基于數學史的初中數學課堂德育功能初探

[摘 要] 數學史在中學數學課堂中具有重要的教育意義，其背后蘊涵豐富的、多元的德育內容素材. 研究者基于數學史的視角，以“二元一次方程組概念”為例進行教學設計，探析初中數學課堂教學中的德育功能，得出以下教學反思：滋潤學生學習數學的“心田”;促進學生認識數學應用本質;弘揚中華優秀傳統數學文化;滲透多元文化拓展學生視野.

[關鍵詞] 數學史;初中數學課堂;德育;二元一次方程組

“立德樹人”是當前教育的根本任務，如何在初中數學課堂教學中選取恰當的數學素材落實根本任務，是值得當前一線數學教師以及相關研究人員共同關注的問題.

已有研究發現[1]：將數學史融入初中數學課堂教學有利于德育目標的實現. 基于此，本文結合《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）中課程目標的相關要求[2]，并基于數學史的視角以人教版二元一次方程組的概念為例探析數學史料中蘊涵的德育內容，發揮初中數學課堂德育功能的作用.

教學設計前期準備階段

1. 教學對象認知結構分析

學生在小學以及七年級上冊學習的基礎上，可運用類比的方式探究、學習二元一次方程（組）及其解的概念.

2. 教學內容基本情況分析

本節內容屬于《課標》課程內容的“數與代數”學習領域，是人教版七年級下冊第八章第一節的內容. 本節內容是對方程知識的再次探索與升華，是方程由“一元”過渡到“二元”的過程，對之后學習一次函數以及解決“多元”數學問題提供有利的工具. 全章知識結構的概念圖如下所示（見圖1）.

3. 基于數學史的文本分析

教材是進行教學的必備工具，對同一知識點的不同版本教材進行比較分析，是幫助教師對所教知識點進行有效備課的重要途徑之一. 數學史料中具有豐富的德育內容素材，且本節內容具有大量的數學史料. 基于此，筆者選取全國使用率較高、影響較大的人教版、北師大版以及蘇科版三個版本教材，對本節內容所在位置以及相關數學史料進行分析（見表1）.

由表1知：

從所在位置看，三個版本教材有所區別，對于本節內容，人教版和蘇科版位于七年級下冊，北師大版位于八年級上冊. 其中，相較于人教版和北師大版，蘇科版對本節內容是將二元一次方程與二元一次方程組及其解分為兩節內容.

從相關數學史料看，三個版本均采用了我國古代數學著作《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，其是對中華優秀傳統數學文化傳播的一種體現. 但側重點有所不同，人教版僅是以文字的形式出現在習題中;北師大版和蘇科版以圖文并茂的形式出現在章前頁，相較于人教版，更有利于激發學生的學習興趣和動機. 此外，北師大版中的“老牛小馬”問題改編自數學史上的“騾子和驢”問題，以圖文并茂的形式出現在正文中;蘇科版中選自《算法統宗》的“房客”問題以詩歌的形式出現在習題中，二者亦有利于激發學生的求知欲.

教學設計具體準備階段

1. 教學目標

（1）理解二元一次方程（組）及其解的概念;能判斷一組數是否是二元一次方程（組）的解.

（2）經歷對數學史上以及日常生活中實際問題的分析、數學轉化過程，培養學生歸納、概括的能力;為學生創設“數學—實際問題”的情境，讓學生體會方程是解決實際問題的有效模型，初步培養數學抽象能力和模型觀念的核心素養.

（3）在不同數學史料的融入過程中，讓學生感受多元文化的熏陶;在中外經典數學名題的情境中，激發學生的好奇心和求知欲，讓學生體會數學的應用價值;在小組合作辨析的過程中，初步培養學生理性、敢于質疑的良好品質.

2. 教學重難點

（1）重點：二元一次方程（組）的概念.

（2）難點：二元一次方程中含有未知數的項的次數均是1次;二元一次方程組中含有未知數的個數共有2個.

