在數學教育視角下發展學生的高階思維

［摘 要］ 數學教育承載著提升學生數學素養，發展學生高階思維的基本功能.數學教學中發展學生高階思維的實施路徑包含三大階段、六個環節，研究者以“正弦定理”的教學為例，給出了教學設計、分析及反思，并在實踐中檢驗了該實施路徑對指導當下數學教學具有重要的意義和價值.

［關鍵詞］ 數學教學；高階思維；實施路徑；案例實踐

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能. 數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界；促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，探尋事物變化規律，增強社會責任感；在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用［1］.

高階思維是指學生在置身于復雜情境、碰到新問題時，能通過自身主動地聯結、重組、批判、創造，解決問題的一種高層次的認知能力. 作為一個公認的事實，數學思維的重要特征是思維的深刻性，數學教育的基本目標就是促進學生思維的發展，在這個意義下，數學教育是發展學生高階思維的一個極好載體［2］.

問題提出

現有的數學教育主要以實現數學學科目標為主，典型問題有：第一，教學活動的“雙主體性”在落實中的片面化，現實中課堂教學行為多關注教師的“教”而忽視學生的“學”，注重知識與方法的傳授，忽略學生的體驗. 第二，不太關注學習活動的創設，過多關注學生對知識的記憶和復制，或對學習活動的展示流于形式，對學習活動的后續反饋也未充分跟進. 第三，課堂問題、學習任務等設計過多、過碎、過淺，對問題的思維深度要求不高. 問題的設計對學生學習主動性的激發不到位、解決不到位、遷移不到位，使得學生學習沉浸度不夠，學習深度也不夠. 第四，課堂上例題和練習的負擔很重，教師講解，學生機械模仿比較普遍. 第五，單純的“一課教學”，整體觀念下的數學教學意識比較單薄. 以上現象的發生都促使我們思考如何才能形成更高效的課堂生態.

如何解決

實踐中我們發現，學生主動地、全身心地投入學習整個過程，是發展學生高階思維的前提. 今天我們聚焦在課堂教學中，設置合適的情境，激活學生已有知識和經驗，尋找新知識的生長點，讓學生經歷知識再創造的過程，形成個性化建構. 這樣學生才能將所學知識遷移應用到新情境中，在解決新問題的過程中加深理解，強化反思，發展高階思維.

數學教學中發展學生高階思維的實施路徑包含三大階段、六個環節（如圖1所示）.

數學教育是教與學的辯證統一，教師的主要作用是“引導”，學生的主要活動是“思考”，

實現“引”和“思”的對立統一是發展學生高階思維中的主要矛盾. 教師在教學設計前先要回答兩個問題：教學內容和目標是什么？學生已有的知識結構是什么？這本就是教學設計的必要組成部分. 只有搞清這兩點才能在教學中設計出拓展學生思維深度、深化學生數學理解的活動.

第一階段，提出問題.包括：（1）創設情境，引入課題. 每個人對新鮮事物都有好奇心，在現實情境或數學情境中通過發現問題、提出問題激發學生的好奇心是學習起點. 創設這個環節的目的是啟動學生思考，提出的問題要指向明確，注重適度性、典型性和有效性，有吸引力，能激發學生的學習興趣，有利于后續開展探究. （2）檢索舊知，探究新知. 提出問題后，學生首先會調用已有的數學知識和方法來解決問題，當然會遇到困境，這時就需要探索認知圖式以外的數學知識，通過分析、觀察、猜測、類比、歸納、推理等一系列的方法發現數學知識，實現低階的數學學習.

第二階段，解決問題. 包括：（3）理解辨析，把握本質. 學生發生高階思維的主要特征是對發現的數學知識的理解和對本質的把握. 教師用啟發性、探索性、層進性問題去引發、驅動學生自覺思考. 一般地，教師可以問“能得到什么”“怎樣得出來的”“為什么要這樣做”等. 將新的數學知識與學生原有的認知圖式聯系起來，逐步內化. 這個環節可以師生、生生之間的互動，以及與課本之間的互動等形式進行. （4）例題講解，鞏固新知. 在這個環節中，學生能夠初步運用新的數學知識解決問題，但很可能是片面的、不完整的，需要不斷修正自己的理解. 這個階段教師示范，學生模仿，能夠幫助學生獲得新的體驗，在整個學習過程中有著承上啟下的作用.

