應用混合邏輯動態模型預測控制器的磁軸承三電平調制策略

摘要："傳統磁軸承三電平調制策略在數字控制系統中存在控制延遲問題，影響電流紋波抑制效果。針對上述問題，提出一種基于混合邏輯動態模型預測控制器的磁軸承三電平調制策略。基于混雜系統理論，建立混合邏輯動態模型，統一表征出驅動電路充電、放電和續流工作模態，實現三電平調制；結合模型預測控制理論，將所建立的混合邏輯動態模型作為預測模型，預測磁軸承的控制電流，實現對控制延遲的補償，并將預測控制電流送入到代價函數中，得出驅動電路的最優控制信號；基于所提調制策略構建了磁軸承控制系統，并與傳統調制策略進行對比。仿真結果表明：在輕載擾動工況下，所提調制策略相比于傳統三電平滯環調制策略與傳統三電平脈沖寬度調制（pulse width modulation，PWM）策略，電流紋波分別降低了49.90%和49.87%；在中載擾動工況下，所提調制策略相比于傳統三電平滯環調制策略與傳統三電平PWM策略，電流紋波分別降低了49.99%和49.84%；在重載擾動工況下，所提調制策略相比于傳統三電平滯環調制策略與傳統三電平PWM策略，電流紋波分別降低了50.08%和49.77%。在三電平調制機制的基礎上，所提調制策略能夠有效補償一個采樣周期的控制延遲，達到降低電流紋波的效果。

關鍵詞："磁軸承；三電平調制；混合邏輯動態模型；模型預測控制

中圖分類號："TH133.3"文獻標志碼：A

DOI："10·7652/xjtuxb202408003"文章編號：0253-987X（2024）08-0019-09

Magnetic Bearing Three-Level Modulation Strategy Based on

Mixed Logical Dynamical Model Prediction Controller

YUAN Ye1， ZHU Junjun1， YANG Fan1， NAN Yu2

（1. School of Electrical and Information Engineering， Jiangsu University， Jiangsu， Zhenjiang 212013， China;

2. Kaifeng Power Supply Company State Grid Henan Electric Power Company， Kaifeng， Henan 475000， China）

Abstract："The traditional magnetic bearing three-level modulation strategy has the problem of control delay in the digital control system， which affects the current ripple suppression effect. Aiming at the above problem， this paper proposes magnetic bearing three-level modulation strategy based on mixed logical dynamical model prediction controller. Firstly， based on hybrid systems theory， a mixed logical dynamical model is constructed to comprehensively characterize the charging， discharging， and current continuation modes within the driving circuit， enabling the implementation of three-level modulation. Next， along with the theory of model predictive control， the established hybrid logic dynamical model serves as a predictive model to anticipate the control current of the magnetic bearing， compensating for control latency. Subsequently， the predicted control current is fed into the cost function to derive the optimal control signal for the driving circuit. Finally， based on the proposed modulation strategy， a magnetic bearing control system is constructed， and compared with the traditional three-level modulation strategy. The simulation results show that under light-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 49.90% and 49.87%， respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level pulse width modulation （PWM） strategy. Under medium-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 49.99% and 49.84%， respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level PWM strategy. Under heavy-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 50.08% and 49.77% respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level PWM strategy. It is proved that the control delay of one sampling period can be compensated effectively trough the proposed modulation strategy on the basis of three-level modulation， and the effect of current ripple reduction can be achieved.

Keywords："magnetic bearing; three-level modulation; mixed logical dynamical; model predictive control

磁軸承是一種利用電磁力將轉軸懸浮于空間的高性能軸承，與傳統軸承相比，具有無摩擦、無需潤滑、損耗小、轉速高、主動可控等諸多優點，因此被廣泛用于各工業領域，如飛輪儲能、航空航天等"［1-6］。

磁軸承驅動電路可以采用兩電平調制策略或三電平調制策略。二電平調制策略主要包括電流滯環控制"［7］、脈寬調制控制"［8］、采樣-保持控制"［9］等。電流滯環控制通過反饋電流與參考電流的誤差值輸入到滯環比較器中生成脈沖寬度調制（pulse width modulation，PWM）信號，控制開關管導通或者關斷；脈寬調制控制將反饋電流與參考電流的誤差通過PI控制器輸出誤差信號，與PWM發生器模塊產生的三角波相截產生開關管的控制信號；采樣-保持控制以固定的采樣周期對參考電流和反饋電流進行誤差比較，根據二者差值的正負性控制開關管導通或關斷。但是，磁軸承驅動電路用二電平調制策略，存在電流紋波難以降低的弊端"［10］。

