解三角形常見題型例講

【摘要】解三角形是高中數(shù)學的重要知識點.依據(jù)要求解的問題可分為求邊長、求角度、求面積、求范圍四類題型.解答這四類題型主要運用正弦定理、余弦定理以及平面幾何、函數(shù)等知識.本文圍繞具體例題展示其中三種題型的解題過程，以供參考.

【關(guān)鍵詞】解三角形；高中數(shù)學；解題技巧

解三角形是高考的必考點.此類習題情境復雜多變，但無外乎求邊長、求角度、求面積、求范圍這四種題型.但是部分習題技巧性強，對學生分析以及解決問題的能力要求較高，因此，有必要對不同題型的解題過程進行探討，幫助學生積累解題經(jīng)驗，促進學生解題能力與水平的提高.

題型1 求邊長

求三角形的邊長是解三角形中較為常見的題型.解題時需要吃透題意，必要情況下需要根據(jù)題干描述畫出草圖，明確各邊長的大致關(guān)系，注重正弦定理、余弦定理的活用.根據(jù)要求解的問題進行角與邊的靈活轉(zhuǎn)化，并在圖形的輔助下迅速找到解題思路.

即sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB.

則sinCcosA－cosCsinA=cosCsinB－sinCcosB.

則sin（C－A）=sin（B－C），

則C－A=B－C，

可得A+B=2C，又因為A+B+C=π，

（2）在△ADC中，由余弦定理得到：

AD2=AC2+CD2－2AC·CD·cosC，

得到CD2－2CD－3=0，

解得CD=3.

因為點D為BC的中點，

則BC=2CD=6.

在△ABC中，由余弦定理可得：

AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cosC，

點評 該題涉及兩個小問，其中問題（1）需要運用正弦定理將給出的等式轉(zhuǎn)化為角度之間的關(guān)系，結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于π，可求出角C大小；問題（2）給出部分邊長，求AB的長，需要運用問題（1）中的結(jié)論以及余弦定理.當然運用余弦定理時還應根據(jù)求解的問題，靈活選取對應的三角形，通過求出三角形的公共邊，使得問題得以順利突破.

題型2 求角度

高中數(shù)學解三角形中求角度通常針對一般的三角形.求解時需要扎實掌握基礎知識，構(gòu)建清晰的知識脈絡，理順基礎知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)題干創(chuàng)設的情境靈活運用正弦定理、余弦定理.需要注意的是運用三角函數(shù)確定角度時不能忽略三角形的內(nèi)角和這一隱含條件.

例2 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2－b2=bc.

（1）證明：A=2B；

解 （1）由余弦定理可知：

即，b=c－2bcosA，

由正弦定理可得sinB=sinC－2sinBcosA，

即，sinB=sin（A+B）－2sinBcosA，

sinB=sinAcosB－cosAsinB=sin（A－B）.

又由A，B∈（0，π），

則B=A－B，則A=2B.

則2bsinC=a，

由正弦定理可得2sinBsinC=sinA=sin2B，

即，2sinBsinC=2sinBcosB，

又由sinB≠0，

則sinC=cosB，

又由B，C∈（0，π），

題型3 求范圍

求解三角形中某一參數(shù)，如角度、邊長、面積的取值范圍，要考查的知識點較749deb5e718020ecd2662ccc647ea6ce多，難度中等，需要根據(jù)題意靈活運用三角函數(shù)的有界性、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等知識進行分析，尤其在計算的過程中應把握參數(shù)的取值范圍，確保計算結(jié)果的正確性.

例3 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA=tanB.

即（b－c）（b+3c）=0，

即b=c或b=－3c（舍去）.

（2）由已知條件可得0<tanB<1，

由A為銳角，cosA>0，

點評 該題中的兩個問題難度均不小.其中問題（1）需要注重隱含條件的應用，尤其運用正弦定理、余弦定理，通過等量代換確定三角形的形狀求出角度.問題（2）在構(gòu)建已知條件與要求解問題之間的關(guān)系后，通過換元將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在特定區(qū)間的單調(diào)性問題，運用函數(shù)知識便能順利求出取值范圍.

結(jié)語

綜上所述，求解解三角形三種題型的關(guān)鍵在于吃透題意，結(jié)合圖形在頭腦中形成對要求解問題的大致認識，深入理解正弦定理、余弦定理，結(jié)合三角形建立清晰的邊角關(guān)系，實現(xiàn)角與邊的靈活互化.同時，還應具備靈活的思維，注重三角函數(shù)恒等變形以及三角形內(nèi)角、邊長關(guān)系等隱含知識的運用，必要情況下通過換元轉(zhuǎn)化成函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)加以求解.

參考文獻：

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