指向核心素養發展的教材“再建構”研究

［摘 要］ 發展學生的數學學科核心素養是數學教學的核心目標. 基于教材“再建構”設計教學活動，能有效發展學生的抽象能力、建模能力等，對提升學生的數學學科核心素養具有重要意義. 研究者以“不等關系”的教學為例，從教材“再建構”的原則出發，分別從教材分析、教學簡錄、教學思考三個方面展開實踐與研究.

［關鍵詞］ 不等關系；核心素養；教材；再建構

深入理解教材編寫意圖，堅持“以課本為本”的原則，緊緊圍繞章節核心知識與思想設計教學是廣大教育工作者的共識. 但教材知識是平面且固化的，而真正的課堂卻是多維動態的. 因此，教師在堅持“以課本為本”的同時，還需結合學情、教情與考情對教材進行拓展與延伸，以進一步揭露知識內涵，提高課堂教學價值.

教材“再建構”的原則

美國心理學家斯金納提出：當人們忘掉在學校所學的知識后，剩下的就是教育了. 學習不僅僅是知識點的學習，更重要的是學習方法與思維的建構. 怎樣讓零碎的知識變得系統化，讓學生的思維更加深刻一些呢？研究發現，對教材進行“再建構”可達成這一目標.

教材“再建構”一般遵循如下幾點原則：①遵循知識產生的邏輯順序，不隨意增刪、提前或滯后；②與學生認知發展規律相符，以發展學力為指向；③符合學生思維發展規律，以學生現有的思維水平作為教材“再建構”的起點.

教學分析

“不等關系”是本章節的章起始課，是一元二次不等式（組）、線性規劃等內容的基礎，因此這部分內容具有舉足輕重的作用，切不可一帶而過. 從教材來看，本節課的教學重點放在具體情境與不等式模型的建立上，引導學生學會從生活實際問題中甄別不等關系，為建立不等式奠定基礎. 從考綱要求來看，本節課僅需建立模型，并不需要求解.

結合教學目標與學生的實際認知水平，筆者決定對教材進行“再建構”，帶領學生從他們所熟悉的生活實際中抽象不等關系，在積極互動中建立模型，形成普適性的研究方法.

教學簡錄

1. 情境導入，感知不等

情境1 自2005年南京地鐵1號線運營以來，為人們的出行提供了太多便利. 如今，南京地鐵線路越來越多，創造了中國地鐵的多個記錄，如造價低、票價低、人工少等，這些都反映了咱們的現實生活中存在一些不等關系.

設計意圖 以現實生活作為導入情境，讓學生體會數學與生活有著密切聯系，感知“生活處處皆數學”；著重突出知識形成背景和生活現實的聯系，讓學生自主嘗試用數學眼光看待現實世界，用數學思維思考現實世界，對發展學生的“三會”能力與數據分析素養具有重要意義.

情境2 已知張三和李四的身高都是174 cm，那么這兩個人的實際身高一定相等嗎？

這個問題成功引發了學生認知沖突，有學生認為數據一樣，這兩人的實際身高必然相等；也有學生認為如果將數據單位精確到毫米、微米后，那么這兩人的實際身高就可能不相等.

設計意圖 身高問題引發學生認知沖突，讓學生發現生活中所說的相等關系往往是相對的，與相等關系相比，生活中的不等關系更多一些.

情境3 如圖1所示，此為我國古代用來取水的裝置——桔槔，請大家觀察圖片說說它的工作原理.

生1：這是利用杠桿原理，借助動力臂與阻力臂長度不相等的特征來制造的取水裝置.

師：非常好！以上三個情境告訴我們，不等關系存在于生活中的方方面面，因此我們有必要深入探索與研究它.

設計意圖 三個情境在課本中都出現過，筆者將它們整合到一起，引導學生從“發現不等—思考不等—應用不等”的線索出發，感知學習不等的必要性與重要性，激趣啟思的同時為接下來的教學奠定基礎.

2. 雙邊互動，表示不等

結合以上情境，啟發學生自主提出“不等關系用不等式來表示”. 在此基礎上，讓學生思考如下幾個問題：

問題1 何為不等式？不等號有哪些？

在問題的啟發下，學生認為用不等號連接起來的式子為不等式，不等號有“>”“<”“≤”“≥”“≠”等.

