增強型野馬優化算法及其工程應用

摘 要：針對野馬優化算法易陷入局部最優、收斂速度慢等缺點，提出增強型野馬優化算法。首先，在種群初始化階段，采用Sinusoidal映射，增加種群的多樣性；其次，在階段更新過程中，設計出非線性收斂性更強的自適應權重，調節全局搜索和局部優化能力；然后，在更新領導者位置階段加入擾動因子，平衡局部和全局探索能力；進一步，利用自適應t分布變異，對個體位置進行擾動，提高算法跳出局部最優的能力。通過在CEC2021測試競賽進行測試優化比較，驗證算法的有效性和穩健性，并利用Wilcoxon秩和檢驗和MAE排名，驗證算法的有效性。最后將算法應用到工程難題問題中，驗證了其在工程優化問題上的適用性與優越性。實驗結果表明，與其他智能算法相比，增強型野馬優化算法具有更強的尋優能力和更快的收斂速度。

關鍵詞：野馬優化算法； Sinusoidal映射； 自適應t分布； 工程優化

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2024）07-020-2061-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.10.0505

Enhanced wild horse optimization algorithm and its engineering application

Abstract：To overcome the weaknesses of wild horse optimization algorithm， such as easy to fall into local optima and slow convergence speed， this paper proposed an enhanced wild horse optimization algorithm. Firstly， in the population initialization stage， it utilized Sinusoidal mapping to increase the diversity of the population. Secondly， in the stage update process， it designed adaptive weights with stronge9Xjk1wlPuMDjFtZHAPcaIJvga+aWzTY8khYfD2oVPdE=r nonlinear convergence to adjust the abilities of global search and local optimization. Then， it introduced perturbation factors in the leader position update stage to balance local and global exploration capabilities. Furthermore， it utilized adaptive t-distribution mutation to perturb the individual positions and improve the algorithm’s ability to jump out of local optima. The effectiveness and robustness of the algorithm were validated by optimization comparisons in the CEC2021 competition test set， and the efficacy of the algorithm was verified through Wilcoxon rank sum test and MAE ranking. Finally， it applied the algorithm to two engineering problems， which verified the applicability and superiority of the algorithm for engineering optimization problems. The experimental results indicate that the enhanced wild horse optimization algorithm exhibits stronger optimization capabilities and faster convergence speed，which compared to other intelligent algorithms.

Key words：wild horse optimization algorithm; Sinusoidal mapping; adaptive t-distribution; engineering optimization

0 引言

隨著人類社會的迅速發展，問題的規模和復雜度不斷增加，因此需要更加通用和高效的算法來應對這些挑戰。元啟發式算法具有通用性強、計算效率高、問題規模可擴展等優點，被廣泛應用于大量復雜的科學研究和工程應用問題。隨著群智能算法的優點被大眾熟知，越來越多新的群智能算法不斷地被提出，如鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）［1］、正弦余弦算法（sine cosine algorithm，SCA）［2］、白骨頂雞優化算法（coot optimization algorithm，COOT）［3］等。

野馬優化器（wild horse optimization，WHO）是Naruei等人［4］提出的一種新的智能優化算法。該算法的靈感來源于野馬的社會生活行為，主要包括小馬駒的放牧行為、馬的交配行為、領導種馬群體，以及各種群領導者選拔行為等。該算法具有結構簡單、時間復雜度低、控制參數少等特點，因此有廣泛的應用前景。Ali等人［5］將改進WHO用于解決電力系統優化問題。Motwakel等人［6］將WHO用于電力數據中優化選擇特征，最終實現了準確的負荷預測性能。Milovanovic＇等人［7］將WHO用于微電網多目標能量管理中。蔡延光等人［8］將改進WHO用于求解TS，相比原算法取得了很好的效果。