3. 教學過程

此部分結合當前教育理念、教學前期準備、教學目標以及教學重難點的確定，主要按照以下教學流程展開，如圖2所示：

（1）創設情境，導入新知

此環節從3個情境問題展開，具體如下：

情境1 約公元四、五世紀，中國古代著名數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足. 雞兔幾何[3].”

問題1 在小學通過算術法以及七年級上冊通過一元一次方程已解決過此類問題. 設：雞有a只，請回顧列一元一次方程的步驟有哪些.

追問1 設：雞有a只，兔有b只，你會得到怎樣的方程？

追問2 一元一次方程的學習內容有哪些？

設計意圖 以中國古代經典、有趣的“雞兔同籠”問題為切入點，傳播中華優秀傳統數學文化，激發學生的學習興趣;此外，引導學生回顧運用一元一次方程解決該實際問題的過程，并在已有2個等量關系中列出2個方程，引出本章的課題. 再次追問一元一次方程的學習內容，引導學生構建本章所學知識框架.

情境2 在數學史上有著名的“騾子與驢”問題[4]：騾子和驢馱著包裹行走在路上，已知騾子馱的包裹數比驢馱的包裹數多2個. 若騾子從驢那里拿來1個包裹之后，則騾子的包裹數恰好是驢的包裹數的2倍. 騾子和驢各馱有幾個包裹？

問題2 設：騾子馱有m個包裹，驢馱有n個包裹，你會得到怎樣的方程？

情境3 籃球聯賽勝負問題（選自教材中的問題P87）

問題3 設勝x場，負y場，你又會得到怎樣的方程？

設計意圖 從多元文化的視角，促進學生感受方程思想，進一步體會學習二元一次方程的必要性;此外，充分利用教材中章前頁的籃球聯賽勝負問題，讓學生再次體會學習二元一次方程是解決生活中實際問題的必要模型.

（2）概括共性，形成概念

此環節基于以上3個情境問題，引導學生觀察、討論、歸納，具體如下：

問題4 從方程的角度，這6個方程具有怎樣的共同屬性？

追問3 類比一元一次方程的學習，你能給這6個方程取名字、下定義嗎？

設計意圖 類比一元一次方程概念學習的探究思路，引導學生進行小組合作、討論、觀察，給新出現的方程取名字、下定義，得出二元一次方程的定義，進一步感知這兩類方程的區別與聯系，突出教學重點.

（3）辨析感悟，深化概念

此環節是在上一環節的基礎上，引導學生辨析概念，具體如下：

活動1 請判斷下列方程是否是二元一次方程，并給出理由.

（1）3x+y=7，

（2）x+y+z=5，

（3）x2+3y=9，

（4）+y=8，

（5）6a-13=b，

（6）2mn+n=6.

設計意圖 通過小組交流、討論，從正、反兩方面強化學生對二元一次方程概念的理解. 設計不同類型的題目，總結在方程中等式兩邊均是整式，深度剖析含有未知數的項的次數是1次，而不是指未知數的次數為1次，進一步加強學生對二元一次方程概念中關鍵詞的理解，突破第1個教學難點.

（4）續追促思，再成概念

此環節回到情境3，回到教材中，引導學生進一步得出相關概念，具體如下：

追問4 在籃球聯賽問題所列出的2個方程中，x，y必須滿足什么條件？

活動2 請判斷下列方程組是否是二元一次方程組，并給出理由.

（1）2x+y=6，

x+3z=12. （2）3m+n=15，

mn=12.

（3）a=6，

b=8. （4）6x+y=24，

x2+2y=3.

（5） 2x+y=6，

x=12. （6）

+y=6，

6x+8y=32.

設計意圖 在歸納、形成二元一次方程概念的基礎上，回到教材中的籃球聯賽問題，觀察所列2個方程中x，y的意義，進而得出二元一次方程組的概念，再次突出教學重點;此外，通過活動交流、討論，從正、反兩方面強化學生對二元一次方程組概念中未知數的個數的理解，突破第2個教學難點.