追問：你們知道不等號是誰最先使用的嗎？

史料滲透：1631年，英國數學家哈利奧特首次使用不等號“>”“<”，但當時的數學界并不承認該符號，直到百年以后，不等號才被數學界接受.

設計意圖 史料的應用，意在潤物細無聲地滲透數學文化，為進一步發展數學學科核心素養夯實基礎.

問題2 請大家列舉一些數學中含有不等關系的實例.

生2：完全平方的數必然不小于0.

師：該怎樣用數學符號語言表達呢？

生2：A2≥0.

生3：三角形的任意兩條邊的和必然大于第三條邊，用數學符號語言描述就是a+b>c，b+c>a，a+c>b（a，b，c為三角形的三條邊）.

師：很好！這些都屬于數學中常見的不等關系. 生活中也存在不少不等關系，現在請大家來看這三句話（用PPT展示）：①南京地鐵軌道線網超出了225公里；②南京地鐵售票處限定地鐵3號線的票價不得低于2元，不得高于7元，即票價介于2～7元之間；③乘坐地鐵時，乘客不得攜帶超過15 kg或大于0.15 m3的行李.

問題3 請找出這三句話中的不等關系，列表表示.

學生經過自主探究，將三個不等關系中的數據羅列在表1中.

問題4 在列表過程中，你們是如何將文字語言的不等關系轉化為符號語言的不等關系？

生4：先從文字表述中探尋出不等關系，然后設未知數，根據不等關系詞的意思進行轉化.

師：不錯，不等關系詞所表達的就是不等關系，因此我們可用不等號將其中的不等關系表達出來. 現在請同桌之間互相說一說生活實際中的不等關系，并用不等式表達出來.

（學生交流、互動、展示）

設計意圖 不論是地鐵的例子，還是同伴之間互相提出的生活實際問題，都是為了引導學生發現生活中的不等關系，并將這種不等關系用數學符號語言表達出來，為接下來的教學做鋪墊.

3. 模型建立，應用不等

問題5 既然我們已經學會了怎樣用數學符號語言來表達不等關系，那么能否建立不等模型呢？下面我們一起來看幾道例題.

例1 某人每月從家到公司往返共40次，他為自己制定了交通費不超過120元/月的計劃，已知乘坐地鐵的費用為2元/次，而乘坐出租車的費用為15元/次，他每個月至少需要乘坐幾次地鐵，才能確保交通費不超出預算？

解析 設每個月乘坐地鐵的次數為x，那么乘坐出租車的次數就是40-x，列式15（40-x）+2x≤120（x∈N），得13x≥480.

設計意圖 以一個簡單的生活通勤實例帶領學生感知一元一次不等式模型，整個問題其實還是圍繞“地鐵”這個背景而設計的，一方面前后呼應，另一方面揭露健康的通勤方式，起到育人的作用.

問題6 你能自主總結解決不等關系的一般步驟嗎？

師生積極互動交流，共同總結出圖2.

設計意圖 帶領學生從“三會”的角度出發，促使學生自主提煉研究不等式的基本模型，感知基本的研究方式方法，為發展數學抽象素養、建模能力等服務.

例2 已知地鐵站有多臺自動售賣機，某品牌的純凈水以2元的價格出售，每個月的銷售總量約10萬瓶，如果將其價格每瓶抬高0.2元，那么每個月的銷售總量就會減少5000瓶. 若想讓這種純凈水的月銷售額大于22.4萬元，該如何定價？

解析 假設定價提高x元，結合題意可列式（x+2）

10-

>22.4，經化簡，有5x2-10x+4.8<0.

設計意圖 此例為課本上的一道練習題，將它應用到課堂授課中，意在引導學生用數學思維思考與分析現實問題，從而進一步歷練學生從實際問題中抽象數學模型的能力，深化學生的建模思想與抽象素養.

例3 制造列車時，需將一部分原長度為4000 mm的不銹鋼管分別截取出500 mm與600 mm兩種規格，且規格為600 mm的數量不超過規格為500 mm的3倍，請將滿足以上條件的不等關系寫出來.

解析 假設截取了x根500 mm的鋼管，y根600 mm的鋼管，列式

500x+600y≤4000，

3x≥y，

x∈N，y∈N.

設計意圖 此為引入線性規劃知識的基礎，即用不等式組來刻畫現實中的不等關系，讓學生再次感知數學模型的建構過程，為提煉基本的數學思想方法做鋪墊.

