立足數學實驗 發展抽象素養

[摘 要] 數學抽象是促使學生形成理性思維的基礎，是數學核心素養的六大要素之一，對學生個體的發展具有重要價值. 數學實驗的開展，可有效促進數學抽象素養的發展. 文章主要從如下幾方面展開探索與思考：以實驗的“做”，促進抽象素養發展;以實驗的“思”，促進抽象素養提升;以實驗的“引”，催生抽象方法形成;以實驗的概括，促進抽象能力發展.

[關鍵詞] 數學實驗;抽象;素養

學科核心素養是連接宏觀教育與個體發展的橋梁，抽象素養作為核心素養的重要組成部分，受到廣大教育工作者的關注. 在“互聯網+”的時代，如何立足于數學實驗，發展學生的數學抽象素養呢？這是為社會培育高素質創新人才必須思考的現實問題. 研究發現，學生通過手腦并用的數學實驗活動，可在“做”的支架下開展學習，提升學力. 同時，在實驗過程中，學生借助相關工具進行實操，通過觀察、分析與思考發現研究對象所存在的數學規律.

以實驗的“做”，促進抽象素養

發展

初中階段的學生依然以直觀形象思維為主，但初中階段所涉及的數學概念、定理、法則等卻越來越抽象，導致不少學生難以從直觀的角度去理解與應用. 數學實驗的介入，讓學生通過手腦共同協作來“做”數學. 實驗的過程離不開學生積極主動的參與，學生在“做中學”，可獲得更多思考與感悟.

從概念教學的角度來分析，教師根據概念特征與學生的認知發展規律與水平設計實驗活動，不僅能讓學生在實驗過程中理解概念，還能借助實驗揭露知識本質，提煉數學思想，對概念形成深刻理解. 縱觀學生在實驗加工后的練習反饋情況，不難發現實驗所揭露的是最原始的現象，因此能帶給學生更直觀的視覺沖擊，促使學生獲得更深刻的理解與感悟.

數學知識與現象往往就在實驗的輔助下，經歷由具體到抽象的發展過程，學生的思維也因此得以發展. 同時，數學練習缺乏直觀性，對學生的思維要求較高，學生從單純的練習訓練中難以發現數量間的關系的常規結構與一般規律，這也是需要關注數學實驗的重要因素之一.

案例1 “有理數的加減法”的教學.

本章節設置一個實驗活動，意在幫助學生通過實驗操作抽象有理數加減運算的規律，達到深度理解、靈活應用的目的.

實驗過程：如圖1所示，若以數軸原點為起點，朝向數軸的左側數5個單位長度，停頓之后再向數軸的右側數3個單位長度，最終停留在數軸上“-2”處.

列式為：（-5）+（+3）=-2.

分析：在數軸上數數，屬于一次以物理現象為背景的數學抽象過程. 實驗中的“左、右”的本質為“意義相反的兩個量”，因此這是一次“數到數量”的抽象，兩次連續運動的活動實現了“數量關系——加法運算”的抽象. 在親身操作演示中，學生自然而然地借助實驗來描述算式. 此過程彰顯了特殊到一般的思維歷程，凸顯了數學探索中常用到的由一個延伸到一類的方法，此為提煉事物屬性的基本方法，對發展學生的抽象素養具有重要意義.

此實驗過程，讓學生對數量間的關系產生了明確認識，實現了從具體事物抽象出普遍一類事物的一般規律，并用數學語言來描述相應的數學現象. 因此，數學實驗活動的開展是發展學生“三會”能力的基礎，反映了數學抽象的概括性與一般性等特征. 學生通過實驗充分感知了數學抽象的層次發展情況，即從肉眼直接觀察到用數學符號進行表征. 通過實驗實現“做中學”，真正發展了學生的抽象素養.

以實驗的“思”，促進抽象素養

提升

所謂的數學實驗，指借助一定的技術手段，實施數學化的實操過程，學生對研究對象的數學化特征實施抽樣、觀察、測試等，從而有效解決問題的一種科學方法. 簡而言之，數學實驗就是在一定工具與數學思維的輔助下，學生動手、動腦開展活動的過程. 從實操到數學語言、符號的表征，是數學思維化的過程，這也是實現數學抽象，從直觀操作到深入問題核心的過程.

數學實驗從事物表象到數學問題的提出，凸顯實驗所展示問題的特殊屬性到一般共性，揭示數學抽象過程循序漸進的發展. 學生的思維經歷“具體—抽象—概括—具體”的過程，有效促使學生的抽象思維在實驗的“思”中發展.

案例2 “相似三角形的應用”教學.

實驗內容：陽光照射下的戶外實驗，分析生活實際中的物品在平行光照射下，高與影子長度之間存在怎樣的聯系.

具體操作：平滑的空地上垂放三根長短不一的桿子，在陽光的照射下，幾名學生在同一時間分別測量桿子本身的長度與被太陽照射之后形成的影子長度，測量而來的數據整理到表1中.

師：各組以合作學習的方式分析表格中的數據，并對你們的發現談一些想法.

分析：在該實驗過程中，分別測量三根木桿的長度與影子的長度，并對其比值進行分析，屬于典型的數學抽象過程. 學生邊測量、邊統計與計算，不僅對該實驗產生明確的認識，還通過合作學習對結論初步形成共識.

