讓學生經歷定理學習的完整過程

［摘 要］ 研究者以一節評優課“共面向量定理”為例，闡述備課過程，以及教學過程和教學反思過程.研究者基于理解數學、理解學生、理解教學備課，以定理發現、定理確定、定理挖掘、定理運用和定理圖式五個過程教學，從備課過程、教學過程和學生學習過程三個角度反思教學，為定理教學課的教學設計和教學實施提供一定的參考.

［關鍵詞］ 共面向量；三個理解；數學定理教學；教學反思

教材內容解析

本節課的教學內容選自《普通高中課程標準實驗教科書（數學）（蘇教版）選修2-1》第3章第1單元第2節，是空間向量的基礎內容. 一方面，這節課幫助學生在學過空間向量概念及運算的基礎上研究空間向量的內涵，另一方面促使學生在學過平面向量概念、向量共線定理和平面向量基本定理的基礎上進一步理解向量自由移動及平移不變的本質. 本節課為后續學習空間向量基本定理、坐標表示、數量積，以及運用空間向量解決立體幾何中的位置關系和度量問題奠定基礎. 本節課是定理教學課，設置一課時.

教學重點：共面向量定理的證明和應用.

教學難點：共面向量條件的探討和共面向量定理的證明.

學生學情分析

其一，學生理解空間向量的概念，掌握方向相同且模相等的向量是同一向量，深知空間向量是自由的（平移不變），為本節課學習做好了知識儲備. 其二，學生學過向量共線定理和平面向量基本定理. 向量共線定理的本質是將一個非零向量作為基底表示一維空間的所有向量，平面向量基本定理的實質是將兩個不共線的非零向量作為基底表示二維空間的所有向量. 借鑒和類比這兩個基本定理，為本節課學習提供了研究方法. 其三，高二學生具有一定的抽象思維和探究問題能力，能利用相互聯系和相互轉化的思想探究新問題，能利用類比方式獲得新知，為本節課學習提供了研究能力.

教學目標設置

（1）類比共線向量，學生提出共面向量的概念；通過對空間向量共面的探討，學生提出“空間中三個向量何時共面”這一問題，并展開探究，給出共面向量定理的證明；學生利用平面向量基本定理證明直線與平面平行和四點共面等簡單問題.

（2）培養學生類比和轉化等數學思維能力.

（3）提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，提升學生數學抽象、數學運用等數學學科核心素養.

教學過程摘錄

1. 創設情境，引出課題

導入語：數學概念的推廣會帶來更好的性質與應用，從中能體驗數學在結構上的和諧性，感悟由此產生的影響. 為了解決平面上有關點、直線的位置關系和度量的問題，我們引進了平面向量及其運算，進一步擴寬了視野. 上節課我們將向量由平面向空間推廣，并建立了相應的運算法則. 今天我們繼續來研究空間向量的有關性質及應用［1］.

觀察圖1所示的長方體，請回答：

（1）你能找出一個與共線的向量嗎？

（2）你能用，表示嗎？

（3）三個向量，，具有怎么樣的關系？

說明 教師基于學情，創設數學情境，利用長方體這一基本模型，設置目標明確、針對性強的三個問題.第（1）問引導學生復習共線向量的概念和向量共線定理，強調向量是自由的（平移不變）；第（2）問引導學生復習平面向量基本定理，也為第（3）問的解答埋下了伏筆；第（3）問引導學生從位置關系和向量關系進行回答，引出共面向量的概念，也為探討共面向量定理做鋪墊. 問題設置均從學生的最近發展區出發，起點低但有梯度，拾級而上，從而自然而然地引出新的課題——共面向量.

2. 問題引領，理解概念

師：類比共線向量的概念，你們能給共面向量定義嗎？

生1：能平移到同一平面內的向量叫做共面向量.

師（追問）：空間中任意兩個向量都共面嗎？

生1：共面. 因為向量是自由的，所以空間中任意兩個向量都可以平移到同一平面內.

師（追問）：那么空間中任意三個向量都共面嗎？

生1：不共面.

師（追問）：為什么？

生2（補充）：從長方體同一頂點出發，分別沿著三條棱方向的向量不可能共面.

師：非常好！要說明一個命題不成立，可給出反例，使之滿足條件但不具備結論. 請問空間中三個向量可能共面嗎？

生（思考）：可能.

