“一圖一題一課”視角下的初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)

[摘 要] 文章立足“一圖一題一課”的教學(xué)模式，以人教版教材例題為起點(diǎn)，一題多變，層層遞進(jìn)鏈接長(zhǎng)沙市中考真題，呈現(xiàn)“圓與相似三角形的綜合應(yīng)用”復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在提高初三復(fù)習(xí)課的效率，發(fā)展學(xué)生的高階思維能力.

[關(guān)鍵詞] 一圖一題一課;復(fù)習(xí)課;圓與相似三角形

復(fù)習(xí)的目的是“溫故而知新”. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“溫故”指構(gòu)建更完整的知識(shí)體系，“知新”指促進(jìn)高階數(shù)學(xué)思維能力的形成. 當(dāng)前初三復(fù)習(xí)課中仍然存在針對(duì)性不強(qiáng)、缺乏有效整合的知識(shí)的復(fù)習(xí)，試圖通過大量的練習(xí)使學(xué)生掌握解題技巧. 這與新課標(biāo)所要求的“在發(fā)現(xiàn)知識(shí)和收獲技能的同時(shí)，積淀一些超越具體知識(shí)、技能的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[1]”仍有不小差距. 而“一圖一題一課”的教學(xué)模式圍繞一個(gè)基本圖形深入探究題目，通過一題多解、一題多變，借題發(fā)揮，探索規(guī)律和方法，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“做一題，通一類，會(huì)一片”[2];通過充分挖掘教材習(xí)題潛在的教學(xué)價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，落實(shí)核心素養(yǎng). 基于此，筆者設(shè)計(jì)了“圓與相似三角形的綜合應(yīng)用”復(fù)習(xí)課，通過問題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生將孤立的知識(shí)進(jìn)行串聯(lián);通過一題多變，幫助學(xué)生提煉通性通法.

基本情況

1. 教學(xué)內(nèi)容

“圓”與“相似三角形”分別位于人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章和九年級(jí)下冊(cè)第二十七章，是教材的重要章節(jié). 圓與相似三角形的綜合應(yīng)用涵蓋眾多知識(shí)點(diǎn)，是測(cè)評(píng)學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)的好素材，也是中考的熱門考點(diǎn). 學(xué)生已掌握?qǐng)A和相似三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，具備一定的圓和相似三角形的證明與計(jì)算技能，但是分析和解決它們的綜合問題的能力較為薄弱. 因此，本課聚焦核心素養(yǎng)，結(jié)合相似三角形的知識(shí)，將教材中“圓周角”的例題進(jìn)行改編，一圖貫穿一課;引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析基本圖形，激活舊知;設(shè)置合作探究的環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法求解同一題;著眼由特殊到一般將例題進(jìn)行系列改編，層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生在歸納總結(jié)中提升數(shù)學(xué)思維.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過分析教材例題的改編題，回顧圓的相關(guān)定理和相似三角形的常見模型，深化圓和相似三角形的性質(zhì)是判斷線段或角關(guān)系的重要工具;

（2）能夠結(jié)合條件聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，解決所求的線段數(shù)量關(guān)系;

（3）經(jīng)歷由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的解題過程，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提升“四能”，促進(jìn)運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展.

教學(xué)過程

1. 識(shí)圖審圖，激活舊知

例題 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點(diǎn)D，連接CD，BD. 請(qǐng)回答以下問題：

（1）你能得出哪些線段或角的數(shù)量關(guān)系？

（2）延長(zhǎng)AC，你能得到什么結(jié)論？

（3）圖中有哪些相似三角形？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生用圓和相似三角形的相關(guān)知識(shí)分析問題，借題回顧舊知. 學(xué)生能快速發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息AB⊥AC，BD⊥CD和BD=CD;分類歸納圖中包含的相似三角形，分別是蝴蝶型△ABE∽△CDE和△ACE∽△BDE、旋轉(zhuǎn)型△ABD∽△AEC和△ABE∽△ADC、母子型△ADC∽△CDE和△ADB∽△BDE.

2. 問題驅(qū)動(dòng)，合作探究

變式1 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點(diǎn)D，連接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求CD的長(zhǎng);（2）求AD的長(zhǎng).

思路分析：（1）由例題的結(jié)論，借助勾股定理即可求CD的長(zhǎng);（2）從整體和局部觀察線段AD所在的三角形，均不便于求AD的長(zhǎng). 注意到圖中的∠BAD和∠CAD都是45°角，可借此構(gòu)造等腰直角三角形達(dá)到求AD的長(zhǎng)的目的.

解：（1）因?yàn)锽C是圓O的直徑，所以∠BAC=∠BDC=90°. 在Rt△ABC中，BC=10，AB=8，所以AC=6. 因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAD=45°. 由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠BCD=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，因此CD=5.

（2）方法1：如圖2，作CF⊥AD交于點(diǎn)F，易知△ACF是等腰直角三角形，又AC=6，所以AF=CF=3.

