范學院學報， 2022， 37（02）： 23-26.