平面向量積問題的解法策略探究

【摘要】平面向量積問題涉及的知識考點眾多，與幾何、函數(shù)、不等式聯(lián)系緊密.解析轉(zhuǎn)化時有多種思路，可從幾何視角分析轉(zhuǎn)化，也可借助三角函數(shù)知識求解，對于其中的最值與范圍問題還可結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.本文結(jié)合考題，深入探究平面向量積問題的解法策略.

【關(guān)鍵詞】向量積；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重點知識，其中的向量數(shù)量積問題在高考中出現(xiàn)的頻次很高，常與平面幾何、不等式、三角函數(shù)等知識相結(jié)合.解析該類問題時有三種策略：一是建立坐標系，利用向量積的坐標運算來求解；二是引入角作為變量，利用三角函數(shù)知識求解；三是代數(shù)運算，利用基本不等式求解.

1 構(gòu)建坐標系解析

解 以A為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖1所示.

則E（1，0），C（2，2），D（0，2），

根據(jù)向量積的坐標運算可得：

評析 上述求解正方形背景下的向量積時采用了坐標系法，即建立平面直角坐標系，將向量坐標化，利用向量積的坐標運算直接求解.

2 三角函數(shù)解最值

分析 本題目以直線與圓相切為背景，求解向量積的最大值，可以引入角作為變量，利用三角函數(shù)知識來轉(zhuǎn)化求解.

解 根據(jù)題意繪制圖2所示圖象，

分為如下兩種情況討論.

情形1 當(dāng)點A，D位于直線PO異側(cè)時，如圖2（a）所示.

情形2 當(dāng)點A，D位于直線PO同側(cè)時，如圖2（b）.

評析 上述解析直線與圓背景下的向量積最值時引入了角作為變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解最值.

3 基本不等式求最值

分析 第2空是關(guān)于三角形背景下的向量積最值問題，可先進行向量線性運算，再結(jié)合基本不等式的性質(zhì)推導(dǎo)最大值.

在△ABC中，根據(jù)余弦定理：

BC2=x2+y2－2xycos60°=x2+y2－xy=1，

1129xy2+2，

結(jié)合x2+y2－xy=1和基本不等式x2+y2－xy=1≥2xy－xy=xy，可得xy≤1.

分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1取得等號.

評析 上述求解三角形背景下的向量積最值問題，采用了“向量線性運算+基本不等式”相結(jié)合的方法.設(shè)定參數(shù)，將向量積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)來求解.

4 結(jié)語

綜上可知，求解平面向量積問題有三種轉(zhuǎn)化解析策略，從幾何視角分析，建立坐標系，利用坐標運算求解；從函數(shù)視角分析，利用三角函數(shù)性質(zhì)解析；從不等式視角分析，利用不等式的性質(zhì)求解，適用于最值與范圍問題.探究學(xué)習(xí)中，需要理解向量積的幾何意義，掌握向量運算與轉(zhuǎn)化的方法，結(jié)合實例強化訓(xùn)練.