雖然野馬優化算法優化能力具有一定的優勢，但仍然存在一些缺陷。例如，在初始化階段存在初始種群多樣性差、全局搜索能力弱、易陷入局部最優等不足。針對上述問題，李高揚等人［9］首先引入tent映射初始化種群，提高算法的全局尋優能力，其次采用自適應領域搜索策略，改善算法的開發能力，最后利用高斯隨機游走策略對個體的歷史最優位置進行回溯搜索，改善算法的探索能力。然而tent映射可能導致種群中存在多個重復個體，并且初始種群分布不均，從而造成收斂速度慢以及容易陷入局部最優等問題。李一銘等人［10］首先利用非自適應因子，有效平衡了算法全局探索和局部挖掘能力，其次引入偏移進化策略增加個體多樣性，然后引入黃金正弦分割系數，指引個體向全局最優位置方向移動。但是使用黃金正弦分割系數可能會導致引入的方向性過強，會使種群陷入局部最優解。

綜上，本文提出一種增強型野馬優化算法（enhanced wild horse optimization，EWHO），以解決WHO存在的不足。一方面，在野馬種群初始化階段進行Sinusoidal映射，Sinusoidal映射相比tent映射具有更加平滑、更廣的映射范圍和更好的分布性質等優點，能更好地提高種群多樣性；另一方面，改進自適應因子以平衡全局探索和局部開發能力；然后，在更新種馬位置時融入自適應擾動因子，相比黃金正弦分割系數，自適應擾動因子通過可調節的參數、自適應性和獨立性，提供了更大的靈活性，能夠使算法更好地適應不同的問題和優化目標；最后，引入自適應t分布和動態選擇策略，進一步協調局部搜索和全局搜索的比重。

1 WHO算法

1.1 初始化種群

隨機生成種群數為（x）={x1，x2，x3，…，xn}，接著對初始種群進行分組，如果總體成員數為N，則種馬數量為G=N×PS。其中PS為種馬在總群中所占的百分比，剩下的成員數量為N-G。根據種馬數量G進行平均分組，從而保證每一個組別中都有一個種馬。

1.2 小馬駒放牧行為

小馬駒通常大部分時間都在群體附近吃草，把種馬視為放牧區域的中心，群體其他成員在不同半徑的引線周圍進行移動和探索的公式如式（1）所示。

xji，G=2Z cos（2πRZ）×（Stallionj-xji，G）+Stallionj（1）

其中：xji，G是群體成員當前位置；Stallionj是種馬的位置；R是［-2，2］的隨機數，可以使馬駒以不同角度進行放牧；xji，G是群體成員在放牧時的新位置；Z是由式（2）計算出的自適應結構。

Z=R2·IDX+R3·（～IDX）（2）

其中：P=R1<TDR，IDX=（P==0），如果R1中的元素小于TDR，則返回邏輯值1，否則返回0；P是0和1組成的向量；R1和R3是在［0，1］均勻分布的隨機向量；R2是在［0，1］均勻分布的隨機數；IDX返回的是P向量中元素等于0的位置；TDR是自適應參數，從1開始，在算法執行過程中不斷線性減小到0，表達公式如式（3）所示。

TDR=1-iter×（1/maxiter）（3）

其中：iter為當前迭代次數；maxiter為算法的最大迭代次數。

1.3 馬的交配行為

當小馬駒成熟后，會離開自己所在的群組進行交配行為，表達公式如式（4）所示。

XPG，K=Crossover（XqG，i，XzG，j） i≠j≠k，q=z=end（4）

其中：XPG，K表示群組k中的第p個個體的位置；Crossover表示取XqG，i和XzG，j的平均值；XqG，i表示群組i中的第q個個體的位置；XzG，j表示群組j中第z個個體的位置。

1.4 集體領導

群體領導者需要帶領種群走向最佳棲息地，如果當前種群占主導地位，則可以使用棲息地，否則必須遠離。這個過程可以用式（5）進行表示。

1.5 領導者的交流與選拔

隨機選擇領導者，確保算法的隨機性質，后期如果成員有更好的適應度值則進行身份交換，如式（6）所示。

2 EWHO算法

2.1 Sinusoidal 映射

算法的初始化階段對后期過程有很大影響。WHO算法的基本種群初始化是在整個空間內隨機分布，具有較高的隨機性和分布不均勻性，會導致種群多樣性缺乏，搜索效率低等問題。許多學者利用混沌映射機制來增加種群的多樣性，以改善算法的性能。常見的混沌模型包括Sinusoidal、Logistic和Circle映射。Sinusoidal映射是一種常用的混沌映射函數，它通過正弦函數生成非線性和周期性的數值序列。相對于Logistic和Circle映射，在某些區域產生更密集數值分布的情況下，Sinusoidal映射表現出更高的隨機性。其非線性特性和周期性質使得它能夠生成更復雜、更隨機的序列，有助于增加種群的多樣性，避免種群陷入局部最優解。

