“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略

【摘要】在新課標(biāo)下的高考注重對學(xué)生綜合能力的考查，而恒成立問題和存在性問題是考查學(xué)生綜合素質(zhì)的重要途徑.本文將介紹這兩類數(shù)學(xué)問題的基本類型，通過對這兩類數(shù)學(xué)問題的特點和解題方法進行分析，總結(jié)了常見的解題策略，并對具體案例進行分析，展示了這些策略在解決實際問題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】恒成立問題;存在性問題;解題策略

恒成立問題與存在性問題是數(shù)學(xué)中常見的兩類問題，解決這兩類問題需要我們靈活運用數(shù)學(xué)知識和技巧，具有一定的邏輯推理能力和創(chuàng)造性思維，總結(jié)一些常見的解題方法，具體研究如下：

1 “恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型

設(shè)函數(shù)fx，gx，對任意的x1∈a，b，存在x2∈c，d，使得fx1≥gx2，

則fxmin≥gxmin.

2 基本的解題策略

2.1 一次函數(shù)型

例1 若x∈（－2，2），不等式kx+3k+1>0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

解 構(gòu)建函數(shù)f（x）=kx+3k+1，轉(zhuǎn)化為f（x）在x∈（－2，2）內(nèi)恒大于零.

當(dāng)k=0時，有f（x）=1>0恒成立；

當(dāng)k≠0時，f（x）為一次函數(shù)，等價于f（－2）>0，f（2）>0

解得k∈（－1，+∞）.

2.2 二次函數(shù)型

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）大于0恒成立，存在有a>0且Δ<0.

類型1 設(shè)a>fx在R上恒成立.

f（x）>0在x∈R上恒成立a>fxmax；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立a>fx.

類型2 設(shè)在區(qū)間［α，β］上恒成立.

（1）當(dāng)a>fxmin時，

綜上所述，f（x）的定義域為R時，a∈［1，9］.

例3 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+3－a，在R上f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析 函數(shù)圖象都在x軸及其上方，如圖3所示.

略解Δ=a2－43－a=a2+4a－12≤0，所以－6≤a≤2.

變式1 若x∈－2，2時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

希望通過本文所提供的方法，讀者能夠更加自信地應(yīng)對各種“恒成立問題”與“存在性問題”.在解題過程中要靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，善用各種解題策略，并鼓勵培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，勇于嘗試不同的方法來解決問題.解決數(shù)學(xué)問題的過程不僅僅是得出答案，更重要的是提高自己的邏輯推理能力和問題解決能力.

參考文獻：

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