探究 在情境3中，滿足方程x+y=10，且符合實際意義的x，y的值有哪些？并把它們填入下列表中（回歸教材中的探究問題）.

思考 上面哪一組x，y的值也滿足方程2x+y=16？

活動3 動一動你聰明的大腦，編一道滿足二元一次方程組x+2y=10，

2x+y=8 的應用題.

練習1 下列數組中是二元一次方程組x+2y=10，

2x+y=8 的解的是（ ）

A. x=2，

y=4. B. x=4，

y=8.

C. x=4，

y=2. D.x=8，

y=4.

設計意圖 根據實際問題，引導學生小組討論、探究并完成表格內容，得出二元一次方程（組）的解的概念;此外，給出一個開放題，讓學生根據方程組內容自主編制應用題，體會二元一次方程組是解決實際問題的有效工具. 通過代入驗證的方法判斷一組數是否是二元一次方程組的解，并讓學生解決自主編制的應用題，再次體會數學在實際生活中的應用價值.

（5）應用新知，鞏固概念

此環節是在以上所有環節的基礎上，選取中外歷史名題感受二元一次方程組的應用價值，具體如下：

練習2 請獨立列出對應的一元一次方程以及二元一次方程組.

（1）為鼓勵孩子學好算術，父母決定：孩子每做對一道題獎勵8元;每做錯一道題罰款5元. 做完26道題后，誰也不用給誰錢. 問：孩子共做對、做錯幾道題？[5]（選編自：克拉維斯《代數》）

（2）昨日獨看瓜，因事來家. 牧童盜去眼昏花. 信步廟東墻外過，聽得爭差. 十三俱分咱，十五增加. 每人十六少十八. 問：人瓜各幾何？[6]（選編自：程大位《算法統宗》）

練習3 小組合作討論，先列出對應二元一次方程組，并嘗試列出對應一元一次方程.

（1）甲、乙兩人各有錢若干. 甲若得到乙的，則有50;乙若得到甲的，則也有50元，問：甲和乙各有多少錢？[7]（選編自：《九章算術》）

（2）甲、乙兩人各有錢若干. 若甲得到乙的7元，則甲的錢是乙的5倍多1;若乙得到甲的5元，則乙的錢是甲的7倍多2. 問：甲、乙各有多少錢？[8]（選編自：《計算之書》）

設計意圖 再次從多元文化的視角設計習題，拓展學生的知識視野. 二元問題在歷史上共分為4類，練習2屬于1、2類問題，練習3屬于3、4類問題. 對于練習2和練習3學生可通過一元一次方程來解決，并能列出對應的二元一次方程組. 其中，相較于練習2，練習3所列的一元一次方程結構較為復雜，通過比較，二元一次方程組結構簡潔、明了，一方面體現了學習二元一次方程組的必要性;另一方面也為如何求二元一次方程組的解留下懸念. 總之，練習2和練習3的設計旨在起到承上啟下的作用.

（6）課堂小結，升華概念

此環節旨在總結本節課所學內容，具體如下：

本節課學習了哪些知識以及思想方法？你有怎樣的感受？

設計意圖 借助希沃白板軟件，運用其中的思維導圖引導學生分別從基礎知識、思想方法以及情感態度3個方面回顧、總結所學內容以及自我感想.

（7）布置作業，拓展延伸

本環節結合當前教育理念，從差異性視角布置課后作業，具體如下：

必做題：

①教材第90頁復習鞏固第1題和第2題;

②本節課融入了豐富的、多元的數學史素材，課后請同學們查閱相關資料，并根據自身真實感受，以書面的形式談一談數學史的融入對你學習本節內容及對你的數學觀念有何影響？

選做題：

已知x，y滿足方程x2a+1+y3-2b=6. 請回答下列問題：

①當a，b為何值時，該方程為一元一次方程？

②當a，b為何值時，該方程為二元一次方程？

設計意圖 必做題的設計旨在檢測所有學生對基礎知識的理解、掌握情況以及了解不同類型學生在本節課中不同的自我感想;選做題的設計旨在根據不同類型學生的基本情況，了解他們的學習情況.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2024數學教學通訊中旬（07期）＼2024數學教學通訊中旬（07期） c＼aa-1.jpg> 數學史視角下踐行初中數學