圖1展示三種混沌映射方式所產生的混沌序列值的分布?？梢钥闯?，Logistic和Circle映射取值概率都不均勻，而均勻的混沌值范圍可以促進種群在搜索空間內更均勻地分布，增加種群個體的多樣性，Sinusoidal映射相對于Logistic和Circle映射分布更為均勻。

圖2是在函數Griewangk’s function的測試下，WHO分別利用隨機初始化、Sinusoidal映射初始化、Logistic映射初始化和Circle映射初始化得到的目標函數收斂曲線。由圖可知，經過Sinusoidal映射初始化的WHO在收斂速度和求解精度上的表現都優于其他映射方法。這種初始化方式有助于增加初始化種群的多樣性，使算法能夠在更廣泛的搜索空間內進行尋優，從而促進全局尋優過程。

同時Gandomi等人［11］證明了Sinusoidal映射比其他映射具有更好的優化效果，因此引入Sinusoidal映射改善種群分布，提高初始種群多樣性。Sinusoidal混沌映射表達式如式（7）所示。

xk+1=ax2ksin（πxk）（7）

其中：a=2.3；xk為第k次迭代的值；xk+1為第k次迭代后得到的新值。

2.2 改進TDR

根據式（1）可知，小馬駒的位置通過Z控制，所以自適應Z是協調全局探索和局部利用的關鍵，而TDR是用來控制變量的自適應參數，所以也是整個算法的關鍵。根據式（3），TDR的值隨著算法迭代從1線性減小到0，雖然線性自適應參數可以平衡全局探索和局部優化，但比較有限，會降低算法的性能，受朱學敏等人［12］啟發，提出將TDR改進為非線性自適應參數，表達公式為

TDR=［（1-iter/maxiter）（2iter/maxiter）］2iter/maxiter（8）

圖3展示了改進后的TDR與原始TDR的對比。可以看出，重新設計的非線性自適應權重呈現出更為平滑的上、下界，有助于使算法在搜索空間中更為均勻地進行探索，有效減少了陷入局部最優解的風險。在迭代初期，改進后的TDR的數值保持在較高的位置，且表現相對平穩，促使算法進行更廣泛地全局探索，避免過早收斂到次優解，提高對全局解的發現概率；迭代中期，其數值迅速減小，有助于加速從全局探索轉變為局部開發的過程；在迭代后期，采用較小的自適應權重，使小馬駒在探索空間中更為細致入微地尋找潛在解，增強了算法對局部最優解發現的概率。這一非線性自適應權重的改進方案使得算法更具平滑性和魯棒性，有助于更有效地發現整個搜索空間中的最優解。

2.3 帶擾動因子的領導者

整個尋優的過程中，領導者位置的變動關乎整個種群的動向。在StallionGi移動的過程中添加擾動因子，可以改變搜索范圍，跳出局部最優，增加協調局部搜索和全局優化能力。擾動因子g定義為

g={cos［（1-iter/maxiter）2×π］+α}×β（9）

通過對α和β進行組合實驗，當α=4，β=5，全局探索和局部尋優能力達到較好的平衡。改進后的領導者移動公式為

自適應性可以根據迭代的進程動態調整g的值，以適應不同的優化階段。這樣可以使算法在不同的迭代階段表現更好。當StallionGi朝著最優位置移動時，勘探范圍由大到小，可以增加局部搜索能力；遠離最優位置時，搜索范圍由小到大，能夠增強全局探索能力，有效避免陷入局部最優。

2.4 自適應t分布與動態選擇策略

t分布又稱學生分布，含有參數自由度，t（n→∞）→N（0，1），t（n=1）=C（0，1），其中N（0，1）為高斯分布，C（0，1）為柯西分布，即標準高斯分布和柯西分布是t分布的兩個邊界特例分布［13］。三者分布如圖4所示。

