深度理解方能自如應用

[摘 要] 弱基礎認知、無關聯認知、單形式認知是當下數學新知教學中學生對數學知識淺層認知的常見現象. 為了幫助學生深度理解數學新知，教師可以引導學生從四個方面做出努力：全程歷練，厘清來龍去脈;充分辨析，把握新知本質;正向關聯，減少無關干擾;全面認知，重視形態轉換.

[關鍵詞] 深度理解;新知教學;案例分析

對數學知識的深度理解，是學生能夠自如應用數學知識的基礎. 與小學相比，在初中階段，學生將會學習很多數學的概念、性質、判定、公式，對這些數學知識的認知也將從文字、圖形、符號等多個角度展開. 這無形中給學生深度理解這些數學知識帶來了困難，也就自然而然地影響到他們自如應用這些知識. 那么，在數學教學中，教師該從哪些方面下手突破這一困境，促進學生對知識的深度理解呢？本文擬結合學生的兩個“意外”錯誤談談筆者的教學建議，供大家參考.

學生對數學知識淺層認知的

幾種常見現象

學生不能深度理解數學知識，常會導致其在應用知識時考慮不全面，形成知識應用的盲區，導致問題解決出現偏差，形成“意外”錯誤. 這種缺乏深度的淺層認知對學生的數學學習有百害而無一利. 在日常教學中，學生對數學知識的淺層認知主要有以下幾種.

1. 弱基礎認知

我們知道，任何一個數學新知都是建立在已有數學知識體系之上的. 因而，數學新知的探索應重視其生長背景的梳理，要讓學生明晰其生長基礎，并在基礎上找到新知的生長點. 如，二次根式的定義“形如（a≥0）的式子”的探索基礎是算術平方根，因而，在探索二次根式定義前，教師自然就應帶領學生充分梳理算術平方根的相關知識. 然而，當下有些數學課上，教師僅重視知識本身的教學，而淡化了新知的認知基礎的梳理，讓新知成為無源之水，“基礎不牢，地動山搖”，學生在應用新知解決問題時會出現“意外”錯誤就在所難免了.

2. 無關聯認知

知識總是在關聯中融入學生的認知結構的. 在數學教學中，教師既要重視數學知識本身，又要注重數學知識間的關聯，讓學生在結構中學習知識，應用知識. 比如，學習圓中的“垂徑定理”，教師不僅要讓學生知道“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”，還要引導學生發現基于這一結論所形成的直角三角形，并進一步將其與勾股定理、方程等關聯起來. 但實際教學中部分教師對此的關注卻十分不夠，沒有在一開始就讓學生努力去建構“垂徑定理—直角三角形—勾股定理—方程”的知識關聯，而是在應用中遇到困境后，才想到讓他們去建構. 顯然，這種無關聯認知對學生體會數學的整體性、系統性是不利的.

3. 單形式認知

初中階段的數學知識，常有不同的表示形式. 數學教學中，教師不僅要引導學生理解數學知識的不同形式，還要讓他們知道同一知識的不同形式之間的對應關系. 比如，探索單項式乘以多項式的運算法則時，教師要引導學生同時理解法則的文本表述、符號表述m（a+b+c）=ma+mb+mc和圖形表述（如圖1）及其相互之間的關系. 而實際上，對該知識的教學，部分教師將著力點放在了符號表述m（a+b+c）=ma+mb+mc上，這樣的教學顯然無助于學生形成幾何直觀、抽象能力等素養.

兩則教學片段及其簡析

1. “不等式的性質”例題教學

教學片段：教師投影例1，用不等式的性質解不等式，-2x>-6.

在學生解答后，教師投影其中一名學生的步驟：-2x÷（-2）>-6÷（-2），x<3，并請該生說說自己是怎么想的. 在該生給出“不等式兩邊先同時除以-2，但不改變不等號的方向，計算最終結果時再改變不等號的方向，有x<3”的思路后，教師追問：“這位同學的解法有錯嗎？錯在哪里？”學生1指出“根據不等式的性質3，在不等式兩邊同時除以負數，不等號的方向應與運算同步改變”. 隨后教師引導學生小結“運用不等式的性質3時，不等號方向的改變應與除以一個負數的運算同步進行，不能到給出最終結果時才進行”.

片段簡析：不等式的性質3是不等式性質教學中的難點，也是學生解決問題時的易錯點，但如案例中這種錯誤還不是十分常見的. 因為，在后續的解題中，類似于“-2x÷（-2）> -6÷（-2）”這樣的過程應該是不會再出現的，學生也不會再有犯類似錯誤的機會了. 但從教學片段中看，或許犯這種錯誤的學生還不少. 究其原因，很有可能是教師教學時沒有關注到性質的文本表述與符號表述的關聯，對由“a<b，c<0”到“ac>bc”的變化未結合文本表述作對照分析，導致學生對性質3的理解停留在無關聯的表層認知，形成了應用的盲區.

2. “多邊形”例題教學

教學片段：教師投影例2，已知一個多邊形的內角和是1080°，求這個多邊形的邊數.

