走出“機械刷題” 走進“深度學習”

[摘 要] “機械刷題”依賴于題型、套路和范式，雖然能夠在短期內(nèi)提升學生的解題能力，但學生的思維受到了固化. “深度學習”有助于提升課堂教學效果與質(zhì)量，關系到學生思維水平的提升. 在平時教學中，高中數(shù)學教師要針對學生數(shù)學思維發(fā)展需求與數(shù)學知識和方法積累需求，引導學生理解數(shù)學知識，探究數(shù)學方法的本質(zhì)，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，構(gòu)建數(shù)學知識體系與能力體系. 基于此，研究者結(jié)合一道試題的講評，帶領學生走出“機械刷題”，走進“深度學習”.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;深度學習;理性分析

“機械刷題”是為了強化訓練某個知識點、某個解題技巧而大量、重復地做題，有利于學生記憶、運用相關知識，能提升學生的解題速度，提高學生的考試成績，備受學生、家長，以及部分教師的青睞，由此造成課堂上教師“滿堂灌”“一個概念、幾項注意、若干例題”，課后學生“練反復，反復練”等現(xiàn)象，導致數(shù)學教學以強化“記憶”為核心，輕定義、概念、原理形成的過程，重題型、套路、重范式的歸納和總結(jié). 數(shù)學解題在“機械模仿”中度過，簡單的“模仿”與“記憶”無法真正掌握知識，以至于“學得快，忘得也快”，長此以往，不僅會固化學生的思維，還會阻礙學生高階能力的發(fā)展，使學生難以應付新高考，無法實現(xiàn)“高能高分”.

“深度學習”要求學生在獨立思考、合作交流的過程中掌握核心知識，把握知識本質(zhì)，厘清知識點的來龍去脈，構(gòu)建數(shù)學知識體系，學會用數(shù)學方法提出問題、分析問題和解決問題. 基于“深度學習”構(gòu)建高中數(shù)學解題教學課堂，要根據(jù)題目內(nèi)容合理布置思考任務，科學創(chuàng)設問題情境，利用已有的解題矛盾，激發(fā)學生探索更多的解題方法和運算路徑. 引導學生主動參與、深度參與解題過程，讓學生將自有的認知經(jīng)驗和能力轉(zhuǎn)化為學習的生長點，通過不斷理解、應用、批判和反思，對相關數(shù)學知識和解題方法進行深度加工和內(nèi)化遷移，繼而提升學生的實踐感和體驗感，提高學生的解題能力和運算素養(yǎng).

在解題教學過程中，如果教師評講習題的方法跟學生解題的方法相同，那么學生會認為自己做對了或者能做對，然后埋頭干自己的事，導致教師的解題方法、數(shù)學思想、運算素養(yǎng)無法傳遞給學生，學生的解題水平和數(shù)學素養(yǎng)還在原地踏步. 因此，教師在基于“深度學習”構(gòu)建高中數(shù)學課堂時，要重視教學方法的選擇，促使學生發(fā)揮主體作用，保持良好的學習狀態(tài);要重視知識的連續(xù)性，引導學生構(gòu)建知識體系，完善知識結(jié)構(gòu);要重視從不同切入點引導學生多思考、多反思，引領學生走進“深度學習”，走出“機械刷題”.

題目：（2022—2023學年度蘇州期中考試）已知正數(shù)x，y滿足2x+y=1，若不等式x2-mxy+y≥0恒成立，則實數(shù)m的最大值為________.

課前：追根溯源，尋找突破

此題是蘇州2022—2023學年度高一數(shù)學期中考試的填空題的第3題（下文簡稱第3題），作為四星級且生源較好的學校，第3題的均分只有2.4146分（滿分5分），意味著全校有一半以上的學生做錯或放棄，而第3題的背景、知識、結(jié)構(gòu)、關鍵詞及類似題，在課本和平時練習中都涉及較多. 例如人教A版（2019）必修第一冊教材的第58頁的第5題：若a，b>0，且ab=a+b+3，求ab的取值范圍. 第6題：當k取什么值時，一元二次不等式2kx2+kx-<0對一切實數(shù)x都成立？這兩題都涉及“雙變量”和“恒成立”，是平時教學的重點和難點. 通過相關訓練，學生分別采用“減元”和“分離參數(shù)”兩個不同方法去解決“雙變量”和“恒成立”問題，導致學生求解第3題時產(chǎn)生了兩個不同方向. 但在每一個方向的操作中，由于學生分析能力和計算能力的欠缺，導致計算比較煩瑣，最終無疾告終.

課上：探究本質(zhì)，提升素養(yǎng)

1. 減元優(yōu)先，厘清根源

涉及二元的最值問題，若不能直接結(jié)合基本不等式解決，則學生容易利用減元的方法，將原問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題，借助函數(shù)圖象，探究出不同運算路徑，但是教師在評講過程中，應引導學生采用合理的運算路徑，優(yōu)化運算路徑，尋求最適合自己的運算路徑.

