基于UbD理論的高中數學逆向教學設計

【摘要】UbD理論的教學設計步驟與常規的教學設計順序相反.UbD理論下的教學設計需經歷兩個階段，強調三個問題，從六個方面去呈現證據，才能有效地達到教、學、評一致.本文主要研究以弧度制為例如何在UbD理論下進行逆向教學設計.

【關鍵詞】高中數學；UbD理論；逆向教學

筆者在多年的高中數學教學中發現，初學者“1弧度的角”的概念理解，課堂上教師講得費力，學生聽得糊涂.由此，弧度制變成了“糊涂制”.經過調查了解，學生普遍反映弧度制概念理解的難點在于“為什么可以這樣規定弧度制？”

為了解決“為什么可以這樣規定弧度制？”這種教學困惑，需要我們重新審視弧度制概念的教學設計.

1 關于角的認知發展

2 UbD理念下弧度制的教學策略

通過對UbD理念的研究，我們得到了一種全新的數學教學設計視角.UbD理念下的教學設計與常規的教學設計順序相反，要求用逆向教學設計來確定教學目標，之后就要尋求目標達成的評估證據（做法），最后進行順向的設計過程.筆者依據弧度制的思維導圖（如圖1），通過由末到本的逆向逐級探索，提煉實際操作的策略.

UbD設計強調三個問題：目標是什么？如何達到目標？怎樣才算達到目標？為之設計的教學環節是與學習目標相匹配的，在教學中則按邏輯上的“順向”進行，這樣有效地避免教與學分離，才能達到教、學、評一致.

第一階段：教學預期結果的確定

合理確定預期結果是教學逆向設計的第一階段.以弧度制教學為例，我們需要準確分析學生已經知道了關于角的什么知識？預期的理解結果是什么等.

在學生已有的知識儲備中，角的概念已經從初中階段的定義，上升到高中的任意角的階段.根據角的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉量.我們清晰了教學預期結果：學生對角的理解過程，已經通過任意角旋轉方向和旋轉量達到數學理解.學生可能認為角度制已經完美，但是對旋轉中心（單位圓）存在認識局限.因此，下一階段需要教師指導學生嘗試把任意角概念定義推廣到在平面直角坐標系內.

從大單元教學角度：借助坐標系，角的變化和單位圓上的點的變化建立了對應關系，從角到函數的載體為坐標系，媒介是單位圓.基于此，在弧度制教學設計上，可以應用圓的各種載體展開關聯教學.

為此，筆者設計了若干關聯問題情境，力求達到教學上的突破：

（1）角的大小與弧長有什么樣的對應關系？（角大弧長）

（2）可以用什么數學知識來刻畫弧長和半徑的關系？（比值定值）

（3）角的動態定義與旋轉中心有什么聯系？（坐標系和單位圓）

第二階段： 從評估員的角度考慮各階段學生掌握知識的證據

UbD理論的創新之處在于教師能夠及時跟蹤、評估學生的理解狀況，并做出相應地調整.設計的教學過程應能實時提供評估各階段預期結果的證據，這些證據的呈現則從六個方面去衡量，即能解釋、能闡明、能應用、能洞察、能深入、能自知.

3 弧度制的逆向教學設計

為此，在“弧度制”教學時，可從以下三個方面進行逆向設計.

3.1 調動學生的知識儲備

在設計時應盡量遵從“最近發展區”，以學生熟悉的知識場景為出發點，引導學生主動思考和發現.

場景1 “把蛋糕切成六塊，如何挑出最大的一塊”，這樣親切自然的生活場景引入，可以讓學生通過直觀感知抽象出數學模型.

師 大家在過生日切蛋糕時，如何判斷六塊平均分的蛋糕，哪塊最大？（如圖2）

生1 可以比較面積大小.

生2 可以比較角度α大小.

生3 可以比較弦AP長短.

生4 可以比較弧AP長短.

通過這樣的活動體驗，引導學生體會角α的大小與扇形面積、弦長AP、弧長AP的大小，有著正相關關系的感性認知.從弦長AP與弧長AP的比較大小后，說出比較大小的關鍵詞--弧長.由此自然地應用單位圓建立角α與對應弧長的關系，并有對應弧長AP刻畫角α的大小應用意識.當然，學生感知抽象能力的差異，自然會使他們的認知存在差異.從比較大小問題的高階思維上，判斷學生在這個活動體驗中，是否真正理解比較大小問題實質的重要評估證據，則是能明確地說出“弧長”這個詞.

場景2 sin30°+sin60°=？

30°+sin60°=？

sin（sin30°）=？

在這個活動體驗中，重要評估證據是：學生體驗到角度制下的三角函數表示是利用角度作為自變量，它存在一個突出問題，就是作為自變量角的值與三角函數值不能進行運算（如：30°與sin60°不能相加），大大阻礙了三角函數通過四則運算法則構造出其他初等函數，也限制了對諸多的優美結構函數圖象的認識，如無法認識應用y=x+sinx，y=（sinx）/x，y=xsinx等函數的圖象.

場景3 騎自行車、折扇打開、同心圓

以上三個的生活體驗，學生是否真正理解其實質的重要評估證據是：第一層理解到弧長不變的情況下，半徑和圓心角負相關（如圖3）；半徑不變的情況下，弧長和圓心角正相關（如圖4）；圓心角不變的情況下，弧長和半徑正相關（如圖5）.第二層理解到圓心角不變，則弧長和半徑的比值就不變，比值的大小與圓的半徑大小無關，比值的大小只與圓心角的大小有關.當學生洞悉了變量和不變量關系，產生這種變與不變主動式的思考后，弧度制的引入便是順理成章的事.

解“為什么可以這樣規定弧度制？”的過程.對弧度制概念理解的教學設計沒有停留在教師單向輸出，也沒有生搬硬套的幾句話一帶而過的.教學設計換位成從學生角度去理解去感受，為理解而教，從具象到抽象、從猜想到驗證，潛移默化地滲透數學思想，逐漸地培養數學的核心素養.

3.3 實現角度制與弧度制的互化

場景4 請根據圖中數字，指出對應的角.

這個環節，是驗證學生在角度制與弧度制間的互相轉化這個教學目標是否達成的一個重要評估證據.在介紹了弧度制后，創設情景引出單位圓（半圓），建立直角坐標系進行運算轉換體驗，學生既有角度換算的體驗，也有角度和弧度的位置對應認識，自然地實現平面直角坐標系的引入，有“水到渠成”的感覺.

4 結語

至此，對“為什么可以這樣規定弧度制？”的認知難點已經突破.UbD理論下本節課的教學設計，是從學生立場出發，解答學生之問，以此作為教學思考的原點，教師已然做到“心中有丘壑”.UbD理論下教學逆向設計立足于學生反饋，有序推進，有章可依，實證評估，使課堂教學“可視化”.UbD理論使深度學習、核心素養等浮在云端的理念有了可循的方向和階梯.

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