師：你們認為我們接下來應該研究什么問題？

生3（思考）：空間中三個向量滿足什么條件才能共面？

說明 問題的巧妙設計以及師生的一問一答，引導學生類比共線向量的概念得到共面向量的概念，并順其自然地提出本節課的難點——共面向量定理. 教師將指導學生“學會”轉為引導學生“會學”，重視“知識”激勵學生“思維”. 教師適時追問，利用問題引領學生思考，并引導學生提出新的有價值的問題，促使學生深度探究，提高學生的數學學習能力.

3. 活動探究，證明定理

師：我們現在按照生3提出的問題繼續探究.

問題1 在平面向量中，b與a（a≠0）共線的充要條件是b=λa（λ∈R），其含義是用a可以表示b. 類比到空間向量，若p，a，b共面，則p，a，b滿足什么條件？

（留兩分鐘讓學生思考，但學生沒有給出答案，教師啟發學生回答.）

師：p，a，b共面，意味著三者可以平移到同一個平面內，此時在同一個平面內三個向量p，a，b具有怎么的線性關系？

生4：根據平面向量基本定理可知，用平面內的一組基底可以表示平面內的任一向量，但是不知道哪兩個向量能構成基底.

師：如果p，a，b三個向量共線，那么它們肯定是共面的. 如果我們設a，b不共線，那么——

生4：如果a，b不共線，那么a，b可以構成基底.由平面向量基本定理可得p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

師：非常好！如果空間中三個向量共面，那么它們可以平移到同一個平面內，從而轉化為平面向量共面問題，利用平面向量基本定理即可解決.那么反過來又會怎么樣呢？

問題2 a，b不共線，如果存在有序實數組（x，y），使p=xa+yb，那么p，a，b共面嗎？

（學生思考……）

師（提示）：首先a，b共面，其次用a，b表示p，證明p，a，b三個向量共面.

教師和學生一起作圖說明：在空間中任取一點M，作=a，=b，由向量共線定理可知=xa，過點A′作=yb（如圖2所示），則=+=xa+yb=p. 所以，，，都在平面MAB內，即p，a，b共面. 綜上所述，可得共面向量定理.

共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組（x，y），使得p=xa+yb. 這就是說，向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示.

師：定理中為什么要求向量a，b不共線？

生5：如果a，b共線，那么p，a，b共面不一定能表示成p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

師：說得非常好！如果沒有“向量a，b不共線”這個條件，則“p與a，b共面”與“p=xa+yb”就不再是充要條件.

師：定理中沒有指出有序實數組是否唯一，你們認為是唯一的嗎？

生6：是唯一的.

師（追問）：為什么？你能證明嗎？

生6：利用“同一法”證明.設存在有序實數組（x，y）也滿足p=xa+yb，則xa+yb=xa+yb，即（x-x）a+（y-y）b=0. 由于a，b不共線，則x=x，y=y.故（x，y）是唯一的.

師：生6回答得非常好！大家發現，向量共面定理與平面向量基本定理在描述形式上很類似，你們認為兩者有什么區別和聯系？

（學生思考一會）

生7（舉手）：平面向量基本定理僅指出平面內三個向量，其中一個向量可用另外兩個不共線的向量線性表示；而共面向量定理不僅包含上述含義，還指出如果一個向量可用兩個不共線的向量線性表示，那么說明這三個向量必定共面.

師：說得好！平面向量基本定理只回答了必要性，而向量共面定理則回答了充分必要性.

說明 本環節主要探究共面向量定理的證明，包含定理發現、定理確認、定理挖掘和定理圖式. 共面向量定理的必要條件，用平面向量基本定理即可證明，而充分條件則需要作圖進行驗證. 教學過程先易后難，循序漸進，促進學生數學學習理性精神的提升.

4. 例題示范，應用定理

師：前面我們證明了共面向量定理，并將共面向量定理與平面向量基本定理進行了比較，接下來我們利用共面向量定理解決立體幾何中的問題.

例1 如圖3所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE. 求證：MN∥平面CDE.

說明 設置本例的意圖是運用共面向量定理證明立體幾何中的線面平行. 在實際教學中，學生容易想到這樣兩個思路：一是通過線線平行證明線面平行，二是通過面面平行證明線面平行. 這兩個思路都是利用綜合法解決立體幾何中的位置問題.面對此題，教師可引導學生尋找平面CDE中的一組基底，利用這組基底表示，先證明向量共面，再說明直線不在平面內，從而證得線面平行. 求解后比較綜合法和向量法，讓學生深刻體會向量以算代證的算法化思想.