課堂德育任務的教學反思

通過數學史的融入，在二元一次方程（組）概念的教學中，其蘊含的德育內容主要體現在以下4個方面：

1. 滋潤學生學習數學的“心田”

本文采用復制式或附加式的方式將中外古代數學史融入課堂教學之中，發揮數學史的趣味性和人文性. 例如，將國內有名的“雞兔同籠”問題和國外有趣的“騾子和驢”問題融入課堂教學，起到活躍課堂學習氛圍和吸引學生注意力的作用. 又如，將中外古代數學著作中記載的歷史名題以詩歌等形式呈現出來，激發學生學習興趣和動機.

2. 促進學生認識數學應用本質

數學史上的線性方程組問題具有一定的實際性和趣味性. 本文采用復制式或附加式的方式在教學中融入相關數學史料，體現數學史的教育價值. 例如，選編自：程大位《算法統宗》中的二元一次方程組問題，將數學與文學聯系起來，培養學生運用數學解決實際問題的能力，展現數學史的“學科聯系”. 又如，練習2和練習3中4類二元問題的層層遞進關系，隨著社會的發展，學習第3類和第4類二元問題顯得尤為重要，引導學生為什么學習二元一次方程（組），展現數學史的“社會角色”，讓學生感知一元一次方程與二元一次方程組之間的聯系和區別，初步體驗數學是一門不斷演進的學科.

3. 弘揚中華優秀傳統數學文化

中國有著五千多年的璀璨歷史，在這一歷史發展進程中，中國數學的杰出成就對中國乃至全世界的發展均起著至關重要的作用. 方程的應用就是其中的一部分，例如，本文選取中國古代數學著作《孫子算經》《九章算術》《算法統宗》中有趣、有名且經典的數學問題融入課堂教學之中，潛移默化地向學生呈現我國古代數學家的智慧結晶，弘揚中國古代優秀的數學杰作.

4. 滲透多元文化拓展學生視野

二元一次方程組問題在中外數學發展的歷史上豐富多樣. 本文從多元文化的視角選取中外古代數學著作中的二元一次方程組問題，展現數學史的“多元文化”. 例如，文中通過引導學生閱讀題意，提取關鍵詞，找出等量關系，培養學生抽象能力、模型觀念的核心素養以及閱讀能力. 此外，教師在分析問題和解決問題的基礎上，引導學生感受數學多元文化的魅力，開拓學生知識視野，豐富學生知識體系.

數學教材中的教學內容其背后大多蘊涵豐富的數學史料，同時數學史料中又蘊涵大量的德育內容素材. 在初中數學課堂教學中教師應當充分挖掘數學史料的德育內容，體現數學的育人功能和教育價值，促進每一個學生的學習與長遠發展.

參考文獻：

[1]汪曉勤，鄒佳晨. 基于數學史的數學學科德育內涵課例分析[J]. 數學通報，2020，59（03）：7-12+19.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]算經十書：孫子算經[M]. 郭書春，劉鈍，校點. 沈陽：遼寧教育出版社，1998.

[4]Heath，T. L. A History of Greek Mathematics[M]. London：Oxford University Press，1921.

[5]van der Vaerden，B. L. Geometry and Algebra in Ancient Civilization[M]. Berlin ：Spring-Verlag，1983.

[6]程大位. 算法統宗[M]. 鄭州：河南教育出版社，1994.

[7]郭書春. 匯校《九章算術》[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，2004.

[8]Siegler，L. E. Fibonacci′s Liber Abaci：A translation intomodern English of Leonardo Pisano′s Book of Calculation[M]. New York：Spring-Verlag，2002.