基于ACT-R理論的“高中數學探究活動”教學實踐與思考

［摘 要］ 針對高中數學教材中數學探究活動的教學現狀，結合ACT-R理論，以斐波那契數列教學設計為例，引導學生進行學習實踐，并對ACT-R理論應用于高中數學探究活動教學實踐進行反思.

［關鍵詞］ ACT-R理論；數學探究活動；教學實踐

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標）提到高中數學課程要注重促進學生實踐能力和創新意識的發展. 已有研究表明數學探究教學可以增強學生的創新意識和實踐能力，同時對增強學生數學學習自信心起著積極作用. 由于不作為考試內容、課時緊張、學習難度大等因素，新課標所規定的數學探究活動沒有得到足夠重視，大多數教師在組織教學時直接跳過這部分內容，更談不上對其進行研究并開發新的學習項目，這顯然不符合新課改的要求. 鑒于此，筆者嘗試使用ACT-R理論對高中數學探究活動進行教學設計，收獲頗多，在此提出分享.

ACT-R理論與高中數學探究活動

1. ACT-R理論概述

ACT-R理論的一個基本觀點是：可以由相對簡單的原理形成相對簡單的知識單元，再由這些相對簡單的知識單元構成復雜的認知［1］. 它的基本內涵是：任何知識的習得都是始于陳述性階段，經過一段時間的程序化處理，最終過渡到自動化階段［2］. ACT-R理論將知識分成兩類：陳述性知識和程序性知識. 陳述性知識：用信息塊來表征，可以用“是什么”來回答；程序性知識：通過提取陳述性信息塊來達到目標的規則性單元，是回答“如何做”的知識.ACT-R理論由教學設計流程圖和各環節設計的思維導圖構成，為教師深度理解數學、深度理解學生和深度教學提供了強有力的技術支撐.

2. 數學探究活動

數學探究活動是指以解決具體問題為目的，要求學生觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論和規律，以及解決問題的思路和方案，并給出解釋或證明［3］.

3. ACT-R理論與數學探究教學

數學探究活動教學的實施是為了使學生更好地理解數學本質，提升學生的數學思維水平. 不僅要合理設置探究問題，創設有探究意識的問題情境，還要注重數學探究活動組織形式、探究手段的設計，適時引導學生進行合作. ACT-R理論與數學學習結合在一起，倡導將復雜的數學問題簡單化，比建構主義理論和情境認知理論更加注重知識的邏輯性，對學生認識數學學習本質有很大的幫助［4］. 不僅如此，還有助于學生更好地理解數學知識，解決學習中存在的困惑，達到一個更好的教學效果.

數學探究活動與ACT-R理論有密切的聯系，即基于ACT-R理論，在數學探究活動教學中，將陳述性知識通過熟練操作轉化為程序性知識，通過精致練習使程序性知識更加自動化，引導學生用數學思維分析各要素之間的關系，進而提升學生的應用和創新意識［5］.

基于ACT-R理論的斐波那契數列教學設計

斐波那契數列與黃金分割是人教A版（2019）選擇性必修第二冊教材第四章“數列”（第10～11頁）中“閱讀與思考”的內容. 斐波那契數列與等差、等比數列一樣，都是從現實背景中抽象概括出來的重要數列模型，而數列又是特殊的函數，基本遵循函數的研究路徑：背景—概念—性質—應用. 模型、數形結合、轉化與化歸、函數與方程、極限等都是探究數學問題時常用的思想方法，充分體現了數學探究活動的研究手段.

1. 學習內容及認知分析

本節課主要的教學內容包括斐波那契數列的概念、遞推公式、通項公式、性質、實際應用. 在此之前，學生學習了數列的概念，以及等差數列和等比數列的定義、通項公式、性質、前n項和公式和簡單應用，這些都為本節課的學習奠定了知識基礎. 基于ACT-R理論的本節課結構思維導圖如圖1所示.

2. 學習目標

與等差數列和等比數列相比，斐波那契數列的取值規律及性質比較隱蔽且不易發掘. 另外，學生對數列問題的求解思路和方法的應用不夠靈活，其應用意識、創新能力也不夠強. 現依據ACT-R理論和實際學情對本節課的學習目標進行層級分解，并將其展示如下（如圖2所示）：

學習目標

3. 基于ACT-R理論的斐波那契數列教學設計流程圖

如圖3所示.