同一時間的一組數據可以作為從特殊到一般的總結嗎？顯然是不夠的. 想要實現一般性的總結，需在“質疑”的基礎上，教師帶領學生驗證自己的猜想，并在思考中借助其他時間的實驗，繼續測量、記錄、計算，觀察結論的特點. 不同時間的實驗能促進學生的思維發展，也能驗證“從特殊到一般”的結論.

值得注意的是，在“互聯網+”的時代，我們在實施動手操作實驗的同時，還可借助多媒體的演示功能進行實驗操作，這種方法可將很多手工無法完成的任務直觀地展示出來，為更好地理解現象本質服務. 如測量桿子與影長實驗，在學生自主操作的基礎上，教師還可借助多媒體進行實驗演示，讓學生對現象、數據、關系等一目了然.

一般情況下，數學實驗涉及觀察、測量等，為抽象數學結論服務. 從某種程度上來說，人腦對數學事物的理解需經歷“思—悟—理”的過程，隨著對問題的深刻理解，學生可形成良好的數學抽象素養.

以實驗的“引”，催生抽象方法

形成

雖說當下的課堂需秉承“以生為本”的理念，但教師在課堂中的引導作用不容小覷，尤其是數學實驗活動的開展，教師的“引”顯得更加重要. 課堂上所探索的數學實驗基本都屬于學生未知的領域，若完全放權給學生，則會導致實驗缺乏明確的方向而亂套，教師適當的引導能給學生指明方向，讓學生朝向既定的目標去操作與思考. 因此，實驗的“引”不僅能給課堂爭取更多的時間，還能顯著提高實驗效率，進而催生抽象方法的形成. 基于此，教師可有針對性地加強實驗引導，讓學生在活動中感知數學抽象形成的過程，提升學力.

一般情況下，數學實驗的“引”遵循如下流程：辨別實驗對象—分化其物理屬性—抽象出相應的數學符號—數學屬性—概括一般性特征—數學化抽象—用數學語言概括.

案例3 “認識三角形”的教學.

實驗內容：要求學生從長度分別為3，4，5，6，9厘米的小棒中任取3根搭建三角形.

結合數學實驗研究的一般流程，教師引導如下：①辨別數學對象，給學生提供一些長度不一的小棒，讓學生初步觀察;②對不同長度小棒的物理屬性進行分析，思考長度不一樣的小棒與構建三角形之間是否存在什么聯系;③根據以上思考結論進行線段的初步抽象，即用不同長度的小棒與線段進行對應，讓思維經歷第一次抽象過程;④結合實驗過程與思考，進一步抽象數學屬性，分析任意三角形的三邊與線段長短的關系，此為數形結合抽象過程;⑤概括一般性特征，并非任意三根小棒都可以搭成一個三角形，只有任意兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度的情況下，才能有效完成首尾相連，否則無法形成三角形;⑥數學化抽象：兩邊之和大于第三邊，可構成一個三角形;⑦數學語言概括：a+b>c.

分析：在教師的引導下，學生親歷一般性的實驗流程，對三角形三邊關系進行實驗探索. 探索過程中，學生不僅經歷了成功與失敗，還在反復試錯與思考中不斷反思，真正實現“數—形”的轉化，促進了數學抽象素養的發展與數學思維能力的提升.

以實驗的概括，促進抽象能力

發展

魯賓斯提出，概括能力是體現智慧水平的關鍵指標. 數學實驗概括是指將實驗過程中所發現的一些現象的共性特征總結出來，用數學的眼光與數學的思維去觀察和思考這些特征，探尋其本質中的共性. 實踐證明，一個學生數學實驗概括能力的強弱直接決定了該生對知識本質的理解程度，因此，數學實驗概括能力對促進抽象素養的發展有著直接影響，這是值得每一個教育工作者關注的問題.

案例4 “平面直角坐標系”的教學.

實驗1：教師給定一些點的坐標，要求學生依次連接直角坐標系中的各個點，并說說連接后所獲得的圖形.

在這個實驗中，學生先尋找、描述、連接點，根據圖形形狀分別獲得“坐標到點”“點到圖”的抽象，再通過對“圖”的思考，發現點的對稱性與坐標間的關系. 學生根據這些實驗提煉相應的數學思想方法，在自主探究中提升對問題的解析能力.

實驗2：要求學生根據問題自主畫圖，完成填空.

問題1：在坐標系中標出點（2，-3）的位置，并根據圖示分析該點關于坐標系縱軸、橫軸對稱的點的坐標分別為______，______.

問題2：點（-2，3）關于x軸與y軸對稱的點的坐標分別為______，______.

問題3：一般情況下，點M（a，b）關于x軸與y軸對稱的點的坐標分別為______，______.

分析：該實驗應用了典型的從特殊到一般的數學思想方法，對學生思維的發展具有重要意義. 學生從對一個點的對稱的探索開始，逐漸擴展到對多個點的對稱的研究，由此抽象出不同點對稱的共性特征. 隨著對多點坐標的分析與總結，學生自主抽象出變換之后坐標的共同數學屬性.

學生親歷畫點過程，對直角坐標系中的點的對稱形成明確認識，并在實驗中操作、思考、辨析，不僅能獲得了良好的學習體驗，還進一步提升了抽象能力. 因此，基于數學實驗的操作、思考與類比，是提升學生數學思維的形象化素材，也是發展學生學力的根本.

總之，數學核心素養的發展離不開實驗的輔助，學科素養在充滿情境性與體驗性的實驗活動中形成與發展. 一線數學教師應充分認識到數學實驗的重要性與必要性，它是“題海戰術”無法替代的教學方式，是促進學生個人可持續發展的重要手段.