在Rt△CDF中，CD=5，CF=3，所以DF=4. 因此，AD=AF+DF=7.

方法2：如圖3，作DG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易知△ADG是等腰直角三角形，所以AG=DG. 設(shè)CG=x，則DG=6+x. 在Rt△CDG中，DG2+CG2=CD2，即（6+x）2+x2=（5）2，解得x=1（x=-7舍去），所以DG=7. 因此，AD=DG=7.

方法3：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易知△ADH為等腰直角三角形，∠ADH=∠BDC，所以∠ADH-∠ADC=∠BDC-∠ADC，即∠CDH=∠BDA. 又CD=BD，DH=AD，所以△CDH≌△BDA（SAS）. 所以AH=AC+CH=14，在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

方法4：如圖4，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HCD，使得BD與CD重合，顯然△ABD≌△HCD，所以AB=HC=8，∠ABD=∠HCD. 因?yàn)樗倪呅蜛BDC內(nèi)接于圓O，所以∠ABD+∠ACD=180°，因此∠ACD+∠HCD=180°，即A，C，H三點(diǎn)共線，所以AH=14. 在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

設(shè)計(jì)意圖 此題主要考查利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形求AD的長(zhǎng)，進(jìn)一步探究基本圖形中圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線AD的長(zhǎng)與已知線段長(zhǎng)的關(guān)系. 學(xué)生可以想到作方法1中的輔助線，當(dāng)然過點(diǎn)B作AD的垂線具有等同效果，而在原圖的外部添輔助線是學(xué)生的短板. 因此，教師組織學(xué)生合作構(gòu)造以∠CAD為底角的等腰直角三角形，分類討論以點(diǎn)C和點(diǎn)D為底角頂點(diǎn)或直角頂點(diǎn)，自主作圖，分析所作三角形是否利于求AD的長(zhǎng). 經(jīng)歷一題多解，對(duì)比歸納不同解法之間的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生提升解題技能，體會(huì)分類討論和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

變式2 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點(diǎn)D，連接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求DE的長(zhǎng);（2）求AE·DE的值.

思路分析1：由△ADC∽△CDE得對(duì)應(yīng)邊成比例，可求DE的長(zhǎng);用AD-DE表示AE，即可計(jì)算出AE·DE的值.

方法1：（1）由例題知△ADC∽△CDE，所以= . 由變式1知AD=7，CD=5，所以DE=.

（2）因?yàn)锳E=AD-DE=7-=，所以AE·DE=.

思路分析2：根據(jù)變式1可確定△ABE和△CDE的相似比，求DE的長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為求其對(duì)應(yīng)邊BE的長(zhǎng)，進(jìn)而聯(lián)想到用角平分線分線段成比例計(jì)算BE的長(zhǎng);求AE·DE的值也可以通過△ABE∽△CDE轉(zhuǎn)化為求BE·CE的值.

方法2：（1）根據(jù)角平分線分線段成比例，==，又BE+CE=10，所以BE=，CE=. 由例題知△ABE∽△CDE，所以=，即=，解得DE=.

（2）因?yàn)椤鰽BE∽△CDE，所以=，即AE·DE=BE·CE=×=.

設(shè)計(jì)意圖 此題在變式1的基礎(chǔ)上，借助母子型和蝴蝶型相似三角形，深入研究基本圖形中的圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系. 這是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，所以教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生充足的試錯(cuò)時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考，經(jīng)歷不同的解題路徑，豐富解決這類問題的經(jīng)驗(yàn).

3. 關(guān)聯(lián)方法，探尋本質(zhì)

變式3 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點(diǎn)D，連接CD，BD. 若tan∠ABC=，求的值.

思路分析1：在Rt△ABC中，由tan∠ABC=可設(shè)AC=3x，則AB=4x. 用變式1四種方法中的任一種，將線段AE，DE用含x的式子表示即可.

方法1：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 在Rt△ABC中，設(shè)AC=3x，則AB=4x，所以BC=5x，CD=x. 由變式1知，HC=AB=4x，所以AH=7x，在等腰直角三角形ADH中，AD==x. 由變式2知，=，解得DE=x，于是AE=AD-DE=x-x=x，所以=.

思路分析2：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例將的值轉(zhuǎn)化為更容易求的線段比值，所以添輔助線構(gòu)造“8”字相似三角形.

方法2：如圖5，連接OD，作AI⊥BC交于點(diǎn)I. 在等腰直角三角形BCD中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，所以DO⊥BC. 于是AI∥DO，則有△AEI∽△DEO，所以=. 與方法1相同，設(shè)AC=3x，則AB=4x，BC=5x. 因?yàn)镾△ABC=BC·AI=AB·AC，所以AI=x. 又DO=x，所以==.

