《幾何畫板》入微構圖提升解析幾何教學效能

【摘要】《幾何畫板》軟件能實現解析幾何的直觀.在解析幾何教學中，應用《幾何畫板》軟件，創造一個實際操作幾何圖形的試驗環境，施以建構主義思想為依托的數學實驗教學，對學生準確、正確理解解析幾何概念、定義方面是極其有意義的.首先，創設新穎的構圖情境，可以向學生展示圓錐曲線定義構圖過程，展現內部，揭示本質.其次，創設新穎的構圖情境，可加深學生對圓錐曲線光學性質的準確理解，使他們感受圓錐曲線的動態性與形象性，理解現實生活中的科學規律.再者，以《幾何畫板》軟件的構圖方法為指導思想，可強化學生作圓錐曲線圖的準確性，使其畫出的書面圖形與數學表達式更加匹配，這樣做不但可以加強學生對基本概念的準確理解，還可以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力，以此提升高中解析幾何教學效能.

【關鍵詞】幾何畫板；動態直觀；情境教學

1 創設《幾何畫板》構圖情境，揭示圓錐曲線定義的本質

“情境”而非“情景”，利用《幾何畫板》強大的運算功能創新構圖，探究、揭示動態圖形的本質，促使學生形成批判性思維，激發學生的學習興趣.在直觀形象中揭示問題的本質規律，有利于培養學生的邏輯思維能力以及空間想象能力.

例如 根據橢圓的定義，利用《幾何畫板》構造橢圓如下：

（1）建立以0為坐標原點的平面直角坐標系.在x軸上任意選取一點F′，并作出其關于y軸的對稱點F″.在x軸上再任意選取一點A′，并作出其關于y軸的對稱點A″，使A′A″>F′F″.令A′A″=2a， F′F″=2c.

（2）以F″為圓心，A′A″為半徑作圓.在圓上任意選取一點D.作直線DF″.線段DF′的中垂線l與直線DF″相交于點G.連接GF′得到圖1.

（3）用鼠標拖動點G，觀察點G的變化情況，在動態中恒有GF′+GF″=2a.同時選取D，G兩點，構造點G的軌跡.與教材內容相對應，取一條定長為|A′A″|的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F′和F″兩點，要求細繩長大于F′和F″間的距離.

另外，向右拖動橢圓的右焦點F″，使點F″在點A″的右側，這時A′A″<F′F″，觀察到動態的橢圓變換為動態的雙曲線.

還有，線段DF′的中垂線l與直線DF″相交于點G，而中垂線l即為橢圓（雙曲線）的以點G為切點的切線.

2 揭示圓錐曲線的光學性質，理解現實生活中的科學規律

數學《選修2-1》第二章“圓錐曲線與方程”中的閱讀與思考一“圓錐曲線的光學性質與應用”[1]指出：當一束光束照到鏡面時，光線會依一定的規律反射，即入射角等于反射角.教科書上的“鏡面”其實就是拋物面，是由一個拋物線繞它的對稱軸旋轉得到的曲面.本質上，光線從拋物線的焦點（聚集點）出發，經過拋物線的切線的切點反射后，反射光線平行于拋物線的軸散出.

在教學中，參考數學實驗“計算機探究圓錐曲線的光學性質”[2]的操作方法，本文運用《幾何畫板》軟件展示構圖過程如下：

（1）建立以O為坐標原點的平面直角坐標系.在x軸正半軸上任意選取一點F，并作出其關于y軸的對稱點F′.過點F′作x軸的垂線l′.

（2）在直線l′任意選取一點D.過點D作直線l″⊥l′.構造線段DF，作線段DF的中垂線l，設直線l與直線l″相交于點G.直線l就是以G為切點的切線，如圖2.

顯然，光線從拋物線的焦點F出發，經過拋物線切點G反射，相當于光線照到切線上的點G后反射平行于拋物線的軸散出.用鼠標拖動點F，拋物線的開口變大或變小，但焦點光線照到切線上反射后平行于拋物線的軸散出的性質不改變.

在《幾何畫板》軟件指導下書面作圖，即畫出草圖.草圖并不是潦草的圖，而是根據問題的條件及定義、概念作出的“準確”的圖.一個“準確”的草圖，與《幾何畫板》軟件構圖一樣，直觀、形象，不但揭示了解析幾何問題的規律和本質，甚至可以檢驗計算結果.

3 規范圓錐曲線作圖，培養學生的空間想象能力

此題用坐標法，運算量大，會消耗太多的時間.也許命制此題的教師是用該題來考查考生的數形結合能力、計算能力，即書面作圖的能力，檢驗學生對基礎知識的掌握情況與靈活運用能力.

以坐標原點為圓心，半焦距c為半徑畫圓，與雙曲線的第一象限部分的交點為點P，交x軸負半軸為左焦點F1.連接PF1，與雙曲線的左支的交點為點Q.測量PQ和QF1.檢驗結論.由于滿足PQ=2QF1，答案為（A）.

草圖是根據條件和概念構作的“準確”圖形.為了能畫出“準確”的草圖，就必須以《幾何畫板》軟件構圖作為指導，由于《幾何畫板》軟件制作的動態圖形與數學表達具有精確性的關系，因此強化書面作圖訓練不但可以加強學生對基本概念的準確理解，還可以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力.

4 結語

《幾何畫板》軟件能動態表達幾何圖形及其變化細節，是一個優秀的數學教學軟件，可以創造課堂上即時構造幾何圖形的環境.在解析幾何教學中，創新《幾何畫板》連續變化的動態性，可以向同學們展示構圖過程，展現內部，揭露本質，可提升高中解析幾何等幾何教學效能.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學選修2—1（人教版）[M].北京：人民教育出版社，2007：75-76.

[2]普通高中教科書數學選擇性必修第一冊（湘教版）[M].湖南：湖南教育出版社，2019：166-167.