4.基于ACT-R理論的斐波那契數列教學過程

環節1 溯斐波那契數列之源.

師：在前面幾節課中，我們已經學習了等差數列、等比數列的基本知識，也熟悉了研究數列的一般路徑，體會到了數列強大的魅力所在，還有哪些值得我們研究的數列呢？讓我們先來看一段視頻——《達·芬奇密碼》.（播放視頻）

師：視頻中的密碼重新排序后，它到底揭示了什么秘密？時間要回溯到1202年，一位叫列昂納多·斐波那契的意大利數學家，他出版了一本書，叫《算盤全書》. 該書介紹了一個神秘的數列——斐波那契數列.

設計意圖 在陳述性階段獲取陳述性知識：利用數學史引入課題，集中學生的注意力，激發學生的求知欲，起到良好的教學效果.

環節2 明斐波那契數列之義.

問題：如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，1年后會有多少對兔子？

師生活動：教師解讀題目要求，帶領學生分析并填寫到第3個月，學生自主完成后面9個月的填寫.

學生活動：嘗試用樹狀圖、列表等方法得到第4至12個月的兔子對數.

追問1：你是怎么得到這些月份的兔子對數的？

追問2：這個規律適合每個月的兔子對數嗎？

追問3：假設第n個月的兔子對數為F，你能用數學符號語言表達這個規律嗎？

師生總結：按照這個規律，我們能得到更多月份的兔子對數，這些數構成了一個數列. 由于這個數列最早是由斐波那契提出的，為了紀念他，人們把這個數列稱為斐波那契數列，通常記為｛F｝，數列中的項稱為斐波那契數. 斐波那契數列的遞推公式為

F

=F=1，

F

+F

=F（n≥3，n∈N*）.

設計意圖 用ACT-R理論把大問題分解為一系列的子問題：通過問題串的設置，引導學生總結出斐波那契數列的遞推性質，抽象出斐波那契數列模型.

環節3 探斐波那契數列之數學美.

師：除了前面總結出來的遞推公式，斐波那契數列還有哪些性質呢？（提供通項公式的一個雛形）

活動1：類比等差、等比數列的研究內容及研究方法，對斐波那契數列展開探究.

預設1：學生探究斐波那契數列的通項公式；

預設2：學生探究斐波那契數列相鄰兩項的比值.

師生活動：教師組織學生合作探究，小組代表匯報探究成果.

①當斐波那契數列的項數越來越大時，相領兩項的比值越來越接近黃金比

≈0.618

；②斐波那契數列的通項公式為F=×

-

.

設計意圖 用ACT-R理論將復雜問題簡單化，促使學生關注數學本質. 等差、等比數列的學習經驗是本節課探究活動的生長點，在斐波那契數列的探究過程中，學生從已有的陳述性知識出發.

環節4 析斐波那契數列之自然美.

師：其實斐波那契數列不僅僅有數學美，它還有自然美、被稱為大自然的密碼. 現在我們一起來感受斐波那契數列的自然美.

活動2：動手操作，深化探究.

用所給的正方形紙片拼成矩形（從最小的兩個正方形開始，每次添加一個正方形）. 如圖4所示，陰影部分的矩形面積是多少？最外圍的大矩形面積是多少？由此你可以猜想到什么結論？若從內到外依次連接通過小正方形的四分之一圓弧，能得到什么樣的奇觀？

師生活動：學生獨立思考后，小組展開互學互助.

引導學生推廣“用不同的方法計算每次所得矩形的面積”得到的等式，歸納出斐波那契數列的又一個性質：F+F+F+···+F=FnFn+1.

師：（PPT展示）從內到外依次連接通過小正方形的四分之一圓弧，能得到一條螺旋線，被稱為斐波那契螺旋.

師：欣賞視頻，向日葵的兩組交錯的螺旋結構、鸚鵡螺的螺旋結構等，動態感受自然界中動植物與斐波那契數列的聯系，體驗斐波那契數列的自然美.

設計意圖 ACT-R理論把陳述性知識看成信息塊，通過主動探索，從陳述性知識向程序性知識過渡，激活信息塊，順利提取產生式規則：從“形”的角度繼續探究斐波那契數列與黃金分割之間的關系，以形助數，發現新性質；以數釋形，用數學符號語言表達圖形隱含的規律.

環節5 悟斐波那契數列之應用美.