設(shè)計(jì)意圖 將變式2的條件“BC=10，AB=8”改成“tan∠ABC=”，提示學(xué)生設(shè)未知數(shù)表示AB，AC兩線段的長(zhǎng). 已知線段的長(zhǎng)由數(shù)變成字母，體現(xiàn)由特殊到一般的思維過程，考查學(xué)生的正向遷移能力. 引導(dǎo)學(xué)生在這個(gè)基本圖形中歸納出已知兩線段長(zhǎng)，可求其他任意線段長(zhǎng).

變式4&nbs2w/SDJQnFGKIuVUtJ2rkKjaZLPGG8ULL6OgTwOdYD1Y=p; 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點(diǎn)D，連接CD，BD. 若AB=m，AC=n，CD=p，用含m，n，p的式子表示AE·DE和.

思路分析1：聯(lián)系變式3，AC與AB的比值由變成，運(yùn)用類比思想，分別用含m，n，p的式子表示AE和DE.

方法1：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 由變式1知，HC=AB=m. 所以AH=m+n，在等腰直角三角形ADH中，AD==. 由變式2知，=，所以DE=. 又m2+n2=2p 2，所以AE=AD-DE=-=，所以AE·DE=·==，=.

思路分析2：考慮與AE和DE有關(guān)的相似三角形，用整體法求兩線段乘積和商的值.

方法2：由變式2知△ADC∽△CDE，所以DC2=DE·DA，即p 2=DE·AD ①. 易證△ACE∽△ADB，所以=，所以mn=AE·AD ②. 又AE+DE=AD，由①②兩式相加得，p 2+mn=AD2;由①②兩式相乘得，p2·mn=AE·DE·AD2，所以AE·DE== . 由②①兩式相除得=.

設(shè)計(jì)意圖 在變式3的基礎(chǔ)上，保留圖中圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)的一些特征，即AB⊥AC且BD=CD，進(jìn)一步將條件一般化，使學(xué)生在分析的過程中發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，抽象出不變的圖形元素，歸納出一般的解題方法，形成幾何模型.

4. 重構(gòu)知識(shí)，鏈接中考

討論：請(qǐng)從知識(shí)、方法、思想三個(gè)方面總結(jié)本課所學(xué).

課后延伸：當(dāng)圖中圓內(nèi)接四邊形的一組鄰邊相等、另一組鄰邊不互相垂直時(shí)，哪些數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，哪些數(shù)量關(guān)系不變，又該如何解決問題？請(qǐng)完成變式5.

變式5 （2022年長(zhǎng)沙中考第24題節(jié)選） 如圖6，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，當(dāng)=，AB=m，AD=n，CD=p時(shí)，試用含m，n，p的式子表示AE·CE.

設(shè)計(jì)意圖 回顧本課，從教材例題出發(fā)鏈接到中考真題，變式鏈的設(shè)計(jì)遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的原則，打破學(xué)生的知識(shí)壁壘，使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)圓與相似三角形的綜合問題的分析思路，體會(huì)變式中不變的數(shù)學(xué)方法和思想.

教學(xué)思考

1. 眼里有學(xué)生

“一圖一題一課”的教學(xué)模式與其他教學(xué)模式一樣，應(yīng)遵循學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，轉(zhuǎn)變知識(shí)本位的觀念，做到眼里有學(xué)生，重視個(gè)體多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，在以人為本的學(xué)生觀的指導(dǎo)下選題編題和設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié). 本課起始于教材例題，讓學(xué)生從低起點(diǎn)進(jìn)入課堂，經(jīng)歷一題多變，一直變到中考?jí)狠S題，層層推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

2. 變中有不變

一題一課的變式教學(xué)不是隨意變，而是有目標(biāo)和嚴(yán)密的邏輯性，與其中蘊(yùn)含的思想方法有密切的聯(lián)系[3]. 變式鏈的生成自然、脈絡(luò)清晰;雖然條件在變，但是有一組鄰邊相等的圓內(nèi)接四邊形及相似三角形的基本圖形不變，圓內(nèi)接四邊形的線段數(shù)量關(guān)系在被推廣. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式鏈中圖形的本質(zhì)，歸納解決問題的通法，形成基本幾何模型，提煉類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 兼顧技能和思想，落實(shí)素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，這是“一圖一題一課”的魅力所在.

3. 思路有引領(lǐng)

羅增儒教授指出，缺乏解題方向的思路分析和解題思想的本質(zhì)提煉，叫作講“推理”而不講“道理”. 本課的教學(xué)環(huán)節(jié)由一題多變、一題多解支撐，教師通過設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的題目為學(xué)生搭建臺(tái)階是一種隱形的解題思路引導(dǎo)，使學(xué)生垂直思考問題. 而具體問題中的思路分析依托于有效提問，例如，變式1中，通過提問根據(jù)目前已知的線段長(zhǎng)能否求AD的長(zhǎng)、由45°角能聯(lián)想到哪些知識(shí)、怎樣以及有幾種方法構(gòu)造等腰直角三角形，引領(lǐng)學(xué)生自主分類作圖，并用不同的方法推出所求，順勢(shì)概括出不同解法的共同點(diǎn)是利用解直角三角形求線段長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

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