淺談高中數學教學中如何滲透數形結合思想

【摘要】數學是研究空間關系和數量關系的學科.數形結合思想強調分析空間和數量的內在聯系，兩相結合尋找解題思路，巧妙解決問題.在高中數學教學中引入數形結合思想，使學生多角度探究數學問題，在解題中增強學生的數學學習興趣和學習自信，激發學生參與探究數學知識的學習熱情，為學生理解數學概念和數學公式提供優勢方法.本文提出以形助數、以數助形、精選例題等策略，以期為數形結合思想在高中數學教學中的滲透提供一定的可用參考.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；解題策略

新課標明確指出：“數學教育要使學生掌握數學的基礎知識、基本技能和基本思想，讓學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界.”數形結合思想應用于高中數學教學，引導學生從數量關系和空間形式兩方面入手解決問題，拓展學生分析問題的思路，為學生理解數學概念、掌握數學知識提供助力.現階段學生在應用數形結合思想解決問題的過程中經常出現畫圖不準確、難以把握數形轉換關鍵節點等問題，影響了學生數形結合思維的發展.為此，教師必須從高中數學實際情況入手分析數形結合思想的應用方式，使數形結合思想融入學生思維認知之中，成為學生成長發展的有力支持.

1 高中數學教學中滲透數形結合思想的意義

1.1 深入理解數學公式

高中數學知識學習難度較大，公式概念數量較多且抽象性強，傳統數學課堂中教師為追求教學進度，經常會出現強制要求學生機械記憶數學概念與公式的情況，會背而非會用，了解而不理解的學習狀態導致學生難以深入理解概念和公式的內涵，不利于學生的成長.為幫助學生掌握數學概念與公式，使學生具備自主分析問題、理解問題、解決問題的能力，教師將數形結合思想融入數學公式之中，利用圖形直觀地表達公式的內涵，深化學生對數字變化規律的理解，為學生準確、牢固地記憶數學公式奠定基礎[1].

1.2 提高數學解題能力

高中數學問題較為復雜，數字關系較為抽象，學習理解難度較大，圖形連環嵌套，邊角關系繁復，如何從眾多的問題條件之中發現解題關鍵是保證解題效率和解題質量的關鍵.數與形相互轉換，為學生提供了全新的解題思路，對學生學習數學知識、理解數學內涵、內化數學知識具有重要的促進作用.數形轉換思想應用于計算題，將復雜的數學問題轉化為直觀的圖形和圖象，幫助學生理解問題的本質和考查要點.數形結合思想應用于幾何題，將圖形邊、角、面關系抽象為數字關系，分析數字關系探索解題要點，提升學生的解題能力和知識應用能力，助力學生成長.

1.3 提高數學思維能力

現階段高中數學教學將培養學生數學核心素養作為主要教學目標，培養數學思想是數學核心素養的重要組成，在高中數學教學中引入數形結合思想，推動抽象數學概念與圖形和圖象相互轉化，在轉化中發現問題隱藏的條件和解題規律，幫助學生深入理解數學知識本質，形成用數學化的思維方式分析問題的習慣，為學生數學思維的形成與發展奠定堅實基礎.此外，數形結合思想引入高中數學課堂，對學生觀察力、想象力和分析能力的發展同樣具有一定的促進作用，有助于學生數學素養的全面發展.

1.4 提高數學學習興趣

建立以學生為主體的數學課堂已經成為現階段高中數學教師的共識.高中數學知識復雜難懂，單純死記硬背和刷題難以使學生真正理解數學知識的內涵，且這種教學方式會極大地損傷學生的學習積極性，不利于學生未來的學習發展.數形轉換思想引入數學教學活動，利用圖形的直觀性幫助學生理解數字之間復雜的關系，利用數字關系探索圖形邊角關系，多視角看待問題，有效降低數學知識的理解難度和數學學習的枯燥感，使學生感受到學習數學知識的趣味性以及數學本身的魅力，激發學生對數學知識的好奇心和探索欲，強化學生探究數學問題的內在驅動力，助力學生成長[2].

