圓錐曲線中最值問題的求解策略

【摘要】圓錐曲線問題歷來都是高考研究的熱點話題，每年各地的高考（或模擬）試卷中，頻頻出現以最值研究為背景的數學問題.由于這類問題涉及函數與方程、方程與不等式、向量與幾何等知識，綜合性較強，思維水平要求較高，有時計算量還比較大，從而導致我們摸不清頭緒，失分較多.本文結合幾道實例談這類最值問題的求解策略.

【關鍵詞】圓錐曲線；高中數學；解題策略

1 構建一元函數求最值

解析 由題意可知F21，0，若直線MN的斜率不存在，

若直線MN的斜率存在，設MN的方程為

y=kx－1，

設Mx1，y1，Nx2，y2，

2 建立二元目標函數求最值

解析 設點Qx0，y0，

則點Qx0，y0到直線AB的距離

評注 設出動點Q的坐標后，將目標轉化為二元函數，可以不消元，利用基本不等式將乘積2x0·y0轉化為x20+y20的式子，從而獲得定值.

3 利用點到直線的距離最短求最值

例3 已知拋物線方程為y2=4x，直線l的方程為x－y+4=0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為 .

解析 由拋物線定義知F1，0，d1=PF－1，

則d1+d2=d2+PF－1，

顯然當PF垂直于直線x－y+4=0時，d1+d2最小，

評注 與拋物線定義相關的最值問題常常涉及求解弦中點到坐標軸距離最短問題.求解距離之和最小問題，求解焦點弦中距離之和最小問題，其轉化策略為：（1）將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題獲解.（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“點到直線的距離最短求最值”原理解決.

4 依據定點到圓上動點的距離性質求最值

例4 已知圓C1：x－22+y－32=1，圓C2：x－32+y－42=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值為 .

解析 由題意可知C12，3，r1=1，C23，4，r2=3，

對于x軸上的任意一點P而言，隨著M，N分別在圓C1，C2上的移動，，當PM，PN分別過圓心C1，C2時，PM，PN分別取最小值，

作C12，3關于x軸的對稱點C2，－3，連接C2C交x軸于點P，此時的交點P使PC1+PC2取最小值.

此時PM+PN

=PC1－C1M+PC2－C2N

=PC1－1+PC2－3

=PC1+PC2－4，

評注 由數形結合可知，一定點到圓上動點的距離的最值在該定點、圓心、圓上動點三點共線時取得，最大值為d+r，最小值為d－r，其中d表示定點與圓心的距離，r表示圓的半徑.若將問題換成求直線上的動點到圓上動點的距離的最值，方法類似.最大值為d+r，最小值為d－r，其中d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑.

5 借助“同側差最大，異側和最小”結論求最值

例5 （1）已知點A0，3，B3，－1，點P是x軸上的點，求PA+PB的最小值；

（2）已知點A0，3，B3，1，點P是x軸上的點，求PA－PB的最大值.

解析 在x軸上任意取一點P，連接PA，PB.

所以PA+PB的最小值是5.

（2）連接AB并延長交x軸于點P2，則PA－PB≤AB，當且僅當P恰好為AB延長線與x軸的交點P2時取等號，

評注 （1）最典型的特征：定點A，B位于動點的運動軌道的異側，可求距離之和的最小值，即“異側和最小”.利用的原理是“兩點之間，線段最短”，也可以理解為“三角形兩邊之和大于第三邊”.（2）的典型特征：定點A，B位于動點的運動軌道的同側，可求距離之差的最大值，即“同側差最小”.

6 數形結合思想轉化求最值

（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；

（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求PA的最大值和最小值.

直線l的普通方程為2x+y－6=0.

（2）平移直線l至l′，使l′與橢圓相切，

設切點為P，并設l′：2x+y+c=0（c≠－6）.

消去y得25x2+16cx+4c2－36=0.

由Δ=162c2－4×25×4c2－36=0得c=±5，

所以l′：2x+y±5=0，

評注 目標式為PA的長度，即我們常說的“形”.我們將PA轉化為2PH，則目標化歸為橢圓上的動點P到直線l距離的最值.再根據圖形的特點，只要平移直線l至l′，使l′與橢圓相切，利用求切線以及兩平行線之間的距離公式進行計算.

7 結語

從以上幾例不難看出，破解圓錐曲線中的最值問題，要時刻抓住題干主要條件，大膽合理地聯想、類比，注意結合函數與不等式，向量與平面幾何、解析幾何中的重要性質、結論等，靈活運用構造轉化、數形結合等數學思想進行處理，就能以不變應萬變，找到解決問題的關鍵突破口，迅速解決這類問題.

參考文獻：

［1］張剛.看似無圓 實則有圓 “圓”來如此——例談一類隱形圓問題的求解策略［J］.理科考試研究，2020，27（13）：18—21.

［2］張剛，韓長峰.把握特征 巧妙構造 例析倒數背景下的不等式問題求解策略［J］.高中數學教與學，2018（09）：47-49.

［3］馬波.中學數學解題研究［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.