命題分析探

[摘 要] 開展解題探究，需要解析問題，分析命題，回歸教材知識考點，并通過思維引導的方式指導學生解析問題，明確解題的重點. 文章對一道模考題進行深度探究，探索命題考向，指導解題過程，以期對師生的教學備考有所幫助.

[關鍵詞] 拋物線;幾何;教學;數形結合

“解析問題，分析命題，回歸教材，教學探索”是中考備考階段重要的環節，有助于強化學生的解題思維，提升學生的綜合解題能力. 教師可選取具有代表性的中考真題或模考題，開展問題分析與教學指導.

問題呈現

問題 （2023年湖北十堰市統考壓軸題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經過點A（-4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）連接OC，點Q是直線AC上不與A，B重合的點，若S=2S，請求出點Q的坐標.

（3）在x軸上有一動點H，平面內是否存在一點N，使以A，H，C，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標;若不存在，請說明理由.

命題探索

本題是一道二次函數壓軸題，綜合性強，融合了拋物線、直線、三角形、菱形，題設三問，分別求拋物線的解析式、三角形面積關系解析、菱形存在性探究. 這是對學生知識、能力、思想方法等諸多方面的考查.

考題的后兩問為核心之問，第（2）問設定關鍵點，構建兩個三角形，給定兩個三角形的面積關系;第（3）問則是設定動點，探究是否存在滿足條件的菱形. 顯然兩問充分綜合了函數與幾何的核心知識考點，是一道優秀的模考題. 從問題的命制過程，可以管窺命題人對于本題所凝聚的心血與智慧.

優秀模考題，在構建與考查方式上可以凸顯出公平公正、探索性強、解法開放等特點，同時對于教學具有導向與引領作用. 教學中，教師需要關注問題的命題特色，從知識本源出發來探索.

特點1：命題取向——回歸教材

從整體來看，問題考查拋物線性質、三角形面積、菱形判定，這些都是源自教材的核心知識點. 只是在具體構建時命題人對其進行了整合改造，使得問題更為新穎、綜合性強，但問題所涉及的圖形是學生所熟知的. 上述以教材知識考點為基礎，采用綜合構建與深入挖掘的命題方式，使得問題回歸教材，立意又高于教材，這是中考所提倡的，可作為解題教學的重要題材. 考題回歸教材，也體現了對考生測評的公平性，能夠引導師生重視教材中的基礎知識，避免過于注重探究過難的問題.

特點2：考查過程——主線突出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確強調，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗等思維活動的過程，即學生在數學學習中，要注重開展思維活動，經歷探究過程，培養數學思維能力. 學生思維能力的提升是一個長期的過程，需要師生共同努力.

本模考題先是以“拋物線與直線相交”知識點為載體進行構建的，后續研究三角形的面積關系，菱形存在性，即以“相交→三角形面積→特殊圖形”為研究主線，設置問題情形，難度逐步加大. 學生在解決問題的過程中，需要經歷分析思考、作圖構建、推理轉化等思維活動，可再現數學探究的思維過程，從而提升綜合能力.

特點3：研究方法——數形結合

教師要指導學生掌握解析問題的一些基本方法，上述為典型的拋物線與幾何綜合的問題，涉及數形結合的思想方法. 從問題整體框架來看，題設條件與圖形對應匹配，設定了拋物線與直線的相交關系、關鍵點的位置. 而后續設問的圖形并未給出，需要學生自行補充完整. 學生在探究問題時，需要按照“讀題審題—理解圖形—完善圖形—運用性質”的方案來解析問題，可經歷用數形結合的方法解析問題的全過程，最終掌握函數與幾何綜合題的解析方法.

解題指導

在教學綜合性壓軸題時，教師要為學生提供一定的解題指導，串聯問題條件，設定分步動作，培養學生的解題思維. 綜合題的求解過程較為繁雜，教學中教師可以對其進行拆解，讓學生理解每一步的具體含義，對于較為關鍵的步驟，則可以引導學生思考，明確關鍵點. 下面對上述模考題進行解題指導.

1. 待定系數求解析式

第（1）問求解拋物線的解析式，屬于基礎問題，其命題目的有兩點：一是引導學生理解條件，讀懂圖形;二是考查待定系數方法. 教學中教師要讓學生明晰求解特殊參數b和c的關鍵，以及把握拋物線上兩點：A和C.

教學引導設置如下兩個問題：

①求解拋物線的特征參數，需要采用什么方法？

②對于本題需要利用哪兩個點，如何求解？

解題過程：采用待定系數法求解拋物線解析式.

第一步，明晰關鍵點坐標

根據題意可知，拋物線經過點 A（-4，0）和點C（2，6）.

第二步，點代入構建方程.

將點A和點C的坐標代入拋物線解析式y=x2+bx+c中，則有8-4b+c=0

2+2b+c=6，可解得b=2

c=0，所以拋物線解析式為y=x2+2x.