2 高中數學教學中滲透數形結合思想的策略

2.1 以形助數，抽象內容具象化

數字關系抽象難懂，圖形天然具備直觀性和形象性特征，為此教師可運用以形助數思想，將數學公式、概念轉化成相應的圖形，用圖形表達抽象化的數學關系，借助圖形的直觀性闡釋抽象的數學概念，組織學生自主觀察、討論圖形中蘊含的數學思想，以學生為主體自主探究數學知識，助力學生成長.

結合以形助數思想構建以學生為主體的探究性數學課堂，關鍵在于如何將數字關系轉化為圖形，為此教師在課上引入小組合作討論教學法，引導學生以小組討論形式分析數字和圖形之間的轉化過程，自主探究數形內在聯系，深化學生對所學知識的記憶印象的同時，培養學生自主學習和合作學習的能力，助力學生成長[3].

例如 以人教版高一數學必修第一冊第一章“集合與常用邏輯用語”為例，為讓學生了解集合之間包含與相等的含義，識別給定集合的子集，理解子集、真子集、空集的概念，教師在導入階段設問引導學生思考：“實數有相等，大小關系，集合之間是否也存在類似的關系呢？”教師將學生分為多個學習小組，引導各組學生觀察下列集合，思考集合元素的內在聯系，A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，C=7，8，9，D=1，2，11，15，此時學生對集合元素的關系有一定了解，但認識尚不清晰，為此教師引入維恩圖，在黑板上繪制四組封閉曲線圖，假設一組封閉曲線圖代表一種集合元素關系，思考圖形對應的集合.學生以小組為單位討論圖形含義，集思廣益，嘗試提出更多的集合關系，在探索中深化學生對集合的理解.為增強學生對集合內涵的理解，教師引導學生用圖形表示子集、真子集、空集的概念.“同學們，現在有一個集合，這個集合中的任何一個元素都屬于集合B，此時兩個集合的關系應該怎樣用維恩圖來表示呢？”“如果集合A中任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，此時兩個集合之間的關系又該怎樣表示？”“如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，此時兩個集合之間的關系應如何用圖形表示？”“a包含于集合A與a屬于集合A之間的區別能否用圖形區分？”通過繪圖回答問題逐漸深化學生對子集、真子集、空集、交集、并集等概念的理解，幫助學生理解集合與元素之間的區別，使學生認識到數形結合思想對學習數學知識的意義，助力學生成長.

2.2 以數助形，精準分析內在邏輯

幾何知識是高中數學教學的重要內容，與數字關系相比，幾何知識具有直觀、形象等優勢，知識理解難度相對較低，但邏輯性和精準性的缺失導致學生如果僅從幾何角度分析知識，不可避免地會在解題中產生錯誤判斷，為此教師有必要使用數學語言闡述幾何圖形之間的關系，拓寬解題思路，多角度分析題目條件，解決數學問題，助力學生成長[4].

常見的以數助形解題法可被分為兩種，第一種為坐標法，根據幾何問題特點建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，推導數字關系，并將推導得到的代數結果轉化為幾何結果，得到問題答案.第二種為向量法，將幾何問題中直線的各邊視為向量，將線段的關系式轉化為向量關系式，使幾何問題轉化為向量問題，使圖形關系代數化，用數字分析復雜的幾何圖形，簡化計算過程，深化學生對幾何圖形條件的理解.