部分學生減元后利用三個“二次”關系，得到相應的“正確的結(jié)果”，但是其過程缺乏嚴謹性. 過程如下：由2x+y=1得y=1-2x，代入x2-mxy+y≥0，得（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0. 利用二次函數(shù)的圖象可得2m+1>0，

Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0，即m>-

，

0≤m≤4，所以實數(shù)m的最大值是4. 此過程看起來比較流暢，部分學生也沉淀在此方法中，此時教師提醒學生要仔細審題，學生通過仔細閱讀后發(fā)現(xiàn)，上述方法有缺陷，題目中的條件“正數(shù)x，y”未用到，沒有考慮自變量x實際的取值范圍（實際上，由正數(shù)x，y及y=1-2x，得0<x<），而是把自變量x的取值范圍定為R來解題. 若作為填空題，可以將m=4代入進行驗證，得9x2-6x+1≥0，當x=時取等號，也能得分.

2. 化生為熟，巧借圖象

如果第3題為解答題，那么問題可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）=（2m+1）x2-（m+2）x+1在x∈

0，

上的最小值大于等于零，求m的取值范圍. 由于x2前面的系數(shù)不定，因此需要先討論x2前面的系數(shù)是否為0. 如果x2前面的系數(shù)不為0，那么y=f（x）才是二次函數(shù). 確定y=f（x）是二次函數(shù)后，再討論其圖象開口向上和開口向下兩種情況，每種情況又要轉(zhuǎn)化為動軸定區(qū)間三類問題進行討論. 綜上所述，總共七種情況，且計算還比較煩瑣. 但是結(jié)合已知可得f（0）=1，f

=，如果y=f（x）是二次函數(shù)，那么其圖象開口必向上. 結(jié)合y=f（x）的圖象可知，當其對稱軸x=≤0或x=≥時都符合題意，當x=∈0

，時，只需要Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0即可. 因此，借助函數(shù)圖象可大大減少運算量，達到“以形助數(shù)”的效果.

3. 分離參數(shù)，合理運算

由于第3題涉及不等式恒成立，因此可以用“分離參數(shù)”的方法進行處理. 結(jié)合自變量x的取值范圍比較小，可知分離參數(shù)不需要討論，由此預判運算量不會太大：由（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0得m（x-2x2）≤x2-2x+1，當0<x<時，x-2x2>0，所以m≤恒成立. 此時問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=的最小值.

由于的分子和分母都是二次多項式，因此可以通過分離參數(shù)降次：==-+. 此時問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.

由于的分子是一次多項式，分母是二次多項式，常規(guī)手段就是對一次多項式進行換元處理：令t=1-x，則x=（1-t），t∈

，1

，===≥=，當且僅當t=，即x=時取等號. 所以的最小值為4，實數(shù)m的最大值為4.

上述運算過程仍然比較煩瑣，想要簡化它，可引導學生分析的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)的分子是個完全平方式，由此對x-1進行換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題. 分離參數(shù)得m≤=，令t=1-x，則x=1-t，t∈

，1（為保證t為正數(shù)便于計算，令t=1-x，而沒有令t=x-1，更符合學生的運算習慣），===≥4，當且僅當=，t=，即x=時取等號. 所以的最小值為4，實數(shù)m的最大值為4.

上述過程先減元，然后分離參數(shù)，需要引導學生注意題目中的關鍵字眼“恒成立”，也可以直接分離參數(shù)，培養(yǎng)學生的直觀想象能力. 同時提醒學生注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，通過合理處理，減少運算量.

4. 分參先行，合理減元

由不等式x2-mxy+y≥0恒成立得mxy≤x2+y，由正數(shù)x，y得m≤=+. 在此減元，是減“y”還是減“x”，需要帶領學生耐心分析：若減“x”，則式子變?yōu)?=+ ，式子的分子和分母都需要運算;若減“y”，則式子變?yōu)?=+，運算量稍微少一點，運算路徑也更合理！

由+=+，問題轉(zhuǎn)化為求+的最小值，部分學生會毫不猶豫地通分，得+=，回到上述問題，不再贅述. 也有部分學生提出分子和分母都有變量，可以先分離常數(shù)，得+=+= -++，問題轉(zhuǎn)化為求+的最小值.

5. “1”的代換，理性分析

有學生提出可以這樣換元：令m=1-2x，n=x，2x+y=1轉(zhuǎn)化為m+2n=1，求+的最小值. 此時學生異口同聲說道：把“1”用m+2n=1代換處理. 即+=

+=+++2≥+2+2=，當且僅當=，即x=時取等號.

還可以引導學生分析式子+，可知其分母的和為1-2x+x=1-x，不是定值，但通過配湊可得1-2x+2x=1，所以+=+=+2=+++2≥+2=，當且僅當x=時取等號.