4. 拓展延伸，提煉不等

例4 已知b g鹽水的含鹽量為a g，如果往該鹽水內再加入m g（m>0）的鹽，那么原來的鹽水會變得更咸，請從該實例中提煉不等關系.

解析 原鹽水濃度是，再加m g鹽后，鹽水濃度就是，那么不等關系為>.

問題7 從以上幾個實例來看，數學是詮釋生活的重要方式，正因為數學的存在讓我們的生活變得更加豐富. 你們還能列舉一些類似的實例嗎？

學生積極互動，提出女性穿高跟鞋后，增加了下半身與身高的比例，基本接近黃金分割數0.618，所以視覺效果更好，等等.

設計意圖 鹽水問題是生活中常見的現象，該例的提出主要是為了引導學生深化對分式不等式的理解，強化學生的建模意識與抽象能力，進一步提升學生的數學思維能力. 要求學生自主探尋生活中的實例，意在考查學生對不等式的理解與應用能力，這是檢驗學生對本節課教學內容掌握程度的過程，讓學生再次體驗生活中處處存在不等關系.

5. 回顧總結，回味不等

問題8 本節課是怎樣展開探索不等關系的？

這是一個回顧總結的問題，學生經思考與交流后，認為本節課的探索過程為“情境導入→乘坐地鐵→售賣飲料→制造地鐵→鹽水問題”，整個過程連貫且條理清晰. 此過程，涉及一元一次不等式（組）、一元二次不等式，以及分式不等式等模型.

問題9 通過本節課的學習，你獲得了哪些感悟、體驗與收獲？

依然經過合作交流，學生展示：如圖3所示，將生活實際中的不等關系作為出發點，通過不等式的建立與解不等式，可獲得相應的不等關系.

感悟階段，學生表示通過本節課的學習進一步感知生活處處皆數學的真諦，感悟生活中的很多事物是相對的，不等關系普遍存在于生活實際中，用好不等關系不僅能提高生活效率，還能讓生活變得豐富多彩、積極健康.

設計意圖 課堂總結猶如一節課的點睛之筆，處理好相等與不等關系的辯證是立德樹人的基礎，也是幫助學生形成終身可持續發展能力的基本途徑.

教學思考

1. 巧設情境，豐富教學背景

學生對與自己生活息息相關的知識更感興趣，因此應站在學生的角度設計情境. 不等關系從數學符號語言上來說相對抽象，難以拉近學生與知識的距離，而豐富的生活背景則能引發學生的探索興趣，讓學生自然而然地進入不等關系的研究中來. 當然，情境的選擇非常重要，切忌讓過于復雜的情境成為課堂的負擔.

課堂伊始，筆者從教材出發，優選地鐵、身高與桔槔三個生活實例，它們分別從現代化工業、人類本身與數學史三個角度來詮釋不等關系，具有典型代表性，每一個情境簡潔明了、條理清晰，便于學生從中感知什么是不等關系，又不會模糊視線. 尤其是關于地鐵的情境幾乎貫穿了整個課堂，讓教學更具系統性.

2. 精設問題，營造自由空間

問題是課堂的靈魂. 本節課由9個問題循序漸進地構成，學生的思維隨著問題的深入而更加豐富，這是課堂教學的常用方式. 縱觀整節課，筆者所提出的問題都是開放式的，這給學生提供了更多自由思考的空間，也給學生的思維指明了方向，學生在一個個有效問題的指導下自主分析與思考，不僅順利突破了教學重點與難點，還發展了數學學科核心素養.

3. 縱橫拓展，提煉總結升華

新課標背景下的數學教學并不是完成知識點的教學即可，而應著眼于數學思想方法，夯實“四基”與“四能”，發展“三會”能力等，只有指向數學學科核心素養的教學才是促進教育高質量發展的教學.

為了有效激發學生對數學學習的興趣，筆者深挖教材，讓學生“感知→發現→思考”什么是不等關系，進而全方位認識不等關系，并通過幾個典型不等實例讓學生明確學習不等關系的必要性與重要性，成功推動學生數學邏輯思維的發展，彰顯教材“再建構”的優勢.

總之，教材“再建構”的目的是更好地指向數學學科核心素養的發展，這是讓課堂超越基礎知識與技能，促進學力發展的基礎，也是落實“立德樹人”任務和“以生為本”理念的重要途徑. 因此，這是一種值得探索與研究的教學方式.