例題 已知斐波那契數列1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，….

（1）a+a+a+…+a是斐波那契數列中的第_______項；

（2）1+a+a+a+…+a是斐波那契數列中的第_______項.

設計意圖 ACT-R理論倡導“精致練習”，激活產生式規則和信息塊：例題設置意在鞏固斐波那契數列的性質和遞推公式，讓學生感悟數學是現實的、有用的.

環節6 聚課堂之髓.

師：本節課我們學習斐波那契數列經歷了怎樣的過程？請同學們完成相應的學習成果報告. （報告內容見表2）

設計意圖 ACT-R理論認為，這正是在程序性目標和信息塊的基礎上形成的自動化階段，即遷移數學能力，總結活動經驗，總結研究方法，構建知識網絡，培養數學交流和表達能力.

ACT-R理論對數學探究活動教學的啟示

ACT-R理論倡導將復雜的數學問題簡單化，強調精致練習，提倡重視兩類知識的獲得和遷移等，為數學探究活動提供了豐富的、可借鑒的教育理論，為數學探究教學設計提供了強有力的支撐，也是落實數學探究活動的一種重要途徑.

1. 情境直觀化，促進陳述性知識的獲得

數學探究活動是讓學生在問題情境中經歷發現問題，進而生成問題解決方式的過程［6］. ACT-R理論認為陳述性知識的獲得有被動接受和主動建構兩種方式，并不是所有的新課引入都能吸引學生的注意力，創設適當的情境有助于學生盡快地進入學習狀態. 新課引入要遵循直觀化原則，主要從兩個方面入手：數學史和實際需要. 引入數學史的目的是讓學生知道知識的出處，了解數學家的故事，激發他們學好數學的信心等非智力因素；實例引入要貼合學生固有的生活常識，而不是直接講述某一知識點讓學生記憶，要注意內容大于形式. ACT-R理論的一個基本觀點是學習能力的提高可以通過簡單的環節來實現，與現實生活聯系后再引入新的知識點的過程，可以促進陳述性知識的獲得.

2. 目標層級化，觸發程序性知識的產生

數學探究活動是基于問題情境開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程，就是程序性知識的獲取過程. ACT-R理論認為程序性知識的獲取關鍵在于產生式規則的獲得. 產生式主要依靠兩個條件，一是需要一個處理某個具體目標的情境；二是需要一個處理類似目標的樣例. 在學習與問題解決的過程中，每一個知識目標都被分解為一連串的子目標，而這些子目標又被分解為一連串的更小的子目標，通過目標層級分解使得產生式被觸發，從而不斷深入和把握原有知識結構，以便學習新的知識，完成新的經驗塊，產生更多的遷移能力，以程序化的形式固定下來.

3. 練習精致化，促進自動化技能的形成

數學探究活動中復雜問題的解決，都需要基本技能的流暢性. ACT-R理論認為“熟能生巧”，“熟”是提高陳述性知識激活水平和產生式強度的必要條件，即知識從陳述性轉變為程序性的過程中，練習發揮著舉足輕重的作用，通過大量的精致練習，動作和條件之間的反應時間大大縮短，它們之間的匹配度得到提高，程序性知識會更加自動化，ACT-R理論實際上也是“做中學”和“例中學”的理論.

本節課基于ACT-R理論的斐波那契數列教學設計，以發現斐波那契數列通項公式及其性質為主線，通過“情境背景—設計方案—小組合作—推進方案—形成成果”這一由陳述性知識轉化為程序性知識的過程，促進學生敢于質疑、善于合作、勇于創新，而這恰恰是數學探究活動的價值所在.

參考文獻：

［1］ 顧泠沅，鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］ 約翰·安德森. 認知心理學［M］. 楊清，張述祖，譯. 長春：吉林教育出版社，1989.

［3］ 曾海英. 初中數學教科書中的數學探究活動分析［J］. 數學教學研究，2016，35（08）：10-15+20.

［4］ 劉偉. 基于ACT-R理論的初中數學概念課教學設計研究［D］. 上海師范大學，2014.

［5］ 葉宏秀，張賢金. 指向核心素養的微項目化學習*——以“粗鹽的精制”的教學為例［J］. 化學教與學，2022（11）：59-62.

［6］ 靳玉樂. 探究教學論［M］. 重慶：西南師范大學出版社，2000.