第三階段，總結遷移. 包括：（5）批判質疑，凝練升華. 依靠例題示范與模仿，使學生獲得進入高階思維的“入場券”，從而形成對新知識的理解和批判、聯系和建構. 學生主動總結凝練是十分必要的，在自己的腦海中重組新舊知識的網絡結構，通過反例、圖表等方式把本質屬性和非本質屬性加以區分，提升思維層次. （6）能力拓展，知識遷移. 學生發生高階思維的重要表現是對知識的遷移和應用.學生能夠在新情境中主動連接與重組知識，創造性地解決問題，并在此過程中深度思考，甚至進一步提出高質量的新問題，使得學習有新起點，如此循環往復，螺旋上升，拓展能力的邊界［3］.

隨著高階思維的發展，學生可以進一步加工新對象和自身已知圖式，通過順應、同化，構建關于數學對象更復雜的“新圖式”，作為后繼學習中新知識的“生長點”. 同時，在學習過程中聯系、批判、應用、體驗，助力學生從數學學習中獲得超越具體知識和技能層面的東西，收獲一般化的思維策略，提升思維品質.

案例實踐

環節1 創設情境，引入課題.

問題1 某林場為了及時發現火情，設立了兩個觀測點A和B. 某日兩個觀測點的林場人員都觀測到C處出現了火情. 在A處觀測到火情發生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情發生在北偏西60°方向. 已知B在A的正東方向10千米處，試求火場C與觀測點A和B之間的距離.

師：上述情境中，包含了怎樣的數學問題？

生1：在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10千米，求b與a.

從實際情境出發，引導學生將實際問題轉化為數學問題.通過提問，促使學生體會正弦定理源于生產、生活實際，并與現實世界有著密切聯系，激發學生的學習興趣.

師：三角形可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，其中后兩類我們統稱為斜三角形. 今后若不特殊說明，△ABC的三個角分別記作A，B，C，它們的對邊分別記作a，b，c. 在三角形的三個角和三條邊這六個元素中，已知三個元素（至少一個為邊），求另外三個元素，稱為解三角形. 在初中我們通過銳角三角比，完成了解直角三角形的學習，但在解決實際問題時，往往還會遇到不少解斜三角形的問題.

從解三角形的角度，提出研究三角形邊角關系的問題是本單元的學習主題，為后續學習余弦定理，以及解決簡單的三角形的應用問題奠基.

環節2 檢索舊知，探究新知.

師：三角形中的邊角關系有哪些？

生2：三角形中的邊角關系有大邊對大角、大角對大邊、勾股定理等.

師：你能用這些知識解決生1提出的問題嗎？請分組討論解決方法，各組派代表發言.

生3：過點A作AE垂直BC于E，則由銳角三角比bsinC=AE=csinB，得b=，將已知數據代入即可得b.

上述問題依次遞進，第一個問題問的是三角形中的邊角關系，能調動學生的知識儲備；第二個問題引出本節課“已知‘兩角一邊’解三角形”的學習內容. 通過小組合作的形式引導學生進行有效交流與表達，并相互啟發.

接下來不同小組學生對求a的回答出現了兩種情況：

生3：分別在Rt△AEB和Rt△AEC中，求得CE和BE，相加即可得a.

師：能夠用求b的方法來求a嗎？

由于已經構造了兩個直角三角形，因此生3的解法是一種非常自然的選擇. 但是運用這種解法，并不利于后續抽象出正弦定理這一算法結構. 教師在這里適時點撥，有意識引導，有利于正弦定理這一算法結構的形成.

生4：類似地過點B作BF垂直CA的延長線于F，則asinC=BF=csin（π-A）=csinA，從而a=，將已知數據代入即可得a.