柯西變異的全局搜索能力較強，能夠有效地保持種群的多樣性；高斯變異的局部開發搜索能力較強，可以保證進化后期的收斂速度［14］。因此本文采用迭代次數iter為t分布自由度參數的t分布變異算子對小馬駒的位置進行擾動，將迭代次數作為自由度參數的t分布，具有自適應性、平衡全局與局部搜索以及收斂速度優化的優點。通過動態調整自由度參數，算法能夠在早期階段促進全局搜索，發現更廣闊的解空間；而在后期階段加強局部搜索，收斂到更精確的解。這種方法能夠提高算法的搜索效率和性能，使其在全局和局部搜索之間找到合適的平衡點，從而優化算法的探索能力、收斂速度和求解的精度。具體位置更新方式如式（11）所示。

雖然使用自適應t分布能夠在很大程度上提升算法的尋優能力，但如果對所有個體使用，一方面會增加算法的計算時間，另一方面不能保留原始算法的優點。因此，小馬駒個體是否采用自適應t分布，本文采用動態選擇概率來調用自適應t分布變異算子的使用，具體公式如式（12）所示。

q=w1-w2×（maxiter-iter）/maxiter（12）

其中：w1=w2=0.8。動態選擇q概率使得算法在迭代前期對小馬駒位置進行擾動，改善迭代初期就存在收斂的傾向，在迭代后期，充分發揮原算法良好的局部開發能力，同時以小概率的t分布變異作為補充，提高算法的收斂速度。

2.5 EWHO實現步驟

綜合以上針對WHO改進的策略，EWHO的偽代碼如下。

2.6 時間復雜度分析

綜上所述，EWHO時間復雜度為O（Nd）+O（NTd）+O（NTd）+O（NTd），與WHO時間復雜度一致。

2.7 收斂性分析

全局收斂性準則及定理［15］描述了算法滿足全局收斂性需要的兩個條件：

其中，f是適應度函數，D為隨機搜索算法，x為解空間RN子集S中能使適應度函數取得最小值的點，ξ為算法D在迭代過程中得到的解， S為可行解空間。若滿足該假設，則說明算法適應度值單調不增。

定理1 EWHO滿足條件1。本文算法最優位置更新包括原始野馬算法的位置更新和引入自適應t分布的位置更新，所以將EWHO定義為

其中：Xb，t為第t代時全局最優個體的位置；g（Xi，t）表示通過式（1）（4）（10）更新第t代的位置；h（Xi，t）為通過自適應t分布更新第t代位置。由式（13）（14）可知，Xb，t對應的全局最優適應度值單調不增，滿足條件1。

定理2 EWHO滿足條件2。對于EWHO中領導者位置更新機制，有

對于小馬駒更新位置機制，有

由引理1可知，EWHO具有全局收斂性。

3 實驗仿真與結果分析

3.1 仿真實驗環境與參數設置

仿真實驗所用軟件為MATLAB R2021a，測試環境為操作系統Windows 10專業版64位（10.0，版本19042），處理器為Intel CoreTM i7-6820HQ CPU@2.70 GHz（8CPUs），內存為16 384 MB。

為驗證EWHO的優越性能，選取鯨魚優化算法（WOA）［1］ 、正弦余弦算法（SCA）［2］、白骨頂雞優化算法（COOT）［3］、野馬優化算法（WHO）［4］、改進野馬優化算法（CWHO）［10］與EWHO進行對比。本文選取CEC2021的40個函數進行算法測試，以驗證改進后算法的優越性。為保證實驗的公平性，各個算法參數設置與原文獻保持一致，如表1所示。同時，為保證仿真實驗的有效性，其他運算參數均設置相同，種群規模設置為30，最大迭代次數為1 000，所有算法均進行30次獨立重復實驗。

3.2 CEC2021測試函數

CEC2021測試函數是IEEE進化計算機大會單目標參數優化競賽中提出的10個在10維、20維上可擴展的復雜測試函數，詳細信息如表2所示。

本文在10個基準測試函數上擴展rotation和bias兩種操作，1表示加入上述操作，0表示未加入上述操作，則基準函數可以得到00、01、10和11類型4種組合，共計40個測試函數，進行20維函數的測試實驗。