相較于二電平調制，三電平調制下的磁軸承驅動電路具有充電、放電和續流共3種狀態，其控制電流紋波與母線電壓解耦，僅與開關管導通壓降、繞組壓降等成正比"［11］。清華大學徐旸團隊提出一種基于三電平調制的空間矢量控制技術，減小電流紋波的同時也降低了橋臂數"［12］。南京工業大學張廣明團隊提出了三電平采樣/保持調制技術，該技術是在兩電平采樣/保持調制技術的基礎上，在一個周期內引入一個新的可控點，實現驅動電路三電平調制，對電流紋波降低有顯著作用"［13］。北京航空航天大學房建成團隊分析了電流紋波產生的機理問題，提出一種磁軸承三電平PWM調制方式，該調制方式基于PI控制器和PWM發生器生成占空比，分別控制對角線上功率開關管，可以大幅度降低電流紋波"［14］。然而，傳統磁軸承三電平調制策略在數字控制系統中會存在控制延遲，對電流紋波抑制效果產生影響"［15-16］。

針對上述問題，本文提出了應用混合邏輯動態模型預測控制器（mixed logical dynamical model prediction controller，MLD-MPC）"［17-19］的磁軸承三電平調制策略。首先，基于混雜系統理論"［20-22］建立了驅動系統混合邏輯動態模型，通過引入輔助邏輯變量與輔助連續變量，統一表征出驅動電路充電、放電、續流工作模態下開關狀態與控制電流之間的數學關系；其次，基于磁軸承雙閉環控制框架，設計了針對電流內環的混合邏輯動態預測控制器，通過計算預測控制電流，對控制延遲進行補償，輸入到代價函數中，得出最優的控制信號；最后，構建了磁軸承控制系統，驗證了所提策略能夠在保留三電平調制機制的基礎上，有效補償一個采樣周期的控制延遲，達到降低電流紋波的效果。

1"磁軸承驅動電路三電平調制原理

磁軸承驅動電路可以采用半橋式和H橋式。本文以兩自由度徑向永磁偏置磁軸承為研究對象，需要繞組電流能夠提供雙向電流，因此選用H橋式。三電平調制策略下，H橋式驅動電路具有4種不同的工作模態，分別如圖1所示。

圖1（a）為驅動電路充電狀態（模態a），繞組兩端施加U"dc，繞組電流i線性上升，電路方程為

式中：U"dc為直流母線電壓；U"on為開關管導通壓降；L為繞組電感；r是繞組電阻。該充電狀態下的繞組電流為

式中：時間常數τ=L/r；i"a0為模態a開始時繞組初始電流。

圖1（b）為驅動電路放電狀態（模態b），繞組兩端施加－U"dc，繞組電流i線性下降，電路方程為

可以得到放電狀態下的繞組電流表達式

式中：i"b0為模態b開始時繞組初始電流。

圖1（c）、（d）為驅動電路自然續流不同狀態（模態c、d），繞組兩端電壓為0，由于繞組電阻的存在，繞組電流緩慢減小，電流方程為

可以得到該續流狀態下的電流表達式

式中：i"c0、i"d0分別為模態c、模態d開始時繞組初始電流。

穩定運行時，三電平調制下磁軸承驅動電路經歷導通狀態和續流狀態，電流變化趨勢如圖2所示。以導通狀態和續流狀態為一個研究周期，其中導通狀態持續時間為［0，t1］，續流狀態持續時間為。

當驅動電路處于導通狀態時，電流在t1時刻達到最大值i"max，計算式如下

當驅動電路處于續流狀態時，繞組電流在T時刻到達最小值i"min，計算式如下

聯合式（7）、（8）可得三電平調制策略下磁軸承控制電流紋波Δi表達式

開關管的導通壓降和繞組壓降相對于直流母線電壓可以近似忽略，三電平調制策略下磁軸承控制電流紋波Δi可以近似表示為

二電平調制策略下，磁軸承控制電流紋波Δi表達式"［9］為

通過對比式（10）、（11）可得：三電平調制下的電流紋波與直流母線電壓無關，其數值遠小于兩電平調制策略下的電流紋波。

但是，以上分析是基于理想情況下，實際數字控制系統中始終存在控制延遲時間（Δt，包括采樣延遲、計算延遲以及輸出信號延遲等），這導致三電平調制策略下控制電流紋波Δi變為