例如 以人教版高一數學選擇性必修第二冊第八章“空間點、直線、平面之間的位置關系”為例，為讓學生認識到代數法的應用對解決幾何問題的促進作用，教師在課上引入例題：在△ABC中，AB=4，AC=2BC，試求出△ABC面積的最大值.由于三角形中邊AC，BC的長度、方向不明，且缺乏其他有效條件判斷三角形內角角度，因此常規運用平面圖形知識分析解題的難度較大，教師在分析題目條件的前提下引入坐標法輔助解題.微課簡單介紹坐標法，教師采取問題導學方式指導學生自行推導應用坐標法解決數學問題的過程，問題1：應以三角形哪條邊為橫軸建立直角坐標系？為什么？問題2：建立直角坐標系后，如何求出ABC三點坐標？問題3：由于另外兩邊長度不定，三角形面積也不存在定數，在此種情況下如何確定三角形面積最大值？不同問題對應解題關鍵點不同，△ABC在直角坐標系中的位置決定后續的解題過程能否順暢進行，確定三角形三點坐標是將圖形向數字關系轉化的重要步驟，代數分析C點坐標變化軌跡，發現C點在以AB中點為圓心的圓上運動，C點縱坐標越大，證明三角形的高越長，分析圓形形狀特征，當三角形的高與半徑相等時，三角形面積取最大值.循序漸進，借助問題引導學生用代數闡述幾何圖形內在聯系，助力學生成長.

2.3 精選例題，培養數形互化能力

培養數形結合思想絕非朝夕課程，需要長期的、系統化的訓練，為使數形結合思想滲透到高中數學教學之中，教師在教學中要有意識地挑選、編制應用數形結合思想解題的練習題，圍繞練習題組織數形結合問題精講活動，引導學生自主探索問題解決方案，相互交流討論，分享運用數形結合思想解決問題的經驗，師生共同對比不同解法的優勢和缺陷，思學結合使數形結合思想滲透到學生的思維認知之中，助力學生成長[5].

錯題同樣是高中數學教學的重要資源類型之一，學生對數形結合思想的理解相對有限，因此在解題過程中不可避免地會遇到錯誤，教師可引導學生歸納總結錯題原因，在探索正確解題方法的過程中滲透數形結合思想，使學生從錯誤中吸取教訓，獲得成長，深化學生對數形結合思想的理解.

例如 以人教版高一數學必修第一冊第二章“二次函數與一元二次方程”為例，教師結合以往教學經驗分析，導致數形結合理念運用錯誤的主要原因是轉化不等價，基于此，教師設置易錯題，引導學生重新經歷錯題過程，通過分析錯題原因使學生認識到自己在運用數形結合解題時存在的問題，助力學生成長.

例題 試求方程x2－2x=0的解的個數.

學生在教師的引導下選擇圖象法求解.將方程x2－2x=0拆分為兩組函數y=x2與y=2x，分別繪制函數圖象，分析函數交點，得到結果x2－2x=0有兩個解.解題過程出現錯誤的原因是學生只考慮到當x>0時兩圖象有兩個交點，但實際上當x<0時，兩圖象在第二象限同樣有交點，在例題最后教師帶領學生總結錯誤原因：圖象繪制不完整.

3 結語

綜上所述，在高中數學教學中引入數形結合思想，對學生數學思維能力以及數學核心素養的發展具有重要意義，教師應在把握學生思維認知發展的前提下，導入問題，從問題入手滲透數形結合思想，鼓勵學生獨立思考問題，解析問題，體會數形結合思想在解決數學問題中的價值，為學生解題思維與數學思維的發展提供有力支持.

參考文獻：

[1]馬艷波.新課程背景下高中數學變式題設計方法探析——以“數形結合思想在函數問題中的應用”一課教學為例[J].延邊教育學院學報，2022，36（03）：143-145.

[2]才讓當知.高考數學中數形結合思想的研究及啟示[J].科學咨詢（科技·管理），2021（12）：211-213.

[3]張麗.高中數學教學中數形結合法的應用微探[J].科學咨詢（教育科研），2021（01）：277.

[4]張彥平.信息技術背景下高中數學數形結合教學探究[J].科學咨詢（教育科研），2020（01）：114.

[5]劉遙輝，宇世航.數形結合方法在函數問題中應用的實證分析[J].高師理科學刊，2018，38（10）：61-64.