（在分組活動中，某小組把三角形放在平面直角坐標系內統一處理，這將在環節5中進行闡述.）

環節3 理解辨析，把握本質.

問題2 兩個小組解決問題的基本思想方法分別是轉化為兩個直角三角形和通過銳角三角比求另外兩條邊.如果我們把上述問題的條件略作修改為A=135°，B=35°，c=10千米，那么b=______千米，a=______千米.

生齊聲答：類似前面的方法，作兩條高求解……

師：是否有更便捷的方法？

通過追問，引發學生大膽思考，引出學生主動抽象問題本質的高階思維：學生在這個過程中品味出“作高”僅是解決上述問題的一種表象，這個問題的本質是通過一條高的兩次計算，獲得三角形中對邊和對角的關系.

生5：直接利用前面得到的兩個式子b=和a=，將相關數據代入即可得a和b.

實際上生5回答得很好，他已經意識到，“高”不是本質，而邊角關系才是. 這里教師通過追問，讓他把這個體驗傳遞給班里所有的同學，也為后續的嚴格證明埋下了伏筆.

師：上述兩個問題的三角形不是同一個，為什么可以用前面的結論呢？

生5：兩個問題的解答過程是類似的，前面得到等式的過程完全可以相同地重復一次.

師：實際上，第一個問題（問題1）的解答過程已經說明了對一切鈍角三角形均有b=和a=成立.

師：那么對銳角三角形或直角三角形，這個結論還成立嗎？

有了解鈍角三角形的經驗，求證其余兩類三角形中結論是否成立是水到渠成的事情. 在這個過程中，學生感受到解決復雜問題的基本思想——分類討論.

生6：對于直角三角形……對于銳角三角形……

師：結合生6的回答，一起梳理上述兩個等式的證明過程. 至此我們得到：對于一切三角形，均有b=和a=成立.

師：以后遇到類似的解三角形問題，我們都可以利用上述兩個等式快速求解. 能否通過代數變形將這兩個等式變得更“美觀”一點，更容易記憶一點？

引導學生自我建構新知識，并在已有的認知圖式中開辟出一個“新空間”存放正弦定理.

生7：可以變為=和=.

師：能再簡化一下嗎？

生7：==.

至此，正弦定理完全露出了真容，學生也經歷了知識的“再發現”，思想的“再體驗”，整個過程圍繞著探究三角形的邊角關系這個主題，并連接和重組新的數學知識與原有的關于三角形的認知圖式.

問題3 在△ABC中，已知A∶B∶C=4∶1∶1，則a∶b∶c=_______.

生8：因為A+B+C=π，A∶B∶C=4∶1∶1，所以A=π，B=，C=.由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，所以a∶b∶c=∶1∶1.

正弦定理是“大角對大邊”這一幾何性質的定量刻畫，通過一個簡單問題，明確公式所闡述的事實本質.

環節4 例題講解，鞏固新知.

師：利用我們掌握的方法來解決引例所包含的數學問題.

例1 在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10 km，求a與b. （結果精確到0.1 km）

利用正弦定理來解三角形，教師示范，學生模仿，規范學生的解題步驟，同時引導學生體會正弦定理在算法上的便捷性.

師：在三角形中邊a與對角A的正弦之比為定值，當a和A固定時，此三角形的形狀不能固定，此時點A的運動軌跡為一段圓弧，可知此三角形的外接圓的大小是確定的. 利用我們掌握的知識，小組討論例2.

例2 已知圓O是△ABC的外接圓，半徑為R，試用R與A，B，C的正弦來表示△ABC三邊的長.

主要介紹正弦定理的幾何意義.本例對圓的基礎知識有一定的要求，所以題目給出了三角形的外接圓這一背景，就學生的探究體驗而言，更貼近學生的思維活動.

環節5 批判質疑，凝練升華.

師：在前面的分組活動中，有個小組把三角形放在平面直角坐標系內統一處理，我們來聽一聽他們是怎么做的.

