加強變式教學，突破學生數學思維障礙

【摘要】加強變式教學對克服學生數學思維障礙具有積極的作用.首先，對思維障礙進行了定義和分類，并分析了其成因.隨后，介紹了變式教學的基本原理和對學生思維發展的影響，重點闡述了其在克服思維障礙方面的應用.為進一步提高變式教學效果，還針對不同類型思維障礙研究了相應的變式教學策略，具體闡述了加強變式教學的方法和手段.最后，通過實證研究得出結論：加強變式教學可以有效地幫助學生克服數學思維障礙，提高其數學核心素養.

【關鍵詞】數學思維；障礙；變式教學；實證研究

數學思維是指以數學的方式進行思考和解決問題的能力.它涉及對問題的分析、抽象、建模、推理和創新等過程.它要求思考者能夠準確把握問題的本質，構建適當的數學模型，并通過推理和演繹等方法進行推導和解決問題.數學思維是一種基礎性和普遍性的思維能力，在解決實際問題、科學研究、職業發展等方面都起到重要的作用[1].因此，培養和加強數學思維對于提高個人的綜合素養和核心競爭力具有重要意義.但是，學生在數學學習過程中經常會遇到課上聽得很清楚，課下在解決問題時卻無從下手的囧象，究其原因主要是：對基本概念的理解不透徹，從而導致了數學思維定勢的思維障礙；過度死記硬背沒有深入理解其背后的數學原理和思想，從而導致的數學思維膚淺的思維障礙.

變式教學是一種以培養學生數學思維為目標的教學方法，主要通過以問題為中心、重視學生思考過程、鼓勵學生自主探究等方式提高學生的數學思維水平.教學中教師有目的地設置從“變”的情境中發現“不變”的本質，從“不變”中探求規律.讓學生明確問題的本質，以本質為主線，從不同角度、不同層面加以探究，加深對問題本質的理解，練就學生慧眼洞察的本領.變式教學不僅能加深問題本質的理解和掌握，更重要的是在激發學生學習興趣，發展學生思維，培養和提高學生的數學素養方面有其獨特的魅力.因此，加強變式教學的研究對提高學生數學能力、促進數學教育的可持續發展具有重要意義[2].

1 數學思維障礙的定義與表現

1.1 數學思維障礙的概念

數學思維障礙是指學生在數學學習過程中，出現了一系列的困難和障礙，阻礙了學生利用數學知識解決數學問題的步伐，使學生難以掌握數學技能，限制了學生解決數學問題的能力.這些困難主要來自教師的教學方法、學生的學習動力、學生家庭環境、個體差異等方面，集中表現為概念理解不透、死記硬背、記憶短暫、數學焦慮等不同形式[3].

1.2 數學思維障礙的主要表現

數學思維障礙主要表現為：對概念理解不透，對于某些數學概念的理解存在盲區或者誤區，無法準確理解其含義和應用，從而導致了數學思維的定勢性；死記硬背照搬硬套，僅僅通過死記硬背公式、定理等方式來掌握數學知識，缺乏深入理解知識的生成過程.

2 變式教學在突破數學思維障礙中的作用

2.1 變式教學

變式教學是一種以開發學生的創造力和創新能力為核心，以多樣性和差異性為特點的教學方法.所謂“變式”，是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，不斷更換命題中的非本質特征；通過配置實際應用的各種環境變換問題中的條件或結論，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性[4].

2.2 變式教學在突破學生數學思維方面的應用

變式教學與傳統教學方式的不同在于，它不僅關注知識的傳授，同時也注重學生的思考能力、創新能力等多方面能力的培養，變式教學在突破學生數學思維方面具有無可替代的作用，主要體現在：一是提高概念理解能力，通過多種類型的問題和情境，幫助學生深入理解數學概念，在實踐中增強對概念本質的認知.二是培養創造性思維，通過提供不同類型的數學問題，鼓勵學生動手探索，尋找解決問題的創新方法和策略，提高學生創造性思維能力.三是強化記憶效果，變式教學涉及的問題類型、情境、方法等多種變化，使得學生需要運用不同的思維方式來解決問題，從而提高記憶效果.四是減輕數學焦慮情緒：變式教學注重學生參與度和自主性，讓學生在輕松愉悅的氛圍中學習，減輕數學焦慮情緒.

3 變式教學的策略和方法

變式教學的最終目標是為了突破學生的數學思維障礙，采取“先思后導，變式拓寬”的數學課堂教學模式，旨在培養學生的數學思維.因此，變式教學的策略和方法的選擇必須充分考慮不同學生的個體差異性，通過采用不同的教學方式、教材、評價工具等措施，為學生提供更加個性化、差異化的學習體驗，以達到更好的教學效果[5].根據學生的思維障礙表現，采取的變式教學的策略主要有以下幾種.

3.1 加強概念變式，凸顯概念本質內涵

數學教學的最終目的是要完善知識結構，強化知識體系，學生要明白各個知識點的形成過程.同時，通過串聯相關知識間的聯系，連點成線，連線成面，完成知識重組，完善知識結構，即明確各個知識的內涵和外延.而所有知識形成的起點與核心是概念，概念是人們認識事物最基本的成分，也是掌握知識的重要環節.概念變式是指變換定義陳述方式，從而加深概念理解的方法，明確概念的內涵與外延.把數學概念的抽象性通過不斷變式具體地展示給學生，從而突破教學難點.例如在函數性質—奇偶性的學習時，為了真正理解奇偶函數的定義，可以對某一道習題作如下變式：

例1 已知函數 f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1－x）（a>o，且a≠1），求函數f（x）+g（x）定義域；判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由.（人教版第84頁B組第4題）

變式1 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，定義域為a－1，2a.求實數a，b的值.