由式（12）可以看出，控制延遲將導致控制電流紋波增大。

2"應用MLD-MPC的磁軸承三電平調制策略

2.1"所提調制策略的基本原理

為了削弱控制延遲Δt對控制電流紋波抑制效果產生的影響，本文提出了應用MLD-MPC的磁軸承三電平調制策略，如圖3所示。

該調制策略為雙閉環控制，分為位移外環和電流內環。位移外環將參考位移與反饋位移的誤差信號通過PID調節器后輸出電流內環給定值。針對電流內環設計了MLD-MPC。該控制器將采集到的控制電流輸入到預測模型中，計算得到預測電流，抑制控制延遲的影響，并以參考電流和預測電流誤差最小為目標，得到驅動電路以最優控制信號。預測模型采用了驅動電路的混合邏輯動態模型，該模型通過引入輔助邏輯變量與輔助連續變量，可以統一表征驅動電路充電、放電、續流工作模態下開關狀態與控制電流之間的數學關系，可以實現三電平調制。

2.2"調制策略具體實現

2.2.1"MLD模型構建

引入邏輯運算符號，“v”表示析取、上標“－”表示取非、“”表示等價。定義電流從左向右的方向為正。引入輔助邏輯變量δ1，δ1=1表示控制電流igt;0，"δ1=0表示控制電流ilt;0，即

當控制電流igt;0時，磁軸承繞組兩端的電壓U與開關狀態S1、S2、S3、S4之間的邏輯關系為

由式（14）可得，控制電流igt;0時磁軸承繞組兩端電壓U為

同樣地，可得控制電流ilt;0時磁軸承繞組兩端電壓

綜合可得，繞組兩端電壓U的數學描述為

進一步地，引入輔助邏輯變量δ2、δ3，并令

由此得到磁軸承繞組兩端電壓為

最后，引入輔助連續變量z1、z2，并令

根據H橋式電路方程，建立電路連續模型，以磁軸承電流為狀態變量建立狀態方程

式中：是控制電流i的微分；R為繞組電阻。結合式（19）～（21），可將原狀態方程轉化為

上述狀態方程既包含輔助連續變量，又包含輔助邏輯變量。將式（22）進行離散化，得到磁軸承驅動電路MLD模型

式中：Ts是采樣周期。

2.2.2"代價函數選取

MLD-MPC面臨求解混合整數二次規劃（mixed integer quadratic programming，MIQP）問題，而對于磁軸承，遇到擾動后需要快速的動態響應達到穩定狀態，但極短的時間內求解MIQP問題具有很大困難。H橋式電路只有4種不同工作模態，對應了4種不同開關狀態組合。為了選取最優的控制信號，分別計算這4種不同開關狀態組合，并比較代價函數值，以預測電流與參考電流誤差最小為目標建立代價函數

式中：ip（k+1）為k+1時刻的磁軸承繞組預測電流；i"ref（k+1）為k+1時刻的磁軸承繞組的給定電流，雖然可以將k+1時刻的參考值近似等于k時刻參考值，但是這一近似會使得給定信號存在一個采樣周期的延遲。為了提高控制精度，可以采用二階拉格朗日插值法來得到k+1時刻的控制電流參考值，即

選擇代價函數值最小的開關信號為磁軸承驅動電路的控制信號，即求解最優的開關控制信號。

2.2.3"控制延遲補償

數字控制系統存在延遲"［23-25］，所選擇的控制信號要到下一時刻輸出，但此時的控制電流已經變為ip（k+1）。因此，為了消除這一控制延遲的影響，需要以ip （k+1）為初始條件對電流再加一步預測，得到k+2時刻的電流預測值ip（k+2）

因此，代價函數可以重新表示為

由式（25）向前推導一步可到

2.2.4"調制策略流程

圖4是調制策略流程圖，具體步驟如下。

（1）對當前時刻的電流i（k）、參考電流i"ref（k）進行采樣。

（2）通過預測k+1時刻的電流ip（k+1）和i"ref（k+1）來對磁軸承控制系統進行延遲補償。

（3）對4個不同的開關狀態組合，通過式（26）的預測模型對控制電流進行預測，然后通過式（27）計算代價函數值。

（4）通過比較得到最小的代價函數值。

（5）選擇出最小的代價函數值所對應的開關狀態組合，即是最優的驅動電路控制信號。

3"調制策略驗證

基于Matlab/Simulink對本文所提調制策略進行仿真驗證，仿真參數如下：U"dc=15V，繞組中的電感L=1.8mH，繞組中的電阻R=0.13Ω，采樣周期Ts=1μs，最大負載為100N。

