高中數學有關抽象函數的對稱性和周期性的探究

【摘要】抽象函數的對稱性和周期性在高考數學中具有重要的地位，掌握這些概念對于解決各種數學問題和應對高考數學考試至關重要.本文旨在探究抽象函數的周期性和對稱性在數學中的應用，探討如何更好地理解和應用抽象函數的對稱性和周期性，分析其特點和規律，最后巧妙地利用這些性質來解決相關的數學問題.

【關鍵詞】抽象函數；高中數學；解題技巧

1 引言

抽象函數是高中數學中一個重要的概念，對稱性和周期性是其重要的性質，它們反映了函數的內在結構和變化規律，對于研究函數的圖象、性質和應用都有著重要的意義.近兩年高考真題中出現的抽象函數和導數的交匯題型增加了題目的思維難度，對學生的創新思維提出了更高的要求.面對這樣的挑戰，學生需要在平時做題時注重對數學知識的深入理解，在掌握基礎知識的同時靈活運用知識，從復雜的情境中抽象出數學模型.

2 抽象函數的對稱性和周期性實例探究

例1 已知定義在R上的偶函數fx滿足f1－x=－f1+x，下列說法正確的是（ ）

（B）函數fx的一個周期為2.

（C）f2023=0.

（D）函數fx的圖象關于直線x=1對稱.

f2023=f3=f－1=f1=0，選項（C）正確.

規律總結：若函數滿足下面三個等式之一，

（1）fa+x=－fa－x；

（2）f2a－x=－fx；

（3）f2a+x=－f－x.

則y=fx關于點a，0中心對稱.

例2 已知y=fx是定義域為R的奇函數，若y=f2x+1的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數是（ ）

（A）1個. （B）2個. （C）3個. （D）4個.

解析 y=f2x+1的最小正周期為1，所以f2x+1+1=f2x+1；即f2x+3=f2x+1，f（x）的周期為2；

因為fx+2=f（x）=－f（－x），所以f（x）的一個對稱中心為（1，0），③正確；

規律總結：若函數滿足下面三個等式之一，

（1）fa+x=fa+x+T；

（2）fT+x=－fx；

則y=fx為周期函數.

例3 已知函數y=f2x+1的圖象關于直線x=1對稱，函數y=fx+1的圖象關于點1，0對稱，則下列說法正確的是（ ）

（A）f1=0.

（B）fx是奇函數.

（C）f1－x=f1+x.

（D）fx的周期為4.

解析 由函數y=f2x+1的圖象關于直線x=1對稱，得f2x+2+1=f2－2x+1，即f3+2x=f3－2x，將2x換為x可得fx+3=f3－x，所以fx的圖象關于直線x=3對稱.

由函數y=fx+1的圖象關于點1，0對稱，得函數y=fx的圖象關于點2，0對稱，即fx+f4－x=0.所以fx的對稱軸x=3關于2，0的對稱直線x=1也是fx的對稱軸，（C）正確；所以fx的對稱中心2，0關于x=1的對稱點0，0也是fx的對稱點，（B）正確；又fx=－f4－x=fx－4，所以fx+4=fx，fx的周期為4，（D）正確.

根據以上性質，不妨作出滿足函數fx性質的一種圖象情況，如圖1.

由圖可知，此時f1=0不成立，（A）錯誤.故選：（B）（C）（D）．

若函數f（x）的滿足題設條件，則函數f（x）+C（C為常數）也滿足題設條件，無法確定f（x）的函數值，故（A）錯誤.故選：（B）（C）.

方法2 特殊值，構造函數法

3 結語

本文的研究旨在幫助學生更好地理解和掌握抽象函數的對稱性和周期性，提高學生的數學素養和解題能力，還可以為其他數學研究提供有益的參考和借鑒.同時，本文的研究也有助于推動數學教育的改革和發展，提高數學教育的質量和水平.

參考文獻：

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