上述兩種方法都涉及“1”的代換，到此絕大多數(shù)學生能想到+中的“1”也可代換計算，運算量比較小. 其實類似題在平時教學中都有所涉及，比如“已知2a+b=1，求+的最小值”，學生看到這個題目感覺非常熟悉，而看到+就容易把“1”的代換拋到九霄云外去，究其原因是學生沒有理解和把握“1”的代換的本質(zhì)，平時做題時都是機械刷題，在記憶中做題，在做題中記憶，將數(shù)學知識、方法、思想文科化和機械化，只會感性做題，不會理性分析題目. 遇到背景稍微新一點或與平時練習背景不同的題目時，就不能游刃有余地解決相關問題.

課后：總結(jié)反思，助力成長

1. 通過聯(lián)系，提升學生思維的深刻性

在高中數(shù)學學習的起始階段的高一來說，對于題目的評講，不能就題講題，僅僅把解題過程搬到黑板上去，而是需要引導學生理性分析、耐心思考，促使他們探索不同的求解途徑，并在此過程中深化對相關知識點的認知，厘清知識內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，比較不同方法的優(yōu)劣，尋找各個解法的共同點，讓學生能夠“舉三反一”和“舉一反三”，尋找各個解法的不同點，根據(jù)解法的差異，引導學生探究必要調(diào)整的路徑，包括進一步思考如何簡化運算等. 通過學生總結(jié)和反思五個解法，逐步建立結(jié)構(gòu)性的認識;通過批改作業(yè)和跟學生交流，分析學生的認知特點，帶領學生突破邏輯結(jié)構(gòu)的局限性. “數(shù)學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯(lián)”，教學中要充分利用這個“聯(lián)”給學生留下深刻的印象，努力提升學生的思維品質(zhì).

2. 通過變化，培養(yǎng)學生思維的靈活性

學生沒有一步到位利用“1”的代換求解第3題，其根本原因是學生對基本的減元和分參問題的解決沒有完全掌握. 因此，教學中先設置相關的簡單問題，然后盡可能使用完善的方法和能夠推廣的方法來解決它們. 同時重視研究視角的拓寬或改變，善于跳出原先的思考路徑，并從不同角度進行分析和思考. 雖然評講一道題需要一堂課，但是通過一道題的講解、變化、延伸、拓展，以及師生互動、探討、修正，能夠帶領學生真正學到知識. 引導學生研究“什么變了，什么沒變”，讓學生善于“從變化中抓不變”和“從不變中抓變化”，培養(yǎng)學生思維的靈活性.

3. 總結(jié)、反思、再認識

評講結(jié)束后，教師應留下足夠的時間讓學生訂正、整理，反思、總結(jié)，促使學生分析、評估解題活動（包含解題策略的選擇、整個過程的組織、目前所從事的工作在整個解題過程中的作用等），調(diào)整解題過程（包含糾正錯誤）;促使學生以后遇到同類題，能夠自我意識到“選擇怎樣的一條解題途徑”“選擇的解題途徑是否可行”“選擇的解題途徑是否最好”“是否有更好的解題途徑”“采用的解題途徑是否可以徹底解決問題或能否對此起到很大的促進作用”等等. 通過這樣的總結(jié)與再認識，進一步發(fā)展和優(yōu)化自己的認知，真正做到“化多為少”“化復雜為簡單”，從而實現(xiàn)認識的發(fā)展和優(yōu)化，由局部性認識發(fā)展到整體性認識.

4. 樂于思考、善于思考

部分學生不管在平時練習還是考試中，拿到題目就下手，不作任何的預判和思考，做題就像踩西瓜皮，滑到哪里算到哪里，甚至不知道對在哪里，也不知道錯在哪里，做題沒有任何活動經(jīng)驗，更談不上思維的清晰性、條理性、嚴密性與自覺性. 教師教學中應立足具體的數(shù)學活動，比如具體的解題過程中，帶領學生進行數(shù)學思維分析，通過具體的知識內(nèi)容和解題過程提升學生的思維品質(zhì). 在思維分析的前提下，不管計算的繁簡度如何，帶領學生將運算進行到底，以便學生較好地做到“胸中有數(shù)”，并能樂于計算、樂于數(shù)量分析，善于計算、善于數(shù)量分析，形成良好的“數(shù)感”促進學生思維的發(fā)展，提升學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生“樂于思考、勤于思考、善于思考”的習慣.

“數(shù)學是思維的體操”，深度學習是一種面向高階思維的學習，構(gòu)建深度學習的高中數(shù)學課堂時，要將教學模式創(chuàng)新的重點放在“學習”和“深度”兩個詞上，促使課堂教學從灌輸式教學向以學生為中心的生本教學轉(zhuǎn)變. 當然，讓學生“走進深度學習”比“機械刷題”要復雜得多、花費更多的時間，需要教師對解題和教材有更深入的研究，以便面對復雜的數(shù)學問題，教師能通過多種方式進行處理，使其更加簡單化，更加符合學生認識規(guī)律和學習能力發(fā)展規(guī)律，切實提高學生的思維、能力和核心素養(yǎng)，最終培養(yǎng)高質(zhì)量創(chuàng)新性人才.