3.3 靈敏性分析

在EWHO中動態選擇概率q是決定是否采用自適應t分布變異的關鍵，為了使其性能達到最優，本節對參數w1和w2進行了靈敏性分析。

參數w1、w2和迭代次數決定了采用自適應t分布變異的時機，為了使得算法在迭代前期使用t分布變異對小馬駒位置進行擾動，迭代后期以小概率的t分布變異作為補充，因此可以將［w1，w2］設為{［0.1，0.1］，［0.2，0.1］，［0.2，0.2］，［0.3，0.1］，［0.3，0.2］，［0.3，0.3］，［0.4，0.1］，…，［0.9，0.8］，［0.9，0.9］}（一共45組）。對于每個組合，計算在10個CEC2021測試函數上平均值的最終排名和得分（得分=45-最終排名），其中最大迭代次數為1 000，種群規模為30，分別進行獨立30次運行。如圖5所示，可以看到不同組合的得分情況，性能越好，得分越高，直方圖越高。當［w1，w2］為［0.8，0.8］時，柱狀圖最高，本文將w1和w2均設為0.8。

為了驗證有無動態選擇概率是否會增加算法的運行時間以及是否會影響求解的精度，本文選擇40個測試函數進行驗證。由于篇幅有限，只選擇有差異的部分進行呈現，結果如表3和4所示。通過表3可知，有無動態選擇概率的求精精度相差不大，甚至在有選擇動態概率時的求解精度要略勝于沒有動態選擇率的求解精度。表4展示了每種類型的函數獨立運行30次所需的時間?？梢钥闯?，有動態選擇概率的運行時間得到較大的提升，尤其是針對Rotation［10］類型，整體提升了139.4 s。

綜上所述，通過參數靈敏性分析、求解精度以及運行時間對比，有動態選擇概率的算法整體性能要優于無動態選擇概率。

3.4 在測試函數上的算法性能分析

由于CEC2021的10個函數理論最優值各不相同，本文對各算法的尋優結果與理論最優值求差，以差值0作為各函數的最優值，以方便對比分析，表5為EWHO與各個算法在每個函數上運行30次的平均值和標準差。

根據表5，本文EWHO在40個測試函數中表現出最優的性能。在01類型的測試函數中，EWHO的求解平均值達到了函數理論最優值，標準差為0，而CWHO只找到了一半測試函數的理論最優值。在f2、f6、f7和f10函數中，只有EWHO的求解精度達到了函數理論最優值，而WOA在f1、f3和f5函數中也找到了最優值，這表明WOA在求解精度方面也表現出了較好的性能，而SCA的整體表現最差。

在11類型的測試函數中，EWHO找到了所有函數的理論最優值，標準差為0，是整體性能最優的算法。CWHO略遜一籌，對于其求解精度沒有達到理論組最優值函數f6、f7和f10而言，EWHO求解精度達到了理論最優值。盡管CWHO相比WHO有一定的改進，但與EWHO相比仍存在較大差距。COOT在f1、f3和f5函數中也找到了最優值，而WHO和SCA的求解精度和穩定性表現較差。

在00和10測試函數中，EWHO在絕大多數函數的平均求解精度上達到了理論最優值，并且標準差為0。雖然在f6、f7、f9和f10函數中沒有找到最優值，但相比其他算法，EWHO在這些函數上仍然表現出較好的性能，并且在f10函數中平均求解精度也達到了2.67E-315的數量級，遠遠高于CWHO的1.95E-07。盡管CWHO整體性能也較好，但仍稍遜于EWHO。WHO的平均求解精度均沒有達到理論最優值，且標準差相對較大，整體表現較差。WOA在00類型中的f3和f8函數中也尋求到了理論最優值，整體性能優于SCA和WOA。