例2 設空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若點P滿足向量關系=x+y+z（其中x+y+z=1），試問：P，A，B，C四點是否共面？

說明 在解決例2前，讓學生思考下列問題：對于空間任意一點O，滿足向量關系=x+y（其中x+y=1）的三點P，A，B是否共線？要證明三點共線，可利用共線定理證明同一頂點出發的兩個向量共線，又具有公共點，所以三點共線. 接著引導學生類比聯想到四點共面這個問題，讓學生深知解決此問題的策略可由證明三點共線的方法類比遷移而來.

5. 課堂總結，歸納提升

（1）本節課我們學習了哪些知識和方法？

（2）本節課涉及哪些數學思想？你還有哪些問題？

教學反思

筆者從教學設計、教學過程、學生學習心理三個方面反思這節課.

筆者認為，可以基于章建躍教授的“三個理解”（理解數學、理解學生、理解教學）備課. 理解數學是指教師清楚數學知識產生的背景、形成過程和方法，把握數學知識的邏輯體系、結構和與相關知識的聯系. 備課時，教師要理解共面向量定理是對空間向量學習的進一步深化，因為向量是自由的（平移不變），所以空間向量問題可以轉化為平面向量問題來解決. 理解學生，即認識學生的思維特征和認知規律，了解學生的知識儲備、能力基礎和思維障礙等. 備課時，教師要充分分析學生的已有知識. 由于學生之前學過向量概念、共線定理和平面向量基本定理，具備一定的數學抽象思維能力，但也有可能存在共面向量定理的充分條件的證明障礙.理解教學，是指教師清楚教學本質與功能，掌握一定的教學方法和教學藝術，清楚學生的認知規律和教學的基本原則，能夠把教與學作為有機的、統一的、相互促進的整體來處理. 備課時，基于理解數學和理解學生，以及共面向量和共線向量類似，向量共面定理和平面向量基本定理類似，教學中教師可采用類比方式來處理. 學生在證明共面向量定理的充分條件時遇到了困難，教師通過分解困難，引領學生拾級而上.

本節課是數學定理教學課. 數學定理教學是中學數學教學中的重要內容，其主要任務是：使學生了解定理的背景，明確定理的條件與結論，掌握定理的證明方法，明確定理的應用范圍并能運用定理解決問題，了解有關定理之間的內在聯系并建立定理體系［2］. 教師創設數學問題情境，將抽象的數學定理還原為層層遞進的數學問題. 通過問題串、數學探究活動引導學生交流、思考定理的產生和證明；設計問題引導學生思考向量共面定理與平面向量基本定理的區別和聯系，加深學生對共面向量定理本質的理解，形成嚴格的定理體系；通過運用共面向量定理解決簡單的立體幾何問題，促使學生掌握共面向量定理的運用方法，認識共面向量定理的作用和價值.

王富英等學者認為：數學定理的學習過程可分為定理發現、定理確定、定理挖掘、定理應用和定理圖式五個階段，每個階段都有不同的特征，教師充分認識這些特征有助于解決學生定理學習過程中的認知差異和認知困難等［3］. 定理發現是一種類比發現，教師先提出（或學生自主發現）共面向量的類比對象為共線向量，再分化共線向量和共面向量的相似屬性，接著引導學生猜想向量共線定理和共面向量定理的相似結論，最后驗證結論是否成立.定理確定指定理證明，教師引導學生利用已知定理或基本事實進行證明. 定理挖掘主要有兩個方面：一是剖析共面向量定理的結構特點及條件結論；二是挖掘共面向量定理隱藏的含義——若不共線的兩個向量能表示第三個向量，則說明這三個向量共面.定理運用是指將靜態的陳述性知識轉化為動態的程序性知識，教師要安排好習題和練習題，既有基礎練習又有綜合練習，培養學生活用和逆用定理的能力. 定理圖式指的是將共面向量定理與向量共線定理、平面向量基本定理相聯系，形成定理體系，構建知識的網絡結構. 教師要充分認識學生定理學習的五個階段，便于在教學中根據學生的學習特點和心理素質，制定切實的教學方案，更好地提高教學有效性.

參考文獻：

［1］ 殷玲，蔣孝國. 基于“三個理解”挖掘內隱性課程資源［J］. 中國數學教育，2021（12）：38-41.

［2］ 李求來，昌國良. 中學數學教學論［M］. 長沙：湖南師范大學出版社，2006.

［3］ 王富英，馮靜，吳立寶. 數學定理學習的心理過程［J］. 內江師范學院學報，2019，34（02）：31-37.