在學生解答后，教師投影學生的步驟：設多邊形的邊數為n，根據題意，得（n-2）×180=1080，所以n=6. 因為，n-2=6-2=4，所以，這個多邊形是四邊形.

教師引導學生分析上述解題過程，明確其結果出錯，并就“為何要再減去2來求邊數”進行了追問. 出錯學生告訴大家，他求多邊形的邊數時，受到了多邊形內角和公式推導過程的影響，誤以為（n-2）是多邊形的邊數. 教師進一步追問：那（n-2）是什么？該生在稍作停頓后，告訴大家，是將n邊形轉化成三角形時，三角形的個數. 最后，該生反思：我設的是多邊形的邊數，求得的n就是最后的結果，這與所學公式是一致的，不應該再減去2了.

片段簡析：筆者以為學生出現這種“意外”錯誤，很大程度上與探索過程中對認知基礎的梳理不到位有關. 在學生學習多邊形前，對三角形的邊和角已經有了充分的認知. 在探索多邊形的內角和公式時，如果教師能夠引導學生充分感知通過構造對角線將多邊形轉化為熟悉的三角形來解決問題，并厘清n，（n-2）和（n-2）×180°的關系，這樣學生就不至于在應用公式解決問題時出現上述低級錯誤了.

促進學生深度理解新知的幾點

建議

在兩則教學片段中，學生對所學的不等式的性質、多邊形內角和公式還是有初步認識的，只不過，因其理解的深度不夠，導致其應用時在一些細節上出現了“意想不到”的偏差，這也給教學提出了更高的要求. 我們要從促進學生發展的角度，建構促進學生深度理解的新知教學.

1. 全程歷練，厘清來龍去脈

經歷完整的探索過程是學生獲取數學“四基”的根本路徑. 在數學新知教學中，教師不能貪快求簡，在知識的探索速度和探索時間上動腦筋，應從有利于學生深度理解的角度創設適合學生的問題情境，引導他們從豐富的真實情境中抽象數學問題、在細致的數理剖析中發現共性特征、在嚴謹的推導驗證中歸納數學知識、在即時的鞏固訓練中應用新知. 通過個體對新知猜想、發現與應用的完整歷練，使學生厘清知識的“來龍”與“去脈”[1]，全方位認識所學的數學新知.

2. 充分辨析，把握新知本質

在數學學習中，相近的知識無處不在. 在新知教學中，要注意對這些相近知識進行充分辨析，避免由于知識外形上的相似導致學生理解或應用出現偏差，形成意外失誤. 比如教學平方根和算術平方根，教師就應通過概念的深度解讀、反復應用來引導學生充分辨析“非負數a的算術平方根（a≥0）”和“非負數a的平方根±（a≥0）”間的差異，對算術平方根和平方根的辨析，既要關注到和±在外形上的差異，又要將這種差異在定義的歸納與應用中充分體現出來. 唯有如此，才能讓學生深度理解這兩個概念，從而在應用時“不亂套”.

3. 正向關聯，減少無關干擾

數學知識的獲得與應用有著十分肥沃的數學“土壤”. 其生長過程關聯著大量的數學“四基”[2]. 因此，教師要對數學知識生長與應用過程中的關聯知識加以甄別，要讓與新知關聯度較大的知識與技能高頻次出現，而那些關聯度不大的知識與技能或者學生后續學習中基本不會用到的知識與技能則應盡可能少出現，甚至不出現. 所以，在創設課時教學情境時，教師要充分評估所設計的問題是否會有非“主流”，如果有，應對問題的情境或設問方式做出必要調整，避免學生在獲取新知中走彎路、走遠路，讓學生能準確把握新知的本質.

4. 全面認知，重視形態轉換

前文中已經反復強調初中階段數學學習常會從圖形、文字、符號等三個維度來表示同一個數學知識，因此，教師在教學過程中應充分考慮學生的認知習慣，著力引導學生從不同的維度認識同一個知識，真正把握住新知表達方式的多樣化，從而讓學生在獲得概念和應用概念的過程中，反復體會到不同形式下的概念的差異性和一致性. 要特別注意將抽象的符號表示、文本陳述與形象具體的圖形表示關聯起來，讓新知的不同形態同步出現在學生的認知過程中，為他們更好地應用這些新知解決問題清除障礙.

深度理解，不僅體現在對數學知識的整體結構的準確把控上，還體現在對知識的生長路徑、發展方向和應用路徑的清晰認知上. 數學教學，學生只有深度理解了所學的數學知識，才能在面對復雜問題情境時，合理選擇、準確應用. 本文結合學生的兩個“意外”錯誤的教學處置，分析了達成學生對數學新知深度理解的幾個策略，為學生對新知的自如應用找到了一些可用的路徑，但由于本人對數學新知教學的理解還不夠深入，行文中難免有疏漏之處，還請各位同行專家批評指正，并期待您能分享數學新知教學中促進學生深度理解的一些好的做法.

參考文獻：

[1]印冬建. 初中數學“鏈+”課堂的建構與思考——以“15.1從分數到分式”為例[J]. 中學數學，2021（16）：17-20.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2022.