為了更直觀地比較各個算法的收斂精度以及收斂速度，針對不同類型的組合函數，本文選取了部分收斂曲線，如圖6所示。

從圖6的收斂曲線可以看出，無論是在收斂速度還是求解精度上，EWHO都明顯優于其他對比算法。雖然CWHO和EWHO在00類型的f3函數以及01、10和11類型的f2函數的平均求解精度都達到了理論最優值，但是EWHO的收斂速度要遠遠大于CWHO，甚至在迭代初期就達到了理論最優值，說明了EWHO在全局搜索和收斂性方面具有較好的性能。WOA在00類型的f3和01類型的f6上收斂速度僅次于EWHO，COOT和SCA的收斂速度較差。對于11類型的f2和f10函數來說，WHO的收斂速度和求解精度較差，CWHO優于WHO，EWHO不管是在收斂速度和求解精度上都是最優的。

本文提出的增強型野馬優化算法，首先使用更加穩定的Sinusoidal映射初始化種群，擴大了種群的范圍，提高種群多樣性，為后續的全局探索奠定了良好的基礎。在迭代前期，本文使用的非線性自適應參數替代傳統線性參數的數值，保持在較高的位置，促進算法進行更為廣泛的全局探索。此外，在領導者更新階段加入擾動因子，在遠離最優位置時，搜索范圍由小到大，能夠增強全局探索能力，同時有較大概率出現的自適應t分布在迭代前期接近柯西變異，具有較強的全局搜索能力。在迭代后期，非自適應參數保持在較低的數值，使得小馬駒在迭代后期的局部探索時間增加，更好地進行局部尋優。通過在領導者位置更新階段引入擾動因子，當朝著最優位置移動時，探勘范圍由大到小，從而增加局部探索能力。此外，具有較小概率出現的自適應t分布在迭代后期接近高斯變異，局部開發探索能力較強，能夠加快后期的收斂速度。

野馬優化算法通過引入的策略，在迭代前期增強了全局探索能力，在后期增強了局部尋優的能力，實現了全局尋優和局部尋優的良好平衡。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗

為了全面評估EWHO的可靠性和優越性，本文選取Wil-coxon秩和檢驗方法進一步驗證各個算法實驗結果的顯著性差別。選取EWHO在CEC2021測試集函數上的運行結果與其他算法進行Wilcoxon秩和檢驗，并計算P值檢驗結果，同時為了綜合評估EWHO與其他算法的競爭性，使用MAE對上述算法進行排序。由于篇幅有限，僅列出部分20維函數的實驗結果，如表6所示。當P值小于5%時，說明兩種算法的差異性顯著，否則，不顯著。由表6可知，大部分的P值都是小于5%的，說明改進后的EWHO與其他算法相比差異性明顯，且經過MAE排名可知，EWHO排名第一，由此可以認為EWHO在CEC2021測試函數上的整體性能強于其他算法，進一步證明了本文算法的有效性。

4 EWHO算法的工程優化應用研究

蝶形彈簧設計問題的目標是滿足剪應力、浪涌頻率、翹曲度等相關指標標準的約束下，使圖7所示的拉伸/壓縮彈簧的質量最小化。

該問題包括彈簧線圈直徑d、彈簧線圈平均直徑D和彈簧線圈數量N三個設計變量。該問題的數學模型為

x=［x1，x2，x3］=［d D N］

min f（x）=（x3+2）x2x21

表7為各個算法求解蝴蝶彈簧設計問題的實驗結果。從表7可以看出，EWHO求解的最優值優于WHO以及其他對比算法，達到了0.012 665 233，此時d=0.051 685 08、D=0.356 621 99、N=11.294 582 09，總體平均值和標準差也都優于其他算法?？梢妼τ诘螐椈稍O計問題，EWHO具有良好的尋優能力和穩定性，充分說明了該算法良好的性能。

5 結束語

野馬優化算法是近年來提出的一種新穎的群智能算法，針對其易陷入局部最優、收斂速度慢等不足，本文提出了融入Sinusoidal映射、擾動因子和自適應t分布的EWHO。將EWHO與五個算法通過CEC2021的40個函數、Wilcoxon檢驗以及MAE排名測試的實驗，驗證了改進后的算法具有更強的尋優能力和魯棒性。最后將其應用于蝶形彈簧設計問題，EWHO求解得到的結果精度和穩定性更好，從而證實了EWHO在實際問題應用中的實用性。因此下一步研究重點是將其應用于解決大規模、復雜的多目標優化和實際工程應用等問題中。

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