（A）x軸對稱. （B）y軸對稱.

（C）原點對稱. （D）直線x－y=0對稱.

上述三個變式訓練盡管都是考察奇偶函數的相關知識點，但呈現方式比較隱蔽，即考點由明點變到了暗點，為學生理解奇偶函數概念內涵打下了基礎.

3.2 加強條件變式，層層推進，直達“頂峰”

“問題是數學的心臟”“掌握數學意味著什么？那就是善于解題.”這是著名數學教育家G·波利亞的名言.數學問題千變萬化，無窮無盡，要使學生身居考場而泰然處之，就必須有良好的解題應變能力，而應變能力在教學中是可以通過變式訓練加以培養.那么學生的解題能力如何才能培養起來呢？教學中筆者對一道課本題做了如下一組變式訓練嘗試，效果很好.

例2 已知函數f（x）=x2－2x，g（x）=x2－2x（x∈2，4）．（人教A版第43頁B組第1題）

（1）求f（x），g（x）的單調區間；（2） 求f（x），g（x）的最小值．

（2）試求函數y=－2x2－x+1在x∈－3，1上的最大值和最小值，并求出對應的x值.

變式1 函數y=ax在0，1上的最大值與最小值的和為3，則a的值為（ ）

變式2 若函數f（x）=logax（0<a<1）在區間a，2a上的最大值是最小值的3倍，則a的值為（ ）

變式3 已知函數f（x）=x2+4ax+2在區間（－∞，6）內單調遞減，則a的取值范圍是（ ）

（A）a≥3. （B）a≤3.

（C）a<－3. （D）a≤－3.

變式4 已知函數f（x）=x2－（a－1）x+5在區間12，1上為增函數，那么f（2）的取值范圍是.

變式5 設函數f（x）=－x2+kx在2，4上是單調函數，求實數k的取值范圍.

變式6 求二次函數f（x）=x2－2（2a－1）x+5a2－4a+2在區間0，1上的最小值g（a） 的表達式.

上述一系列的變式由易到難，通過層層推進的變式辦法逐步讓學生在解題中加強了對函數單調性的理解與應用的解題思路，完成了單調性與最值的相關知識重組與串聯，對學生思維的縝密性提高與培養奠定了基礎.

4 實證研究

國內外多項實驗已經證明變式教學對學生的數學理解能力和數學成績提高都有積極的影響，下面通過實驗數據來檢驗變式教學對突破學生的數學思維障礙是否也有積極幫助.

4.1 實驗對象

筆者選擇所任教的兩個相同層次班級的學生作為實驗對象，包括有數學思維障礙的學生和沒有數學思維障礙的學生.

4.2 實驗組和對照組

將兩個班級的學生隨機分配到實驗組和對照組.實驗組采用變式教學方法，對照組采用傳統教學方法.

4.3 實驗內容

授課內容為函數奇偶性.在實驗組中，采用變式教學法，包括多角度、多形式、多途徑的教學方式，例如基于問題的學習，合作學習等等.在對照組中，使用傳統的講解、示范和練習等教學方法.

4.4 實驗評估

通過考試和問卷等方式對實驗效果進行評估.考試內容為函數奇偶性相關題目，考查學生對知識點的理解和應用能力.問卷包括兩部分，一部分是關于學生自身數學思維障礙程度的評估，另一部分是關于他們對變式教學法的反饋意見.

4.5 數據分析

分別對實驗組和對照組的考試成績和問卷結果進行數據分析和比較，以評估變式教學法是否能夠顯著提升學生的數學思維能力和學習效果.具體統計如下：

表1數據說明，在采取不同的教學方式之前，兩個班的均分相差0.6分，Z=0.37<1.96，則P>0.05，說明實驗班與對照班沒有顯著性差異.表2數據說明，當第二次均分差距的增大到5.1分時，Z=2.71>1.96，P<0.01，可見兩個班的差異是十分顯著的.從而說明變式教學對突破學生數學思維障礙是有效果的.

5 結語

針對變式教學如何突破學生的兩類數學思維障礙問題進行了深入分析和探討.由于數學思維障礙是多種多樣的，變式教學需要采用多種策略來應對不同的思維障礙問題，滿足學生的個性化需求，促進其全面發展.

通過實證研究，證明了變式教學可以有效地突破學生的數學思維障礙，提高學生的學習成績和興趣度.在今后的數學教學中，應該進一步完善變式教學的理論框架和實施機制，并結合教育技術的發展，不斷推進教學改革，有效地促進學生的數學思維發展，為培養具有創新精神和創造能力的高素質人才發揮數學作為基礎學科的積極作用.

參考文獻：

[1]孫發云.中職數學教學中數學思維能力的培養[J].教育藝術，2023，340（04）：46+48.

[2]吳光東.例談變式教學在高中數學課堂中的應用[J].試題與研究，2023，1135（16）：34-36.

[3]陳萍萍.怎樣開展對數函數變式教學[J].語數外學習（高中版中旬），2023，829（05）：48-49.

[4]孫立娜.如何突破高中數學思維障礙[J].人生十六七，2018（08）：115.

[5]樓春玲.學生數學思維障礙的原因剖析與突破策略[J].小學教學參考，2018（08）：71-72.