生9：以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，可得C（bcosA，bsinA），B（c，0），所以△ABC的面積S=bcsinA. 同理S=acsinB，S=·absinC……

學生通過建立平面直角坐標系，把三角形頂點的坐標和三角形中的不變量聯系起來，是非常不容易的，體現了學生遷移應用知識的能力. 這里教師不妨提出疑問：這樣處理為什么不用像其他小組一樣分類討論呢？這個問題能夠深化學生對任意角三角比的定義的理解.

師：這節課，我們學習了什么知識？有哪些收獲？

生10：本節課我們學習了正弦定理===2R（2R是△ABC外接圓的直徑）；△ABC的面積S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.

學生的關注點僅僅落在本節課的知識或方法層面上，教師還要引領學生感悟思想方法，如本節課涉及的分類討論、從特殊到一般等思想方法，這樣就能夠幫助學生加深知識的記憶與理解，內化知識結構，從而發展學生的高階思維.

環節6 能力拓展，知識遷移.

作業布置：

作業1：上教社（2020）數學必修第二冊教材P48習題中的6.3A組第1題、第7題，B組第1題、第9（1）題.

作業2：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A=30°，c=8，a分別取4，10，3，4時，求C. （結果精確到0.1度）

作業3：繪制本節課的思維導圖.

作業是對所學知識的鞏固與檢驗，一方面是對本節課所學內容的回顧，另一方面檢測本節課的教學目標是否達成. 作業2通過取a在動態變化中的幾個具體值，引導學生經歷從特殊到一般的過程，理解正弦定理反映的是三角形的性質，卻未必能唯一確定三角形. 作業3用思維導圖將本節課的知識結構“顯性化”，引導學生體驗相應數學知識、數學思想的內涵及其聯系，為后續遷移到邊與角的余弦之間的關系的探究做鋪墊. 豐富的課后學習資源，對發展學生的高階思維非常重要.

實踐反思

第一，課堂應多關注從特殊到一般，再從一般到特殊這一認識事物的過程，這符合人類認知客觀世界的規律，更有助于學生發展高階思維.本節課從兩個具體問題抽象出正弦定理，再回到具體問題，在這個過程中教師就像一名“導游”，帶領著學生體驗了一次數學抽象之“美”.

第二，課堂關注思維沖突的設計，小組交流、經驗分享、自我評價、相互評價等，都是激發學生進行深度思考的好手段. 本節課中的小組討論、代表發言、開放式環境，能更好地促進“做、學、教”的統一.

第三，重視概念教學，關注知識的發生、發展過程. 正弦定理的實質是對解斜三角形方法的一種提煉，就實際情境而言，我們完全可以構造幾個直角三角形來解決問題. 本節課讓學生體驗到類似“兩角一邊”的問題，都可以用類似的方法求解，展現了正弦定理的發生過程，對知識的記憶、理解和內化都大有裨益.

第四，注重火熱的思考過程與冰冷的數學符號之間的關系. 本節課中證明正弦定理的幾何法，學生有所感知，他們能夠參與進來，然后通過自己審美，將其表述為極具數學簡潔美和對稱美的正弦定理，這就很有成就感.

第五，學生發展高階思維，反思與總結是必不可少的，這是一個自我消化的過程，在此基礎上才有可能進行知識遷移和應用. 當然這個消化過程未必能在一節課上完成，但可以在大單元教學中逐步完成. 事實上，本節課中證明正弦定理的坐標法，就是對任意角三角比的定義的應用，使學生經過一次次體驗，逐步加深對任意角三角比的認知.

總的來說，數學教學中建構發展學生高階思維的實施路徑，目的是改變現有教學模式中的一些弊端，對培養學生的數學學科核心素養，提升學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，都有重要的意義和價值.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 馬淑風，楊向東. 什么才是高階思維？——以“新舊知識關系建立”為核心的高階思維概念框架［J］. 華東師范大學學報（教育科學版），2022，40（11）：58-68.

［3］ 傅海倫，劉亞男，張曉蕓. 數學深度學習模型構建及案例分析［J］. 數學教學研究，2023，42（02）：2-5.