3.1"控制系統有效性驗證

對控制系統進行起浮驗證，圖5為磁軸承控制系統轉子起浮時的位移波形。可以看出，磁軸承開始懸浮到穩定運行過程中，最大位移為0.027μm位移經過0.061s后回到平衡位置，且穩定運行會有幅值為0.007μm的波動，具有良好的懸浮精度。

不同負載擾動下的位移波形如圖6所示。在"0.05s加入輕載（20N）擾動時，本文所提調制策略的系統產生－2.25μm的位移波動，經過0.075s回到平衡位置；在0.05s加入中載（50N）擾動時，本文所提調制策略的系統產生－5.63μm的位移波動，經過0.09s回到平衡位置；在0.05s加入重載（80N）擾動時，本文所提調制策略的系統產生－9μm的位移波動，經過0.1s回到平衡位置。

綜上可知，基于所提調制策略的控制系統，在面對輕載、中載和重載的情況下均具有良好的魯棒性。

3.2"三電平調制可行性驗證

對控制系統分別施加±20、±50、±80N的方波擾動，驅動電路電壓輸出結果如圖7所示。

由圖7（a）可知， ±20N方波擾動下， 在正半周期時驅動電路輸出電壓有正和零電壓輸出，在負半周期時驅動電路輸出電壓有負和零電壓輸出。同樣地，由圖7（b）、（c）可知，±50N和±80N方波擾動下，在正半周期時驅動電路輸出電壓有正和零電壓輸出，在負半周期時驅動電路輸出電壓有負和零電壓輸出。

綜上可知，在不同的方波擾動下，一個周期內驅動電路的電壓始終輸出有正、負和零電壓，驗證了控制系統能夠實現三電平調制。

3.3"控制延遲抑制的有效性驗證

面對輕載（20N）、中載（50N）、重載（80N），分別施加一個采樣周期的控制延遲，傳統磁軸承三電平滯環調制策略"［26］、傳統磁軸承三電平PWM策略"［14］、本文策略下的電流波形分別如圖8～10所示。

由圖8可知，面對輕載（20 N）擾動，三電平滯環調制策略下磁軸承的電流紋波為1.656×10"－2A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.655×10"－2 A，而本文所提調制策略下磁軸承的電流紋波為8.297×10"－3A，分別降低了49.90％和49.87%。

由圖9可知，面對中載（50N）擾動，三電平滯環調制策略下磁軸承的電流紋波為1.648×10"－2A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.643×10"－2 A，而本文所提調制策略下磁軸承的電流紋波為8.241×10"－3A，分別降低了49.99％和49.84%。

由圖10可知，面對重載（80N）擾動，三電平滯環調制策略下磁軸承的電流紋波為1.637×10"－2 A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.627×10"－2 A，而本文所提調制策略下磁軸承的電流紋波為8.172×10"－3A，分別降低了50.08％和49.77%。

綜上可知，相對于以上兩種傳統三電平調制策略，無論在輕載、中載還是重載擾動情況下，應用MLD-MPC的三電平調制策略能夠有效抑制一個采樣周期控制延遲，進一步降低控制電流紋波。

4"結"論

本文提出了一種應用MLD-MPC的磁軸承三電平調制策略。該策略基于混雜系統理論，對磁軸承驅動電路建立混合邏輯動態模型，實現對磁軸承驅動電路充電、放電和續流共3種工作狀態的統一表征。進一步地，結合模型預測控制策略，對磁軸承控制電流進行預測，實現延遲補償，達到降低電流紋波這一目標。應用MATLAB/Simulink進行仿真驗證，并與傳統三電平滯環調制策略和傳統三電平PWM策略進行對比，仿真結果表明，本文所提調制策略相比于傳統三電平調制策略，在輕載、中載和重載這3種不同的工況下，均能有效補償一個采樣周期的控制延遲，實現降低磁軸承的控制電流紋波。

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（編輯"陶晴）