解后思考：待定系數法是求解解析式的重要方法，可用于求解直線或曲線的特征參數，教學中教師要引導學生明晰“特征參數?點坐標”的對應關系，明晰構建方程是求解參數的重要途徑.

2. 面積模型轉化求點

第（2）問給定了兩三角形的面積關系，求解點Q的坐標，屬于與面積相關的問題，難度適中，對學生的解析能力要求較高. 命題目的有三點：一考查三角形面積模型;二是考查轉化思維;三是考查數形結合思想方法. 教學中教師要引導學生觀察分析核心條件——S=2S，根據點坐標確定△OAC的面積可求，從而使學生明晰解題的關鍵思路：構建△OAQ的面積模型，建立方程求坐標參數.

教學引導設置如下三個問題：

①觀察分析核心條件：S=2S，哪個三角形的面積可求？可以得出什么結論？

②結合點坐標的具體情況，如何構建△OAQ的面積模型？

③如何求解點Q的坐標？

解題過程：先轉化分析面積關系條件，再構建三角形面積，最后列方程求點坐標.

第一步，轉化核心條件

根據條件可知點A（-4，0）和C（2，6），顯然△OAC的面積可求，即S=×4×6=12，所以△OAQ的面積為S=2S=24.

第二步，構建面積模型

點O和A均位于x軸上，且坐標已知，可將△OAQ視為是以OA為底，點Q為頂點的三角形，則其面積可以表示為S=·OA·h（其中h表示點Q到x軸的距離）.

第三步，設定點Q坐標.

設定點Q的坐標，已知點Q在直線AC上，根據點A和點C的坐標，采用待定系數法可求出AC的解析式為y=x+4，故可設點Q（m，m+4）.

第四步，構建方程求解

結合點Q的坐標，可知△OAQ的面積可以表示為S=×4×m+4=24，從而可解得m=8或m=-16. 當m=8時，點Q（8，12）;當m=-16時，點Q（-16，-12）. 分析可知，兩點均滿足條件.

解后思考：上述展示了與面積關系相關的求點問題的解析轉化思路，解后需要引導學生關注三點：

一是注意分析面積關系條件，可采用直接簡化或間接轉化的方法;

二是重視面積模型的構建方法，明確圖形的底和高;

三是注意審視結論，上述解出了兩個點，應討論是否均滿足條件，同時從圖形視角思考，顯然點Q可以位于x軸的上方，也可以位于x軸的下方.

3. 分類討論構建模型

第（3）問是菱形存在性問題，設定了動點，討論滿足條件的點N. 由于具體模型未定，教學中教師要指導學生采用分類討論的思維方法，分別構建模型，結合菱形的判定方法來開展. 本問主要考查兩點：一是分類討論、數形結合建模的思維方法;二是菱形存在的性質定理. 在實際探究時，教師要引導學生明確分類的標準，即菱形的對角線，這也是后續討論的基礎.

教學引導設置如下三個問題：

①整體上采用何種策略和思維方法？

②觀察圖形，若AHCN為菱形，則可能存在幾種情形？根據菱形的對角線情形可分幾種討論模型？

③建模討論中明確菱形成立使用了何種性質定理？

解題過程：采用“假設—驗證”的策略，同時結合分類討論與數形結合建模的思維方法來構建解題過程.

第一步，假設成立，明確討論模型

假設存在一點N，使以A，H，C，N為頂點的四邊形是菱形. 分三種情形：①以AC為菱形的對角線;②以AH為菱形的對角線;③以AN為菱形的對角線.

第二步，分別建模，構建菱形求解.

分三種情形建模討論，求解點N的坐標.

情形①：以AC為菱形的對角線，如圖2所示，由條件可求得點B（0，4），所以OA=OB=4，則∠BAO=45°，故∠NAO=90°，所以菱形AHCN為正方形，所以AH=AN=NC=6，所以點N的坐標為（-4，6）.

情形②：以AH為菱形的對角線，如圖3所示，則點C和點N關于x軸對稱，易得點N的坐標為（2，-6）.

情形③：以AN為菱形的對角線，如圖4所示（可細分為兩種情形），結合點A和點C的坐標可知，AC==6，結合性質定理可知CN=AC=6，點N的坐標分別為（2+6，6）和（2-6，6）.

第三步，綜合模型，確定最終結論.

綜上可知，滿足條件的點N有四個，分別為（-4，6），（2，-6），（2+6，6）和（2-6，6）.

解后思考：對于存在性問題，采用“先假設，后驗證”的策略;對于不確定的模型問題，采用分類討論、數形結合的思想方法. 對于上述菱形存在求點坐標問題，教師要引導學生明晰每一情形討論所借用的性質定理：①菱形對角線平分頂角;②菱形的對稱性;③菱形的邊長相等.

寫在最后

命題分析、過程引導、解后思考是解題教學的重要環節，教學每個環節時教師要明晰核心，引導學生充分認識問題，掌握構建方法，深刻領悟方法精髓，以此發展學生的數學思維. 教師要深度剖析典型問題，提煉解析策略與思維方法，并引導學生后續適度拓展.