公式歸納，多維應(yīng)用

【摘要】三角函數(shù)中除了教材中的給出的一些基本公式，還有一些非常優(yōu)秀的“二級結(jié)論”，在實際解題過程中有奇效．結(jié)合正弦平方差公式的展示、證明與拓展，并通過實例剖析該公式的多維應(yīng)用，開拓數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；正弦平方差；高中數(shù)學(xué)

正弦平方差公式是三角函數(shù)基本公式的深入與拓展，是三角函數(shù)及其應(yīng)用中的一個重要公式，形式優(yōu)美，當(dāng)中涉及三角函數(shù)及其對應(yīng)的代數(shù)運算，具有較為廣泛的應(yīng)用，是三角函數(shù)知識中的一個重要的“二級結(jié)論”，需要加以重視．

1 正弦平方差公式

1.1 公式

公式1 對于任意的實數(shù)α，β，都有sin2α－sin2β=sin（α+β）sin（α－β）成立．

1.2 公式證明

方法1 和差化積公式+二倍角公式法

故公式成立．

方法2 二倍角公式+和差化積公式法

由于sin2α－sin2β=1－cos2α2－1－cos2β2=－12（cos2α－cos2β）=sin（α+β）sin（α－β），

故公式成立．

方法3 兩角和差公式法

故公式成立．

正弦平方差公式的形式直觀，類似于代數(shù)中的平方差公式，是三角函數(shù)與代數(shù)知識的綜合交匯與有機(jī)拓展，對于解決一些相關(guān)的應(yīng)用問題有妙處．

1.3 公式拓展

公式2 （余弦平方差公式）對于任意的實數(shù)α，β，都有cos2α－sin2β=cos（α+β）cos（α－β）成立．

在公式1的正弦平方差公式的基礎(chǔ)上，合理類比拓展即可得到以上余弦平方差公式．注意公式1與公式2之間的聯(lián)系與區(qū)別．

2 正弦平方差公式的多維應(yīng)用

2.1 三角求值問題

例1 計算：sin25°cos65°+sin5°sin55°=．

分析 根據(jù)題設(shè)條件，無法直接利用三角函數(shù)及三角恒等變換公式等加以求值，觀察其中角的形式，借助誘導(dǎo)公式及角的加減運算加以變形，利用正弦平方差公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而實現(xiàn)非特殊角的三角函數(shù)關(guān)系式的求值與應(yīng)用．

解 依題，借助正弦平方差公式，可得

點評 借助三角函數(shù)關(guān)系式中角的形式與代數(shù)關(guān)系，觀察三角關(guān)系式的形式，綜合利用三角函數(shù)及其三角恒等變換公式等加以應(yīng)用，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．而在具體解題時，抓住問題的根本，巧妙利用正弦平方差公式來轉(zhuǎn)化，可以有效變形，實現(xiàn)問題的突破，得以有效求值．

2.2 解三角形問題

例2 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2B－sin2C=sinA，則B－C=．

分析 根據(jù)題設(shè)條件，綜合正弦平方差公式、三角形內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式等的應(yīng)用，合理變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以化簡對應(yīng)的三角關(guān)系式，得以確定對應(yīng)的三角函數(shù)值，借助整體思維，得以確定相關(guān)角的代數(shù)式的大小．

解 依題sin2B－sin2C=sinA，

利用正弦平方差公式

sin2α－sin2β=sin（α+β）sin（α－β），

可得sin（B+C）sin（B－C）=sinA，

而sin（B+C）=sin（π－A）=sinA>0，

則有sin（B－C）=1，

而B－C∈－π，π，

點評 在實際解決一些相關(guān)的解三角形問題時，可以合理綜合三角函數(shù)、三角形以及解三角形中的相關(guān)概念、公式與性質(zhì)等，巧妙交匯，綜合應(yīng)用．這里借助正弦平方差公式進(jìn)行合理變形，通過整體思維來分析并求解相關(guān)角的代數(shù)式的值．

2.3 抽象函數(shù)問題

例3 （2023屆江蘇省南京市高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份））已知函數(shù)f（x），任意x，y∈R，滿足f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（90）=（ ）

（A）－2. （B）0. （C）2. （D）4.

分析 根據(jù)題設(shè)條件，挖掘抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，吻合正弦平方差公式，合理聯(lián)想并創(chuàng)新構(gòu)建三角函數(shù)模型，并利用特殊函數(shù)值加以配湊對應(yīng)函數(shù)的系數(shù)，借助特殊值法加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，綜合函數(shù)的基本性質(zhì)加以分析與求解．

解 依題f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），吻合正弦平方差公式sin2x－sin2y=sin（x+y）sin（x－y），

則知該函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，也是一個奇函數(shù)，有f（0）=0，

依f（1）=2，f（2）=0，可得f（3）=f（－1）=－f（1）=－2，f（4）=f（0）=0，

則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×f（1）+f（2）+f（3）+f（4）×22+f（1）+f（2）=2.

故選擇答案：（C）．

點評 借助抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與對應(yīng)的公式形式構(gòu)建聯(lián)系，通過特殊值法的應(yīng)用來構(gòu)建特殊函數(shù)模型，是解決一些相關(guān)問題中比較常見的一種思維方法．熟練掌握一些具有特定結(jié)構(gòu)特征的基本初等函數(shù)類型，為解決此類問題的特殊函數(shù)模型思維提供理論依據(jù)，也是綜合創(chuàng)新應(yīng)用的基礎(chǔ)．